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二轮复习之函数图像及图像性质的应用(基础篇)


二轮复习之函数图像及图像性质的应用(基础篇)
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 人教版 1、 掌握各种图像的及其性质 2、 掌握图形的变换问题 1、 掌握基本初等函数的图象的画法及性质 2、 掌握各种图象变换规则, 复合图像图像的画法及其性质 复合图像图像的画法及其性质

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

教学目标 教学重点 教学难点

教学过程
一、高考解读
函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起 到化繁为简、化难为易的作用 数的图像研究函数的性质
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因此,考生要掌握绘制函数图像的一般方法,掌握函数图像变化的一般规律,能利用函

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二、复习预习
1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函 数、对数函数、幂函数等; 2.掌握各种图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等; 3.识图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势、对称性等方面研究函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题; 4.通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图像,了解它们的变化情况。
2 3 ?1 1 2

三、知识讲解
考点 1
作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、 最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,要把线连在恰当处 这就要
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求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式 等理论和手段, 是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换,
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这也是个难点

考点 2
三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、 水平平移: 函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单 位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、 竖直平移: 函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单 位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;

y=f(x) ? y=f(?x)
Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到;

y轴

y=f(x) ? y= ?f(x)
Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到;

x轴

y=f(x) ? y= ?f(?x)
Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。

原点

y=f(x)

直线 y ? x

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;

y=f(x)

直线 x ? a

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,

并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; Ⅱ、函数 y ? f (| x |)的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留
y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
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④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩 ( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;

y=f(x) ? y=af(x)
Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩 1 ( 0 ? a ? 1 )为原来的 倍得到。 a

y?a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x? a

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四、例题精析
e x ? e? x 例题 1 函数 y ? x ? x 的图像大致为 e ?e
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y

1 O1 x O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

【规范解答】 函数有意义,需使 e ? e
x ?x

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数 ? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因为 y ? x ? x ? 2 x e ?e e ?1 e ?1

为减函数,故选 A 【总结与思考】

.

本题考查了函数的图象以及函数的定义域、 值域、 单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形, 再在定义域内对其进行考察其余的性质.

例题 2 设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a 的值为

【规范解答】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即 x ???1,1? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ? 设 g ? x? ?
3 1 ? x 2 x3

3 ? 1? 2 x? 3 1 ? 1? ? 3 , 则 g' ? x? ? , 所 以 g ? x ? 在 区 间 ? 0, ? 上 单 调 递 增 , 在 区 间 2 4 x x x ? 2?

?1 ? ,1 上 单 调 递 减 , 因 此 ? ?2 ? ?

?1? g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2?

当 x<0 即 ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ?0 ? 3 , g' ? x? ? 2 x x x4

g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
【总结与思考】该题属于实际应用的题目,结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数 图像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函数图象个关系;

例题 3 对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a-x), (1)求证 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰好有四个不同实根,求这些实根之和
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【规范解答】(1)证明 设(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0),
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(2a ? x0 ) ? x0 =a, 2

∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称,

又 f(a+x)=f(a-x), ∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0, ∴(2a-x0,y0)也在函数的图像上, 故 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称
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(2)解 由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,
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若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根, 若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根, ∴x0+(4-x0)+ x1+(4-x1)=8 即 f(x)=0 的四根之和为 8
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【总结与思考】把证明图像对称问题转化到点的对称问题 数形结合、等价转化
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例题 4 如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图像上,它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2 又 A、B、C 在 x 轴上的
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射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的面积为 g(a) (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论
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y C B A

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o

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A'

B'

C'

x

【规范解答】(1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B = (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ),
1 2 1 2

y C B A

g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= a ? 1
(2) f (a) ? g (a) ?

1 2

o
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A'

B'

C'

x

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1 ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2

1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a

∴f(a)<g(a)

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【总结与思考】本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等 充分借助图像信息,利用面积问题的
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拆拼以及等价变形找到问题的突破口

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例题 5

设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 .

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

【规范解答】 (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2) . 因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3ax2 ? 6x ? ax2 ( x ? 3) ? 3x( x ? 2) . 当 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 g (0) 时,

g (0) ≥ g (2) ,
即 0 ≥ 20a ? 24 .
6 故得 a ≤ . 5 6 反之,当 a ≤ 时,对任意 x ? [0, 2] , 5 6 g ( x) ≤ x 2 ( x ? 3) ? 3 x( x ? 2) 5 3x ? (2 x 2 ? x ? 10) 5

?

3x (2 x ? 5)( x ? 2) ≤ 0 , 5

而 g (0) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 g (0) .
6? ? 综上, a 的取值范围为 ? ??, ? . 5? ?

【总结与思考】借助函数图像的变换规则解决实际问题。

课程小结
1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本讲座的 重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、 最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,要把线连在恰当处 这就要
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求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式 等理论和手段, 是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换,
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这也是个难点 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;

①平移变换: Ⅰ、 水平平移: 函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单 位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、 竖直平移: 函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单 位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;

y=f(x) ? y=f(?x)
Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到;

y轴

y=f(x) ? y= ?f(x)
Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到;

x轴

y=f(x) ? y= ?f(?x)
Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。

原点

y=f(x)

直线 y ? x

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;

y=f(x)

直线 x ? a

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分, 并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; Ⅱ、函数 y ? f (| x |)的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留

y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到

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④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩 ( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;

y=f(x) ? y=af(x)
Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩 1 ( 0 ? a ? 1 )为原来的 倍得到。 a

y?a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面


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