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直线与圆的方程中的六种数学思想方法(学生版)


直线与圆的方程中的六种数学思想方法 直线与圆的方程中的六种数学思想方法
1.数形结合的思想 例1 设 k,a 是实数,要使关于 x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于 k 的一切值都有 解,求实数 a 的取值范围.

变式: 方程 4 ? x 2 = k ( x ? 2) + 3 有两个不等实根,则 k 的取值范围是

2.分类讨论的思想 例 3 求与点 P(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴的截距相等的直线方程.

例4

讨论直线 l:3x+4y+m=0 与圆 C:x2+y2-2x=O 的位置关系.
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3.参数思想 例 5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论 a 为何值, 直线总过第一象限. (2)为使这直线不过第二象限,求 a 的范围.

例 6 过点 P(2,1)作直线 l,与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点,| PA|·| PB|的最小值及此时 l 的方程.

4.待定系数法的思想:根据给定条件求直线和圆方程时,待定系数法和代点法是常 用的方法.
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例 7 已知直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1, 且过一定点 P(6, -2), 求直线的方程.

例 8 已知△ABC 中,A 点坐标为(1,2), AB 边和 AC 边上的中线方程分别为 5x-3y-3=O 和 7x-3y-5=O,求 BC 边所在直线方程.

5.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化. 例9 求函数 y= x 2 + 1 + x 2 ? 4 x + 8 的最小值.
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6.函数、方程、不等式思想 例 10 两条平行直线分别过点 P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为 d,如 果这条直线各自绕点 P、Q 旋转并互相保持平行. (1)求 d 的变化范围. (2)用 d 表示这两条直线的斜率. (3)当 d 取最大值时,求这两条直线的方程.

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