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函数求值域的常用多种方法


函数求值域多种方法

在函数的三要素中, 定义域和值域起决定作用, 而值域是由定义域和对应法则共同确定。 研究函数的值域, 不但要重视对应法则的作用, 而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。 确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。 对于如何求函数的值域, 是学生感到头痛 的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若 方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法 归纳如下,供参考。 基本知识 1.定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2.函数值域常见的求解思路: ⑴ 划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵ 反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等 式,解不等式即可获解。 ⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域,从方程的角度讲,函数的值域即为使关于 x 的方程 y=f(x)在定义域内有解的 y 得取值范围。 特别地, 若函数可看成关于 x 的一元二次方程, 则可通过一元二次方程在函数定义域内有解 的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷ 可以用函数的单调性求值域。 ⑸ 其他。

1. 直接观察法
1

对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数 的值域 例 1. 求函数 的值域。

解:∵



显然函数的值域是:

2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 2. 求函数 解:将函数配方得: ∵ 由二次函数的性质可知:当 x=1 时, 故函数的值域是:[4,8] ,当 x=-1 时, 的值域。

3. 判别式法 例 3. 求函数 解:两边平方整理得: ∵ 解得: 但此时的函数的定义域由 由 ,仅保证关于 x 的方程: ,得 在实数集 R 有实根,而不 求出的范围可能比 ∴ 的值域。 (1)

能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由
2

y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ ∴





代入方程(1)

解得: 原函数的值域为:

即当

时,

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义 域,将扩大的部分剔除。

4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 4. 求函数 值域。

解:由原函数式可得:

则其反函数为:

,其定义域为:

故所求函数的值域为:

3

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例 5. 求函数

的值域。

解:由原函数式可得:

,可化为:

即 ∵ ∴



解得:

故函数的值域为

6. 函数单调性法 例 6. 求函数 解:令 所以 则 在[2,10]上是增函数 的值域。 在[2,10]上都是增函数

当 x=2 时, 当 x=10 时,

故所求函数的值域为:

4

例 7. 求函数

的值域。

解:原函数可化为: 令 所以 , 在 ,显然 在 上为无上界的增函数

上也为无上界的增函数

所以当 x=1 时,

有最小值

,原函数有最大值

显然 y>0,故原函数的值域为

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公 式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作 例 8. 求函数 的值域。

解:因

即 故可令

∴ ∵




5

故所求函数的值域为

例 9. 求函数

的值域。

解:原函数可变形为:

可令

,则有





时,

当 而此时

时, 有意义。

故所求函数的值域为

例 10. 求函数 解:



的值域。



,则

6





可得:

∴当

时,

,当

时,

故所求函数的值域为



例 11. 求函数 解:由 故可令 ,可得

的值域。

∵ 当 当 时,

∴ 时,

故所求函数的值域为:

8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目 若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例 12. 求函数 的值域。

7

解:原函数可化简得:y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) ,B(-8)间的距离之和。 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时,y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10 故所求函数的值域为:

例 13. 求函数 解:原函数可变形为:

的值域。

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 , 故所求函数的值域为 x 轴 的 交 点 时 ,

例 14. 求函数 解:将函数变形为:

的值域。

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B(-2,1)到点 P(x,0)的距离之差。 即:y=|AP|-|BP|
8

由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P',则构成△ABP', 根据三角形两边之差小于第三边,有 即: (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为:

注:由例 13,14 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧, 而求两距离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 13 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) ,(-2,-1),在 x 轴的同侧;例 14 的 A,B 两 点坐标分别为(3,2) ,(2,-1),在 x 轴的同侧。

9. 不等式法 利用基本不等式 , 求函数的最值,

其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不过有时需要用到 拆项、添项和两边平方等技巧。

例 15. 求函数 解:原函数变形为:

的值域。

9

当且仅当 tanx=cotx 即当 故原函数的值域为: 时,等号成立

例 16. 求函数 y=2sinxsin2x 的值域。 解:y=4sinxsinxcosx

当且仅当

,即当

时,等号成立。



可得:

故原函数的值域为:

10. 映射法 原理:因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个
10

变量范围,就可以求另一个变量范围。

例 17. 求函数

的值域。

解:∵定义域为









解得

故函数的值域为

11.最值法 对于闭区间 [a,b] 上的连续函数 y=f(x), 可求出 y=f(x) 在区间 [a,b] 内的极值 , 并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 18.已知 ,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。

点拨: 根据已知条件求出自变量 x 的取值范围, 将目标函数消元、 配方, 可求出函数的值域。 解:∵ ,上述分式不等式与不等式
11

同解,解之得-

1≤x≤3/2,又 x+y=1,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中,得 ∴ 小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4} 。

(-1≤x≤3/2),

且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大

点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出 最值而获得函数的值域。 12.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 19.求函数 的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 作 一 个 长为 4 、 宽 为 3 的 矩形 ABCD ,再 切割 成 12 个 单 位 正方 形。 设 HK=x, 则 EK=2-x,KF=2+x, 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。 点评:对于形如函数 (a,b,c 均为正数),均可通过构造 ,。

几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 13.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原 函数的值域。 例 20.已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数
12

的值域。

点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴ 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时, 函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将 原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。 14.利用多项式的除法 例 21.求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故 y≠3。 ∴函数 y 的值域为 y≠3 的一切实数。 点评:对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 15. 多种方法综合运用 。 。

例 22. 求函数 解:令

的值域。 ,则

(1)当 t>0 时,

,当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号,所以

(2)当 t=0 时,y=0。
13

综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法

例 23. 求函数

的值域。

解:



,则



∴当 当

时, 时,

此时

都存在,故函数的值域为 的有界性。

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的 方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方 法。

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