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三角函数公式推导过程及公式大全


三角函数公式推导过程
万能公式推导 sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =2tanα /(1+tan^2(α )) 然后用α /2 代替α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导 tan3α =sin3α /cos3α =(sin2α cosα +cos2α sinα )/(cos2α cosα -sin2α sinα ) =(2sinα cos^2(α )+cos^2(α )sinα -sin^3(α ))/(cos^3(α )-cosα sin^2(α )-2s in^2(α )cosα ) 上下同除以 cos^3(α ),得: tan3α =(3tanα -tan^3(α ))/(1-3tan^2(α )) sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα =2sinα cos^2(α )+(1-2sin^2(α ))sinα =2sinα -2sin^3(α )+sinα -2sin^3(α ) =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα =(2cos^2(α )-1)cosα -2cosα sin^2(α ) =2cos^3(α )-cosα +(2cosα -2cos^3(α )) =4cos^3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

三角函数公式大全 sin30°=1/2 cos30°=√3/2 tan30°=√3/3 cot30°=√3 sin15°=(√6-√2)/4 sin45°=√2/2 cos45°=√2/2 tan45°=1 cot45°=1 sin75°=(√6+√2)/4 sin60°=√3/2 cos60°=1/2 tan60°=√3 cot60°=√3/3 cos15°=(√6+√2)/4

cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据 sin(45°± 30°)=sin45°cos30°± cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半) 正弦定理:在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中,R 为△ABC 的外接圆 的半径。) 三角函数的诱导公式(六公式) 公式一: sin(α+k*2π)=sinα 公式二: sin(π+α) = -sinα 公式三: sin(-α) = -sinα 公式四: sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) =-tanα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα cos(π+α) = -cosα tan(π+α)=tanα cos(α+k*2π)=cosα tan(α+k*2π)=tanα

公式五: sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) =sinα

由于 π/2+α=π-(π/2-α),由公式四和公式五可得 公式六: sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α)= -sinα sin(π/2-α)= cosα cot(π/2-α)= tanα tan(3π/2+α)= -cotα cos(3π/2-α)= -sinα cos(π/2+α) = -sinα tan(π/2+α)= -cotα cos(π/2-α)= sinα sin(3π/2+α)= -cosα cot(3π/2+α)= -tanα tan(3π/2-α)= cotα sin(π/2+α)= cosα cot(π/2+α)= -tanα tan(π/2-α)= cotα cos(3π/2+α)= sinα sin(3π/2-α)= -cosα cot(3π/2-α)= tanα

诱导公式 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限。 和(差)角公式 三角和公式 sin (α +β +γ ) =sinα · cosβ · cosγ +cosα · sinβ · cosγ +cosα · cosβ · sinγ -sinα · sin β ·sinγ cos(α +β +γ )=cosα ·cosβ ·coscγ -osα ·sinβ ·sinγ -sinα ·cosβ ·sinγ -sinα ·sin β ·cosγ tan (α +β +γ ) = (tanα +tanβ +tanγ -tanα · tanβ · tanγ ) / (1-tanα · tanβ -tanβ · tan γ -tanα ·tanγ ) (α +β +γ ≠π /2+2kπ ,α 、β 、γ ≠π /2+2kπ ) 积化和差的四个公式 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)


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