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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:8.3 抛物线


§8.3

抛物线

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
标准方 程 图形 y =2px(p>0)
2

y =-2px(p>0)

2

x =2py(p>0)

2

x2=- 2py(p>0)

顶点 轴 焦点

(0,0) 对称轴 y=0
p F( ,0) 2 __________

(0,0)
对称轴y=0 ____________

(0,0) 对称轴 x=0
p F(0, ) 2 ___________

(0,0)
对称轴x=0 ___________

p F(- ,0) 2

p F(0,- ) 2

目录

标准方 程 准线 离心率 开口 M(x0, y0)焦半 径 范围

y =2px(p>0) p x=- 2 e=1 开口向右 p |MF|=x0+ 2
x≥0 __________

2

y2=- 2px(p>0) p x= 2 ________ e=1
开口向左 ___________

x =2py(p>0)

2

x2=- 2py(p>0) p y= 2 e=1
开口向下 __________

p y=- _________ 2
e=1 开口向上 p |MF|=y0+ 2
y≥0 _________

|MF|=-x0+ p 2 x≤0

|MF|=-y0+ p 2 y≤0

目录

思考探究

1.抛物线的定义中,定点F能否在定直线l上?
提示:不能.定义中还有一个隐含条件,就是定点F不在定直 线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是一条直线.如到 点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程应 为x-y-1=0,轨迹为过F且与l垂直的一条直线.

2.抛物线标准方程中,p的几何意义是什么?
提示:表示焦点到准线的距离,恒为正数.

目录

课前热身 1.(2011· 高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=

-2,则抛物线的方程是(
A.y2=-8x C.y2=-4x

)
B.y2=8x D.y2=4x

解析:选 B.因为抛物线的准线方程为 x=-2, p 所以 =2,所以 p=4,所以抛物线的方程是 y2=8x. 2 所以选 B.

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2.(2011· 高考辽宁卷)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是 该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为( 3 A. 4 ) B.1

5 7 C. D. 4 4 1 解析:选 C.∵|AF|+|BF|=xA+xB+ =3, 2 5 ∴xA+xB= . 2 xA+xB 5 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 = . 2 4
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3.若点P到直线x=-1的距离始终比它到点(2,0)的距离小1, 则点P的轨迹为( A.圆 C.双曲线 答案:D ) B.椭圆 D.抛物线

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4.抛物线y2=8x的焦点坐标为________.
答案:(2,0) 5.设抛物线y2=8x,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点, 过AB中点M作x轴平行线交y轴于N,若|MN|=2,则|AB|= ________. 答案:8

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 抛物线的定义

抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距 离的等价性,故二者可相互转化,这一转化在解题中有重 要作用.

目录

例1

已知抛物线y2 =2x的焦点是F,点P是抛物线上的动

点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P点的坐标. 【思路分析】 要求最小值问题,可考虑抛物线的定义,通

过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大 于第三边”这些结论.

目录

【解】 ∵

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6.

6>2,∴A 在抛物线内部.

如图,设抛物线上的点 P 到准线 1 l:x=- 的距离为 d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d.当 PA⊥l 2 7 7 时,|PA|+d 最小,最小值为 ,即|PA|+|PF|的最小值为 ,此 2 2 时 P 点纵坐标为 2, 代入 y2=2x, x=2, 得 所以点 P 坐标为(2,2).

目录

【领悟归纳】 若点 P0(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的任一 p 点, 则该点到抛物线的焦点 F的距离|P0F|=x0+ (焦半径公式), 2 这一公式的直接应用会为我们求解有关到焦点或准线的距离 问题带来方便.

目录

考点2 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法,标准 方程有四种形式,在设方程形式之前,首先要确定抛物线的 开口方向.

目录

例2

求下列各抛物线的方程:

(1)顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M
(-2,-4); (2)顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点Q(m,-3) 到焦点的距离等于5. 【思路分析】 (1)中抛物线开口方向不定;

(2)利用抛物线定义求解.

目录

【解】 (1)设抛物线为 y2=mx 或 x2=ny, 则(-4)2=m(-2)?m=-8,或(-2)2=n(-4)?n=-1, ∴所求的抛物线方程为 y2=-8x 或 x2=-y. (2)依题意,抛物线开口向下, 故设其方程为 x2=-2py(p>0). p 则准线方程为 y= ,又设焦点为 F, 2 p p 则|QF|= -yQ,即 -(-3)=5?p=4. 2 2 故抛物线方程为 x2=-8y.

【易错警示】

这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,

先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解.
目录

跟踪训练 1.求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.
解:直线 x-2y-4=0 与 x 轴的交点为(4,0),与 y 轴的交点为 (0,-2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为 p y2=2px(p>0), =4,p=8. 2 所以抛物线方程为 y2=16x. 当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), p - =-2,p=4.所以抛物线方程为 x2=-8y. 2
目录

考点3

抛物线的几何性质及应用

抛物线的性质和椭圆、双曲线比较差别较大,它的离心率等 于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线、 它没有中心,能正确地应用抛物线的几何性质解决一些简单 的问题,结合抛物线的定义,解决与之有关的基本运算,以 提高应用知识解决问题的能力.

目录

例3

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线

相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为

M1、N1.
求证:FM1⊥FN1.

【思路分析】 可用几何法,挖掘梯形 MM1N1N 的性质计算 → → ∠M1FN1.也可用向量计算FM1· 1. FN

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【证明】

法一:由抛物线的定义得

|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|, 设准线 l 与 x 轴的交点为 F1, ∵MM1∥NN1∥FF1,∴∠MFM1=∠MM1F=∠F1FM1, ∠NFN1=∠NN1F=∠F1FN1, 而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180° , 即 2∠F1FM1+2∠F1FN1=180° , ∴∠F1FM1+∠F1FN1=90° ,∴FM1⊥FN1.

目录

p p 法二:依题意,焦点为 F( ,0),准线 l 的方程为 x=- ,设 2 2 点 M,N 的坐标分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 MN 的方 p p p 程为 x=my+ ,则有 M1(- ,y1),N1(- ,y2), 2 2 2 ?x=my+p ? → → 2 FM1=(-p,y1),FN1=(-p,y2),由?

?y2=2px ?

得,y2-2mpy-p2=0,于是,y1+y2=2mp,y1y2=-p2, → → ∴FM1· 1=p2+y1y2=p2-p2=0,∴FM1⊥FN1. FN

【思维总结】
y1y2=-p2.

本题体现了抛物线的焦点弦的常用性质:如

目录

跟踪训练 2.在本例中,点P为MN的中点,PQ⊥l于Q点,如图. 求证:MQ⊥NQ.
证明:在直角梯形 MM1N1N 中, 1 |PQ|= (|MM1|+|NN1|) 2 1 1 = (|MF|+|NF|)= |MN|. 2 2 又∵P 为 MN 的中点. ∴|PQ|=|PM|=|PN|,∴2(∠MQP+∠NQP)=180° , ∴∠MQP+∠NQP=90° ,∴MQ⊥NQ.

目录

方法感悟
方法技巧
1. 抛物线的定义体现了抛物线上的点到定点距离与到定直线距 离相互转化的应用. 2.为避免开口方向不一定而分成 y2=2px(p>0)或 y2=-2px(p >0)两种情况求解的麻烦,可以设成 y2=mx 或 x2=ny(m≠0, n≠0),若 m>0,开口向右,m<0 开口向左,m 有两解,则抛 物线的标准方程有两个. 3.抛物线比较常见的结论 (1)若直线 l 过焦点交抛物线 y2=2px(p>0)于 A(x1,y1)、 p2 B(x2,y2)两点,则 y1y2=-p2,x1x2= ; 4

目录

(2)抛物线顶点到焦点的距离为抛物线上任意一点到焦点距离 的最小值; (3)抛物线的通径长为过抛物线的焦点的弦长的最小值; 过焦点 2p 的弦长|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角),通径长为 2p; sin θ (4)若抛物线方程为 y2=2px(p>0), 过(2p,0)的直线与抛物线交于 A、B 两点,则 OA⊥OB.反之成立.

目录

失误防范
1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首

先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程,则要由焦
点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. 2.直线与抛物线相交,要注意直线是否过焦点.

目录

考向瞭望把脉高考
命题预测
对于抛物线的考查,主要涉及抛物线的定义、几何性质、标 准方程及直线与抛物线的位置关系,多以选择、填空题为主, 属于中档题.解答题多与其它曲线结合,综合考查解析几何 的基本思想方法和运算、求解能力. 2012年的高考中,四川卷、重庆卷等考查了抛物线的定义、 方程、性质等综合应用,浙江卷、福建卷等以解答题型出现,

综合考查了解析几何的思想和解题方法,属难度较大题目.
目录

预测2014年的高考中,着重考查抛物线的定义、标准方程、几 何性质,仍将以选择题、填空题为主,也可能出现与其他知识结 合起来的综合题,若出现与向量、三角、列不等式求解式证明 定点、定值、最值.存在性等问题,则综合性较强且难度较大.

目录

规范解答 例
(本题满分 13 分)(2011· 高考江西卷)已知过抛物线 y2=

2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程. → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB, 求 λ 的值.

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?x-p ?, 【解】 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? 2 ?
与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 5p 所以 x1+x2= .(3 分) 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x.(6 分) (2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2).(9 分)
目录

→ 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2), 又 y2=8x3, 3 所以[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2.(13 分)

【名师点评】

本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质,

平面向量的概念,圆锥曲线与直线综合解决此问题应采用对 交点设而不求,应用根与系数的关系解决问题.在设点的坐

标时,应尽可能的应用已知条件,在求解过程中减少繁杂的
化简运算.
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知能演练轻松闯关

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