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高三数学(文)椭圆人教版知识精讲.doc


高三数学(文)椭圆人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 椭圆 二. 知识内容: 1. 椭圆方程

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 或 ( a ? b ? 0 ) a2 b2 a2 b2 ? x ? a cos? (2)参数方程: ? ? y ? b sin ?
(1)标准方程: 2. 椭圆的几何性质 对称性、离心率、范围、顶点等 3. 直线与椭圆位置关系 (1)相交 ? ? ? 0 (2)相切 ? ? ? 0 (3)相离 ? ? ? 0

【典型例题】
[例 1] 直线 y ? kx ? 1 (k ? R) 与焦点在 x 轴上的椭圆 值范围。

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,求 m 的取 5 m

? y ? kx ? 1 ? 解:由 ? x 2 ? (m ? 5k 2 ) x 2 ? 10kx ? 5(1 ? m) ? 0 y2 ?1 ? ? m ?5 2 2 2 2 则 ? ? 100k ? 20(1 ? m)(m ? 5k ) ? 0 对 k ? R 恒 成 立 ? 5mk ? m ? m ? 0 对 k ? R 恒成立,又 m ? 0 ,则有 5k 2 ? 1 ? m 对 k ? R 恒成立,故 1 ? m ? 0 即 m ? 1 ,又由 m ? 5 ,所以 m ? [1,5) ? x ? 5 ?u ? 2 2 另解: 令? , 则问题转化为直线 mv ? k 5u ? 1 与圆 u ? v ? 1 总有公共点, y ? ?v ? ? m 求 m 的取值范围。 | 0 ? 0 ?1| 由点线距离公式,有 ? 1 ? 5k 2 ? m ? 1 ? 0 对 k ? R 恒成立,下同解法 1 2 5k ? m 又解:利用数形结合,直线系 y ? kx ? 1 恒过定点 (0,1) ,直线与椭圆总有公共点等价
于点 (0,1) 在椭圆内部 ?

02 1 ? ? 1,即 m ? 1 ,又 m ? 5 故 m ? [1,5) 5 m

[例 2] 已知椭圆

x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 和两点 A(1,2) , B(3,4) ,若线段 AB 和椭圆没有公 2

共点,求 a 的取值范围。
用心 爱心 专心

y ? 2 x ?1 ? (1 ? x ? 3) ,即 x ? y ? 1 ? 0 (1 ? x ? 3) 代入椭 4 ? 2 3 ?1 圆方程,并整理得 3x 2 ? 4x ? 2(1 ? a 2 ) ? 0 (1 ? x ? 3) 问题等价于该方程无实数解,令 2 f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 2(1 ? a 2 ) ,由 f ( x) 对称轴, x ? ? ,故 f ( x) ? 0 在 1 ? x ? 3 上没有 3 41 9 2 2 实根的充要条件是 f (1) ? f (3) ? 0 ? (9 ? 2a 2 )(41? 2a 2 ) ? 0 ? a ? 或a ? , 2 2 3 2 82 又 a ? 0 ,故 0 ? a ? 或a ? 2 2
解:线段 AB 的方程为:

又法:利用数形结合,当椭圆分别过点 A 和点 B 时 a A ?
2

12 9 32 2 ? 22 ? , aB ? ? 42 2 2 2

?

41 82 3 2 ,故 a ? 或0 ? a ? 2 2 2

[例 3] 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 和直线 l : y ? 4 x ? m ,试确定 m 的范围,使椭圆上有两个 4 3

不同的点关于直线对称。 解:设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y 2 ) 是椭圆上关于直线 l 对称的两点,则过 A、B 的直线方程 可写成 y ? ?

1 x2 y2 x ? b 代入 ? ?1 4 4 3 2 2 得 13x ? 8bx ? 16b ? 48 ? 0 满足 ? ? (?8b) 2 ? 4 ? 13 ? (16b 2 ? 48) ? 0 ? b 2 ?
又 x1 ? x 2 ?

13 4

8b 4b 12b ) 且 M 在l 上 ,故 AB 中点为 M ( , 13 13 13 12b 4b 13 13 2 13 2 13 ? 4? ? m ? b ? ? m 代入 b 2 ? ,得 ? ?m? 故 13 13 4 4 13 13 2 2 2 2 x y x y 另解:由 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3
用心 爱心 专心

2 2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 x ? x2 y ? y 2 y1 ? y 2 ? ?0 ? 1 相减得 ?? 1 ? 4 3 4 3 x1 ? x2 y ? y2 1 由 AB ? l ,则 1 ? ? ,故 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ) x1 ? x2 4 y1 ? y 2 x ? x2 ? 3? 1 2 2 设 AB 中点为 M ( x0 , y0 ) ,故 y0 ? 3x0 又 M 在 l 上,则 y0 ? 4 x0 ? m ,解得 x0 ? ?m , y0 ? ?3m

又 M 在椭圆内,故

(?m) 2 (?3m) 2 2 13 2 13 ? ?1? ? ?m? 4 3 13 13
x2 ? y 2 ? 1 有公共点,求圆的半径 r 的取值范围。 4

[例 4] 若圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 与椭圆

?( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 ? 解:由 ? x 2 ? 3 x 2 ? 8 x ? 8 ? 4r 2 ? 0 , ? 2 ? x ? 2 2 ? ? y ?1 ?4 令 f ( x) ? 3x 2 ? 8x ? 8 ? 4r 2 ,则两曲线有公共点 ? f ( x) ? 0 ,在 ? 2 ? x ? 2 上有 4 2 2 4 2 实根,而 f ( x) ? 3( x ? ) ? 4(r ? ) ,故 f ( x) ? 0 ,在 ? 2 ? x ? 2 有实根 ? f ( ) ? 3 3 3 2 2 2 f (?2) ? 0 ? ?8(r 2 ? ) ? 4(9 ? r 2 ) ? 0 ? (r 2 ? )( r 2 ? 9) ? 0 ? ? r 2 ? 9 ,又 3 3 3 6 r ? 0故 ?r ?3 3

用心

爱心

专心

? x ? 1 ? r cos? ? x ? 2 cos? ,椭圆 ? ? y ? r sin ? ? y ? sin ? ?1 ? r cos? ? 2 cos? 两曲线有公共点 ? ? ,消去 ? , (2 cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? ? r 2 ?r sin ? ? sin ? 2 2 2 2 2 2 2 2 c s ? ? ?1时, o s ? ? 时, rmin ? 整理得 r ? 3(cos ? ? ) ? , 当o 当c rmax ? 9, 3 3 3 3 6 ∴ ?r ?3 3
又解:利用参数方程, 由圆 ? [例 5] 已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率 e ? 椭圆上恰有三点到 l 的距离为 5 ,求椭圆的方程。

5 ,若 3

x2 y2 b2 5 4 ? 1 ? e2 ? 1 ? ? ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,由 2 2 2 9 9 a a b 2 2 4 2 4 4 x y 2 ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? a 2 故 b ? a ,于是椭圆方程为 2 ? 4 2 9 9 9 a a 9 由与直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 距离为 5 的点的集合为两条平行于 l 的直线 设为 x ? 2 y ? m ? 0 ,由平行线距离公式,有 | m?5| ? 5 ?| m ? 5 |? 5 ? m ? 0 或 m ? 10 1 ? 22 故 l1 : x ? 2 y ? 0 与 l 2 : x ? 2 y ? 10 ? 0 4 2 4 2 2 显然椭圆 x ? y ? a 与 l1 有两个公共点,故当且仅当 l 2 与椭圆相切时满足条件, 9 9 4 2 4 2 2 把 x ? 2 y ? 10 ? 0 代入 x ? y ? a ,并整理得 25y 2 ? 160y ? 400? 4a 2 ? 0 9 9 2 2 2 由 ? ? 160 ? 4 ? 25? (400? 4a ) ? 0 ? a ? 36
解:设椭圆方程为 所以所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 36 16

[例 6] 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上求一点 P,使它到直线 l : 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的距离最短。 4 7

用心

爱心

专心

解:设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y ? 代入

3 x?m 2

x2 y2 ? ? 1 ,并整理得 4 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 7 ? 0 4 7 ? ? 9m2 ? 16(m2 ? 7) ? 0 ? m2 ? 16 ? m ? ?4 3 3 3 故两切线方程为 y ? x ? 4 和 y ? x ? 4 ,显然 y ? x ? 4 距 l 最近 2 2 2 3 7 | 16 ? 8 | 8 切点为 P ( ,? ) d? ? 2 4 13 32 ? (?2) 2
另解:设椭圆

? x ? 2 cos? x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 4 7 y ? 7 sin ? ?

设 (2 cos? , 7 sin ? ) 为椭圆上任意一点,则它到 l 的距离为

d?

| 6 cos? ? 2 7 sin ? ? 16 | 13

?

1 13

| 8 sin(? ? ? ) ? 16 | ?

8 13

| sin(? ? ? ) ? 2 |

其中 sin ? ?

3 8 7 ,cos? ? ,当 sin( ? ? ? ) ? 1 时, d min ? ,sin(? ? ? ) ? 1 ? 4 4 13

3 3 7 ? cos? ? sin ? ? 1 ? y ? x ? 4 2 4 4

[例 7] 如图,已知椭圆
?

x2 ? y 2 ? 1 , DA ? AB , CB ? AB , DA ? 3 2 , CB ? 2 , 2

试问当动点 P 在 AB 上移动到什么位置时,三角形 PCD 的面积有最小值,求该最小值及此 时 P 的坐标。
用心 爱心 专心

解:由已知 D(? 2 ,3 2 ) , C( 2 , 2 ) ,故 | CD |? 4 且 CD 的方程为

y? 2

3 2? 2 ? 2? 2 设 P( 2 cos? , sin ? ) ,则 P 到 CD 的距离为 d?
?

?

x? 2

,即 x ? y ? 2 2 ? 0

| 2 cos? ? sin ? ? 2 2 | 2

?

2 1 2 3 | cos? ? sin ? ? 2 | 3 3 3 2

3 2 | sin(? ? ? ) ? 2 | 2 3 ? 3 2 6 3 6 其中 sin ? ? , cos? ? ,当 ? ? ? ? 时, d min ? |1? 2 |? 2 ? 2 3 3 2 3 2 1 6 故 S min ? ? 4 ? (2 ? ) ? 4 ? 6 ,此时 P( x0 , y0 ) 的坐标为 2 2 ? 2 x0 ? 2 cos ? ? 2 cos( ? ? ) ? 2 sin ? ? 3 2 3 ? 1 2 1 y0 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? cos ? ? 3 ,即 P ( 3 , 3) 2 3 3 3 x2 ? y 2 =1 另解:设与 CD 平行的直线 l 的方程为 x ? y ? n ? 0 代入 2 3 2 2 得 x ? 2nx ? n ? 1 ? 0 2 3 2 2 若 l 与椭圆相切, 则 ? ? 4n ? 4 ? (n ? 1) ? 0 ? n ? ? 3 , 则当 n ? ? 3 时, S ?PCD 2
最小。

l 与 CD 到距离 d ?

| 3?2 2 | 2

? 2?

2 1 6 3, 3) ,于是 S min ? 4 ? 6 , P ( 3 3 2

【模拟试题】(答题时间:60 分钟)
2 2 1. ab ? 0 , 4a ? b ? 1是直线 y ? 2 x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相切的( a2 b2



A. 充分非必要条件 C. 充要条件
2

B. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件

2. 已知点 P 在椭圆 ( x ? 2) ? 2 y ? 1 上,则
2

6 2 2 x y2 ? 3. 点 P 在椭圆 16 9
A. B. A. 1 B. 2
2

6 3

y 的最大值( ) x 6 C. 6 D. 6 x y 6 ? 1 上,且到直线 ? ? 1 的距离为 ,则 P 的个数为( 4 3 5
D. 4
2



C. 3

4. 若直线 l 与椭圆 x ?

1 y ? 1 相交于不同的两点 M、 N, 且线段 MN 恰好被直线 x ? ? 0 2 9


平分,则直线 l 的倾斜角的范围是

用心

爱心

专心

5. 若曲线 C1 : 是 。

1 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 1 与曲线 C 2 : y 2 ? x 有公共点,则 a 的取值范围 2 2

6. 过点 (1,0) 的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率 e ? 两点,直线 y ?

2 的椭圆 E 交于 A、B 2

1 x 过线段 AB 中点 M,又椭圆 E 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求 2

直线 l 与椭圆 E 的方程。

用心

爱心

专心

试题答案 ? 2? 9 ) 1. C 2. D 3. B 4. ( , ) ? ( , 5. [ ? 2 , ] 3 2 2 3 4 2 2 x y 6. 解:设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 2 2 b 1 由e ? ? 2 ? 1 ? e 2 ? , a 2 ? 2b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 2 2 a 2 2 x y 故椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 ,设 l 的斜率为 k 2c c b2 1 c2 则由 k OM ? ? 2 ,可得 ? ? 2 ? k ? ?1 2 2c k a k 则 l 的方程为 y ? ?( x ? 1) , 即 x ? y ? 1 ? 0 ,F (c,0) 关于 l 对称点 F ?(1,1 ? c) 在椭圆 E

? ?

x2 y2 1 (1 ? c) 2 3 ? ?1 ? 1 ? c ? ,于是椭圆 E 的方程为 上,则 2 ? 9 9 4 2c c2 8 16

用心

爱心

专心


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