当前位置:首页 >> 数学 >> 2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法课件 理

2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法课件 理


第1讲

数列的概念及简单表示法

最新考纲

1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法

(列表、图像、通项公式);2.了解数列是自变量为正整 数的一类特殊函数.

知识梳理
1.数列的概念 (1)数列的定义:按照 一定次序 排列的一列数叫作数列, 项 排在第一位的数称为 数列中的每一个数叫作这个数列的____. 首项 这个数列的第1项,通常也叫作_______. (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整 数集N*(或它的有限子集)为 定义域的函数 an = f(n). 当自变量 按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法,它们分别是 列表法 、 图像法 和 通项公式法 .

2.数列的分类
分类原则 按项数分 类 按项与项 间的大小 关系分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他 标准分类 an+1 > an an+1 < an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起, 有些项大于它的 前一项, 有些项小于它的前一 项的数列 其中 n∈N* 满足条件 项数 有限 项数 无限

摆动数列

3.数列的两种常用的表示方法
n 之间的函数关 (1) 通项公式:如果数列 {an} 的第 n 项 an 与 ___ an=f(n) 来表示,那么这个式子叫作 系可以用一个式子___________ 这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应的函数解

析式.
(2)递推公式:如果已知数列 {an}的第1项(或前几项),且从 第二项 ( 或某一项 ) 开始的任一项 an 与它的前一项 an - 1( 或前 几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫 作这个数列的递推公式.
4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an= S1 ? (n=1), ?_____ ? Sn-Sn-1 ? (n≥2). ?____________

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × )

(2)一个数列中的数是不可以重复的.( × )
(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × ) (4) 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止 一个.(√ )

2.(2016· 咸阳调研)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其

通项公式为an=(
A.2n-1

)
B.2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1)

解析 法一 由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=

15,…,验证可知an=2n-1.
法二 由题意知an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为 首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1. 答案 A

3.(2016· 山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn= 2an-n,则an=( A.2n-1-1 ) B.2n-1 C.2n-1 D.2n+1

解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),

即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),
∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列, ∴an+1=2· 2n-1=2n,∴an=2n-1. 答案 B

4.(2015· 江苏卷 ) 设数列 {an} 满足 a1 = 1 ,且 an + 1 - an = n + 1(n∈N
解析
*

?1? ),则数列?a ?前 ? n?

10 项的和为________.

∵a1=1, an+1-an=n+1, ∴a2-a1=2, a3-a2=3, ?,

an-an-1=n, 将以上 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+?+n (2+n)(n-1) n(n+1) = ,即 an= , 2 2
?1 1 ? 1 2 ? 令 bn=a ,故 bn= =2?n-n+1? ?, n ( n + 1 ) ? ? n



? 1 1 1 1 1 ? 20 S10=b1+b2+?+b10=2?1-2+2-3+?+10-11?=11. ? ?

答案

20 11

5.( 北师大必修 5P8A1 改编 ) 根据下面的图形及相应的点数,
写出点数构成的数列的一个通项公式an=________.

答案 5n-4

考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个 通项公式: (1)-1,7,-13,19,?; 2 4 6 8 10 (2)3,15,35,63,99,?; 1 9 25 (3)2,2,2,8, 2 ,?; (4)5,55,555,5 555,?.



(1)偶数项为正, 奇数项为负, 故通项公式必含有因

式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它 前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为 an= (-1)n(6n-5). (2)这是一个分数数列, 其分子构成偶数数列, 而分母可 分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?,每一项 都是两个相邻奇数的乘积 .故所求数列的一个通项公式 2n 为 an = . (2n-1)(2n+1)

(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的 1 4 9 16 25 各项都统一成分数再观察.即2,2,2, 2 , 2 ,?,从 n2 而可得数列的一个通项公式为 an= . 2 5 5 5 (4)将原数列改写为9×9,9×99,9×999,?,易知数 列 9,99,999,?的通项为 10n-1,故所求的数列的 5 n 一个通项公式为 an=9(10 -1).

规律方法

根据所给数列的前几项求其通项时,需仔

细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、 分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部

分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局
部多角度观察、归纳、联想.

1 1 1 1 【训练 1】 (1)数列- , ,- , ,?的 1×2 2×3 3×4 4×5 一个通项公式 an=________. 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是2,1,10,17,则这个数列的 一个通项公式 an=________.
解析 (1)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个 1 通项公式为 an=(-1) . n(n+1)
n

2×1+1 (2) 数 列 {an} 的 前 4 项 可 变 形 为 2 , 1 +1 2×2+1 2×3+1 2×4+1 2n+1 , 2 , 2 ,故 an= 2 . 22+1 3 +1 4 +1 n +1

2n+1 1 答案 (1)(-1) (2) 2 n(n+1) n +1
n

考点二 由Sn与an的关系求an

【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为
Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)令n=1时,T1=2S1-1, ∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.

(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2(Sn-Sn-1)-2n+1 =2an-2n+1.

因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,
所以Sn=2an-2n+1(n≥1), 当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 两式相减得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),

因为a1+2=3≠0,
所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列. 所以an+2=3×2n-1,∴an=3×2n-1-2, 当n=1时也成立, 所以an=3×2n-1-2.

规律方法

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an= n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1

? ?S1,n=1, ? 当 ? S - S , n ≥ 2. ? n n-1

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

【训练 2】 (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn= 2an+1,则 Sn=( A.2
n-1

)
?3?n-1 B.?2? ? ?

?2?n-1 C.?3? ? ?

D. n-1 2

1

2 1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式 3 3 an=__________.

解析

(1)∵Sn=2an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1=2an,

an+1 3 ∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即 a =2(n≥2), n 1 1 ?3?n-2 又 a2=2,∴an=2×?2? (n≥2). ? ? 1 ?3?-1 1 当 n=1 时,a1=1≠ ×?2? = , 2 ? ? 3 1,n=1, ? ? ∴an=?1?3?n-2 ? ? ,n≥2, ? ?2?2? 1 ?3?n-1 ?3?n-1 ∴Sn=2an+1=2×2×?2? =?2? . ? ? ? ?

2 1 2 1 (2)由 Sn=3an+3,得当 n≥2 时,Sn-1=3an-1+3, 2 2 两式相减,得 an=3an-3an-1, an ∴当 n≥2 时,an=-2an-1,即 =-2. an-1 2 1 - 又 n=1 时,S1=a1=3a1+3,a1=1,∴an=(-2)n 1.

答案 (1)B (2)(-2)n-1

考点三 由数列的递推关系求通项公式

【例 3】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求它的一个 通项公式为 an. (2)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,求 an. n-1 (3)已知数列{an}满足 a1=1,an= n an-1(n≥2),求 an.
解 (1)设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1+t =2(an+t),即 an+1=2an+t,解得 t=3. 故 an+1+3=2(an+3). bn+1 an+1+3 令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且 b = =2. a + 3 n n

所以{bn}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴bn=4· 2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3. (2)由题意得,当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an (n-1)(2+n) - an - 1) = 2 + (2 + 3 + ? + n) = 2 + = 2 n(n+1) 1×(1+1) +1.又 a1=2= +1,符合上式,因此 an 2 2 n(n+1) = +1. 2

n-1 n-2 (3)法一 因为 an= n an-1(n≥2), 所以 an-1= · a-, ?, n-1 n 2 1 a2 = 2 a1 ,以上 (n - 1) 个式子的等号两端分别相乘得 an = n-1 a1 1 1 2 a1·2·3·?· n = n =n. 法二 an-1 an-2 a3 a2 an 因 为 an = · · · ? · a · a · a1 = an-1 an-2 an-3 2 1

n-1 n-2 n-1 1 n ·n-1·n-2·?·1=n.

规律方法

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用

累加、累乘、构造法求解. an (1)当出现 an=an-1+f(n)时, 用累加法求解; (2)当出现 = an-1 f(n)时,用累乘法求解;(3)当出现 an+1=pan+q 时,将 an+1 =pan+q 的递推关系式可以化为(an+1+t)=p(an+t)的形式, q 构成新的等比数列,其中 t= . p-1

【训练 3】(1)(2016· 合肥一模)已知数列{an}满足 a1=1, a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),则数列{an}的通项 公式 an=________. n+2 (2)在数列{an}中, a1=1, Sn= 3 an, 则 an=________.
解析 (1)由 an+2+2an-3an+1=0,得 an+2-an+1= 2(an+1-an),∴数列{an+1-an}是以 a2-a1=3 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴an+1-an=3×2n-1, ∴n≥2 时, an-an-1=3×2n 2,?,a3-a2=3×2,a2-a1=3,


将以上各式累加得 an-a1=3×2n-2+?+3×2+3=3(2n-1-1), ∴an=3×2n 1-2(当 n=1 时,也满足).


(2)由题设知,a1=1.当 n≥2 时, n+2 n+1 an n+1 an n+1 an=Sn-Sn-1= 3 an- 3 an-1.∴ = .∴ = , ?, an-1 n-1 an-1 n-1 a4 5 a3 4 a2 a3=3,a2=2,a1=3.以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘, n(n+1) an n(n+1) 得到a = ,又∵a1=1,∴an= . 2 2 1
答案 (1)3×2
n-1

n(n+1) -2 (2) 2

考点四 数列的单调性及应用
【例4】 已知数列 {an} 的前 n 项和Sn = 2n2+2n ,数列 {bn} 的

前n项和Tn=2-bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设cn=a· bn,证明:当且仅当n≥3时,cn+1<cn.
(1)解 当 n=1 时,a1=S1=4.

对于 n≥2,有 an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 综上,{an}的通项公式 an=4n.

将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1,故 T1=b1=1. (求 bn 法一)对于 n≥2,由 Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, 1 得 bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1),bn=2bn-1,bn=21-n. (求 bn 法二)对于 n≥2,由 Tn=2-bn,得 Tn=2-(Tn-Tn-1), 1 2Tn=2+Tn-1, Tn-2=2(Tn-1-2), Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n, Tn=2-21-n,bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21-n. 综上,{bn}的通项公式 bn=21-n.

(2)证明

(法一)由

cn+1 1 12 2 2 5-n cn=an·bn=n 2 ,得 c =2?1+n? . ? ? n
? ?

1 4 当且仅当 n≥3 时,1+n≤ < 2,即 cn+1<cn. 3
2 5-n (法二)由 cn=a2 · b = n 2 ,得 n n

cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2]=24-n[-(n-1)2+2]. 当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn.

规律方法

(1)单调性是数列的一个重要性质 .判断数列的单

调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N*)的

大小,若an + 1 >an 恒成立,则{an} 为递增数列;若 an + 1 <an
恒成立,则 {an} 为递减数列 . 用作差法判断数列增减性的步 骤为:①作差;②变形;③定号;④结论.
(2)求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值
? ?an≤an+1, 法;另一种是不等式法,求最小项可由? 来确定 ? ?an≤an-1 ? ?an≥an+1, 求最大项可由? 来确定 ? ?an≥an-1

n,

n.若数列是单调的,也可由单

调性来确定最大或最小项.

3 【训练 4】 已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项 n 的值.



(1)设等比数列{an}的公比为 q,

因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3, a5 1 于是 q = = . a3 4
2

3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为 3 ? 1?n-1 3 n-1 ? ? an=2× -2 =(-1) ·2n. ? ?

1 ? 1+ n,n为奇数, ? 1?n ? 2 (2)由(1)得 Sn=1-?-2? =? ? ? ?1- 1n,n为偶数. 2 ? 3 当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,所以 1<Sn≤S1=2, 1 1 3 2 5 故 0<Sn-S ≤S1-S =2-3=6.当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大 n 1 3 1 1 3 4 7 而增大, 所以 =S2≤Sn<1, 故 0>Sn-S ≥S2- = - =- . 4 S2 4 3 12 n 7 1 5 综上,对于 n∈N ,总有-12≤Sn-S ≤6. n
*

5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

[思想方法] 1. 由数列的前几项求数列通项,通常用观察法 ( 对于交错数

列一般有 ( -1)n 或( -1)n +1 来区分奇偶项的符号 ) ;已知数
列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通 项可用归纳、猜想和转化的方法. ? (n=1), ?S1 2.强调 an 与 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1 (n≥2). 3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难 度较难把握.一般有两种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想;

(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.

[易错防范]

1. 数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列
时,一定要注意自变量的取值,如数列an=f(n)和函 数y=f(x)的单调性是不同的. 2.数列的通项公式不一定唯一. 3.在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求

出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1
的形式,但它只适用于n≥2的情形.


赞助商链接
更多相关文档:

...届高三数学大一轮复习 数列的概念与简单表示法学案 ...

【步步高】届高三数学大一轮复习 数列的概念简单表示法学案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第六章 数列 学案 28 数列的概念简单表示法导学目标: 1...

高考一轮数列复习教案

高考一轮数列复习教案_数学_高中教育_教育专区。第五章 数 列 第一节数列的概念简单表示法 (一)教学目标 1、知识与技能:了解数列的概念和几种简单的表示方法...

2012届高三理科数学一轮复习第06章:数列

2012届高三理科数学一轮复习第06章:数列_数学_高中教育_教育专区。第六章高考导航考试要求 1.数列的概念简单表示法? (1)了解数列的概念和几种简单 ? (2)...

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表...

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念简单表示法学案(含解析)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数列的概念简单表示法 【考纲传真】 1.了解数列...

2014届高考数学一轮复习 第6章《数列的概念与简单表示...

2014届高考数学一轮复习 第6章数列的概念简单表示法》名师首选学案 新人教A版_高考_高中教育_教育专区。第6章 数列 学案 27 数列的概念简单表示法导学...

...(人教A理)一轮讲义:6.1数列的概念及简单表示法

步步高2015高考数学(人教A)一轮讲义:6.1数列的概念及简单表示法_数学_高中教育_教育专区。高三数学理一轮复习讲义 步步高2015 [ 来源:zzs tep.com] § 6.1...

...届高三数学大一轮复习 数列的概念与简单表示法学案 ...

【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的概念简单表示法学案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。数列的概念简单表示法导学目标: 1.了解数列...

...高考数学总复习课时作业(二十八)第28讲数列的概念与...

2019年高考数学总复习课时作业(二十八)第28讲数列的概念简单表示法理_高考_...( ) B.30 D.63 ( ) 2.[2017·天门三校月考] 数列-1,4,-9,16,-25...

2018届高三数学一轮复习: 第5章 第1节 课时分层训练28

2018届高三数学一轮复习: 第5章 第1节 课时分层...课时分层训练(二十八) 数列的概念简单表示法 A...2017· 海淀期末)数列{an}的首项 a1=2,且(n+1...

高三数学一轮复习必备精品:数列概念及等差数列

2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料 第 28 讲一. 【课标要求】 数列概念及等差数列 1.数列的概念简单表示法;通过日常生活中的实例,了解...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com