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数学归纳法典型例题

数学归纳法典型例题 1. 用数学归纳法证明: 时, 。

2.



3. 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n,不等式 成立。

4. 用数学归纳法证明:

能被 9 整除。

5.由下列各式: , , 你能得出怎样的结论?并进行证明。



, ……

1.解析:①当

时,左边

,右边

,左边=右边,所以等式成立。

②假设 时,

时等式成立,即有

,则当

所以当

时,等式也成立。 等式都成立。

由①,②可知,对一切

2.解析:(1)当 (2)假设当

时,左边 时命题成立,即

,右边

,命题成立。

那么当

时,左边

。 上式表明当 时命题也成立。

由(1)(2)知,命题对一切正整数均成立。

3.解析:①当 ②假设

时,左=

,右

,左>右,∴不等式成立。

时,不等式成立,即



那么当

时,



时,不等式也成立。

由①,②知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立。 4.解析:方法一:令 (1) (2)假设 能被 9 整除。 能被 9 整除,则 ,

∴ 由(1)(2)知,对一切 方法二:(1) (2)若 ,原式

能被 9 整除。 ,命题均成立。 能被 9 整除, 能被 9 整除,则 时





时也能被 9 整除。

由(1),(2)可知,对任何



能被 9 整除。

5. 解:对所给各式进行观察比较,注意各不等式左边最后一项的分母特点: , , , ,…,猜想为 ,对应各式右端为 。

归纳得一般结论

①当 ②假设当

时,结论显然成立。 时,结论成立,

即 则当 时,

成立,

,即当 由①②可知对任意 ,结论都成立。

时结论也成立。


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