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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:空间中的平行关系


空间中的平行关系
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.若直线 a 平行于平面 α ,则下列结论错误的是( (A)a 平行于 α 内的所有直 线 (B)α 内有无数条直线与 a 平行 (C)直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 (D)α 内存在无数条直线与 a 成 90°角 2.(2012·德州模拟)给出下列命题,其中正确的两个命题是( ) )

①直线上有两点到平面的距离相等,则此 直线与平面平行;②夹在两个 平行平面间的两条异 面线段的中点连线平行于这两个平面;③直线 m⊥平面 α ,直线 n⊥m, 则 n∥α ;④a、b 是 异面直线,则存在唯一的平面 α ,使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等. (A)①与② (B)②与③ (C)③与④ (D)②与④ 3.已知 a, b 是两条不重合的直线, α , β 是两个不重合的平面, 则下列命题中正确的是( (A)a∥b,b? α ,则 a∥α (B)a、b? α ,a∥β ,b∥β ,则 α ∥β (C)a⊥α ,b∥α ,则 a⊥b (D)当 a? α ,且 b ? α 时,若 b ∥α ,则 a∥b 4.下列命题正确的是( ) )

(A)直线 a 与平面 α 不平行,则直线 a 与平面 α 内的所有直线都不平行 (B)如果两条直线在平面 α 内的射影平行,则这两条直线平行 (C)垂直于同一直线的两个平面平行 (D)直线 a 与平面 α 不垂直,则直线 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直 5.设 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两 条相交直线,则 α ∥β 的一个充分不必要条件是( (A)m∥β 且 l1∥α (C)m∥β 且 n∥β (B)m∥β 且 n∥l2 (D)m∥l1 且 n∥l2 )

6.a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合平面,现给出六个命题:

?a∥c ? ①? ? ?b∥c ?c∥α ? ③? ?c∥β ? ? ?α ∥c ⑤? ?a∥c ?

?a∥γ ? ? a∥b ②? ? ?b∥γ

? a∥b

? α ∥β

?α ∥γ ? ④? ?β ∥γ ?

? α ∥β

? ?α ∥γ ? α ∥a ⑥? ?a∥γ ?

? a∥α

其中正确的命题是( (A)①②③ (C)①④

) (B)①④⑤ (D)①③④

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.考察下列两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题 .

(其中 a、b 为不同的直线,α 、β 为不重合的平面),则此条件为

?b ? ? ①①? ? a ?? ?a ? b



a∥b ? ? b∥α ?? a∥α

? ?

8.(2012·晋城模拟)已知 l、m、n 是互不相同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出 下列命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α , m? β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中所有真命题的序号为 .

9.(易错题)已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 分别与 α ,β 交于 A, C, 过点 P 的直线 n 分别与 α , β 交于 B, D, 且 PA=6, AC=9, PD=8, 则 BD 的长为 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知如图:E、F、 G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、 AA1 的中点. (1)求证:EG∥平面 BB1D1D; (2)求证:平面 BDF∥平面 B1D1H. 11.(2012·大庆模拟)如图,在三棱柱 ABC—A1 B1C1 中,D 是 BC 的中点. (1)若 E 为 A1C1 的中点,求证:DE∥平面 ABB1A1; .

(2)若 E 为 A1C1 上一点,且 A1B∥平面 B1DE,求

A1E 的值. EC1

【探究创新】 (16 分)如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AB1C∥平面 DA1C1; (2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平 面 DA1C1?若存在,求出点 P 的位置;若不存在,说 明理由.

答案解析 1.【解析】选 A.若直线 a 平行于平面α ,则α 内既存在无数条直线与 a 平行,也存在无数条 直线与 a 异面或垂直,所以 A 不正确,B、D 正确,又夹 在相互平行的线与平面间的平行线段 相等,所以 C 正确. 2.【解析】选 D.直线上有两点到平面的距离相等,直线可能和平面相交;直线 m ⊥平面α , 直线 m⊥直线 n,直线 n 可能在平面α 内,因此①③为假命题. 3.【解析】选 C.A 选项是易错项,由 a∥b,b? α ,也可能 a? α ;B 中的直线 a,b 不一定相 交,平面α ,β 也可能相交;C 正确 ;D 中的直线 a,b 也可能异面.

4.【解析】选 C.当直线 a 在平面α 内时,它与平面α 不平行,但 a 可以与平面α 内的一些直 线平行,故选项 A 错误;两条直线在平面α 内的射影平行,则可以为异面直线,故选项 B 错 误;直线 a 与平面α 不垂直,但直线 a 可以与平面 α 内的一些直线垂直,故选项 D 错误,只 有选项 C 正确. 5.【解题指南】选出的条件 能推出α ∥β ,而反之不成立. 【解析】选 D.如图(1),α ∩β =l,m∥l,l1∥l, 满足 m∥β 且 l1∥α ,故排除 A; 在图(2)中,m∥n∥l∥l2 满足 m∥β 且 n∥l2,故排除 B; 如图(2),α ∩β =l,m∥n∥l,满足 m∥β 且 n∥β ,故排除 C.

D 中,当 m∥l1 且 n∥l2 时,由于 m,n 是平面α 内的两条不同直线,故可得 m,n 相交,从而 α ∥β .反之,当α ∥β 时,不一定有 m∥l1 且 n∥l2,如图(3). 6.【解析】选 C.①④正确,②错在 a、b 可能相交或异面. ③错在α 与β 可能相交.⑤⑥错在 a 可能在α 内. 7. 【解析】 ①体现的是线 面平行的判定定理, 缺的条件是 “a 为平面α 外的直线” , 即 “a ? α ” . 它同样适合②,故填 a ? α . 答案:a ? α 8.【解析】①中,当α 、β 不平行时,也存在符合条件的 l、m;②中的直线 l、m 也可能异面; ③中由 l∥γ ,l? β ,γ ∩β =m 得 l∥m,同理 l∥n,故 m∥n. 答案:③ 【变式备选】设 a,b 为不重合的两条直线,α ,β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 a? α ,b ? α ,a,b 是异面直线,那么 b∥α ; ②若 a∥α 且 b∥α ,则 a∥b; ③若 a? α ,b∥α ,a,b 共面,那么 a∥b;

④若α ∥β ,a? α ,则 a ∥β . 上面命题中,所有真命题的序号是 .

【解析】①中的直线 b 与平面α 也可能相交,故不正确; ②中的直线 a,b 可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平 行的性质可得④正确. 答案:③④ 9.【解析】分两种情况考虑,即当点 P 在两个平面的同一侧和点 P 在两平面之间两种可能.由 两平面平行得交线 AB∥CD,截面图如图所示,

24 由三角形相似可得 BD= 或 BD=24. 5 24 答案: 或 24 5 10.【证明】(1)取 B 1D1 的中点 O,连接 GO,OB,易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥GE, 由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D. (2)由题意可知 BD∥B1D1. 如图,连接 HB、D1F, 易证四边形 HBFD1 是平 行四边形, 故 HD1∥BF. 又 B1D1∩HD1=D1, BD∩BF=B, 所以平面 BDF∥平面 B1D1H. 11.【解析】(1)取 B1C1 中点 G,连接 EG、GD, 则 EG∥ A1B1,DG∥BB1, 又 EG∩DG=G, ∴平面 DEG∥平面 ABB1A1, 又 DE? 平面 DEG, ∴ DE∥平面 ABB1A1.

(2)设 B1D 交 BC1 于点 F,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B? 平面 A 1BC1,所以 A 1B∥EF. A1E BF 所以 = . EC1 FC1 BF BD 1 A1E 1 又因为 = = ,所以 = . FC1 B1C1 2 EC1 2 【探究创新】 【解题指南】(1)转化为线线平行来证明;(2)先猜想点 P 的位置,然后再证明. 【解析】(1)由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质知 AB1∥DC1,A1D∥B1C,AB1∩B1C=B1, A1D∩DC1=D , ∴平面 AB1C∥平面 DA1C1. (2)存在这样的点 P 满足题意.

在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP, ∵B1B CC1,∴BB1 CP,

∴四边形 BB1CP 为平行四边形, ∴BP∥B1C, 又∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D, ∴BP∥平面 DA1C1. 【方法技巧】立体几何中探索性问题的解法 探索性问题是近几年高考中出现频率较高的题目,能较好地考查学生的猜想能力和推理能力. 一般以判断点的 存在性为主,用几何法解答探索性问题的一般步骤是:

先假设所求的点存在,然后在这一条件下进行推理论证,得出相关的结论.如果得出矛盾,则 说明假设不成立,即不存在满足条件的点;如果得不出矛盾,则说明假设成立,即存在满足 条件的点. 【变式备选】如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,且 AB= 2CD,在棱 AB 上是否存在一点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?若存在,求点 F 的位置;若不存 在,请说明理由.

【解析】存在这样的点 F,使面 C1CF∥平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB 的中点.证明如下:

∵AB∥CD,AB=2CD, ∴AF CD,∴四边形 AFCD 为平行四边形,

∴AD∥CF, 又 AD? 平面 ADD1A1,CF ? 平面 ADD1A1, ∴CF∥ 平面 ADD1A1.

又 CC1∥DD1,CC1 ? 平面 ADD1A1, DD1? 平面 ADD 1A1, ∴CC1∥平面 ADD1A1, 又 CC1、CF? 平面 C1CF,CC1 ∩CF=C, ∴平面 C1CF∥平面 ADD1A1.


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