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柯西均值不等式的证明推广及其应用


柯西均值不等式的证明推广及其应用
【摘要】 本文介绍了用反数学归纳法证明柯西均值不等式,并 将该证明方法推广到证明乘幂平均数不等式,最后在柯西均值不等 式的应用方面给出几个例子。 【关键词】 柯西均值不等式 反数学归纳法 乘幂平均数不等式 应 用 高等数学里面一个最重要的主线就是极限,而极限的概念是用不 等式刻划的,这就决定了不等式在高等数学中的重要性。柯西均值 不等式就是高等数学中一类重要的不等式, 其证明方法也多种多 样,历史上数学家柯西本人首次使用反数学归纳法来证明。反数学 归纳法又称倒推归纳法,其基本思想如下: 若一个与自然数有关的命题t,如果 (1)命题t对无穷多个自然数成立; (2)假设命题t对 n=k 正确,就能推出命题t对 n=k-1 正确。则命 题t对一切自然数都成立; 这种方法具有重要的借鉴意义。 1.柯西均值不等式定理及其证明 定理 1 求证: 个正实数的算术平均值大于或等于这 n 个数的几 n

何平均值,即 因此命题对 n=4 正确。 同理可推出命题对 n=2 ? 3=8,n=2 ? 4,…,n=2 ? s…都正确(s

为任意自然数) ,所以命题对无穷多个自然数成立。 设命题对 n=k 正确,令 则 s ?? k-1 ?=a ? 1+a ? 2+…a ? kk,=a ? 1+a ? 2+…+a ? ? k-1 ? (容易证明上述是一个恒等式。 )

由归纳假设命题对 n=k 正确,所以 命题对 n =k-1 也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数成 立。 2.用倒推归纳法证明乘幂平均数不等式 证明 由于 若假设 则对 故对一切自然数 k,有 如法用数学归纳法易证 n=2 ? m 时成立。 (从证明的过程不难看出 等号当且仅当诸α ? i 相等时成立,这一条在下面的证明中不再重 复) 现假设定理对 n+1 个正数时成立,即 取 a ?? n+1 ?=a ? 1+a ? 2+…a ? n,则由归纳假设有 即 从而 即 。

故命题对一切自然数 结论为真。

3.柯西均值不等式在求极限中的应用 例1 解:α ?? a+1 ?是α ? n,α ? n 的算术平均值,b ?? n+1 ? 是α ? n、b ? n 的调和平均值,故有α ?? n+1 ?≥b ?? n+1 ? (n=1,2,3…) ,又由α ?? n+1 ?-a ? n=12(b ? n-α ? n)≤0, 可见数列α ? n 至少从第二项开始是单调减少的, 该数列有下界 0, 故 见数列 b ? n 至少从第二项开始是单调增加的,该数列有上界α ? 2,故可设 b ? n=b 。 又注意到α ? nb ? n=α ?? n-1 ? b ?? n-1 ?,从而得α ? nb ? n=α ? 1b ? 1(n=1,2,3…) , 两边取极限知 ab=α ? 1b ? 1 故得α ? n=b ? n=√α ? 1b ? 1 。

这个例子就像用网捕捉兔子,不妨假设α ? 1>b ? 1,取二者的 算术平均值α ? 2,调和平均值 b ? 2,把区间[b ? 1,α ? 1] 缩小为 ? 2, ? 2] 再如法处理, [b α , 缩小为 ? 3, ? 3] …, [b α , 就好象一个区间套,最终缩到几何平均值√α ? 1b ? 1 。 例 2 设 x ? n=a,则 x ? 1+x ? 2+…x ? nn=a 。 这个结果可以柯西均值不等式结合数列极限定义去验证 ,直观上 讲如果数列大多数都趋近于 a,那么数列的算术平均值也趋近 a 。 例3 这个结果可以用柯西均值不等式结合极限中的两边夹法则去证,

直观上讲如果数列大多数都趋近于 ,那么数列的几何平均值和调 和平均值也趋近 。 4.结束语 我们利用反数学归纳法证明了柯西平均值不等式和乘幂平均数不 等式,实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明,这为证明 不等式开辟了新的途径和方法,是值得研究的课题。同时我们可以 看出柯西平均值不等式有许多应用。? 参考文献? [1] 华东师范大学数学系。数学分析[m]北京:高等教育出版 社,2001 ? [2] 丘维声.高等代数上册[m]北京:高等教育出版牡,1996 ? [3] 杨子胥高等代数习题解(修定版)[m]济南:山东科学技术 出版社,2002 ? [4] 刘三阳,于力,李广民.数学分析选讲[m]北京:科学出 版社,2007


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