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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】空间向量与立体几何专练


2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】 空间向量与立体几何
1.如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, , 底面所成的角为 (I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥 ,侧棱 ,点 F 为 D C 1 的中点. ; 的体积. ,棱 AA1 与

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形

ABCD 是菱形, AC = 6 , BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一
点. (1) 求证: AC ⊥ DE ; (2) 当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,证明 EC ⊥ 平面 PAB .

P

E D C

A
3.如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD,E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2. (1)求证:BC⊥PC; (2)求证:EF//平面 PDC; (3)求三棱锥 B—AEF 的体积。 4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC; D

B

E C A

·M

4 2 2 2 B 左视图 俯视图

5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC = 30 , BM ⊥ AC 交 AC 于点 M,
0

EA ⊥ 平面 ABC , FC EA ,AC=4,EA=3,FC=1. .
(I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值. .

6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中 AD ∥ BC,∠ABC = 90° PD ⊥ 平面 ,

ABCD , AD = 1 , AB = 3 , BC = 4 . ⑴求证: BD ⊥ PC ; uuu r uuu r (2)设点 E 在棱 PC 上, PE = λ PC ,若 DE ∥平面 PAB ,求 λ 的值.

P E A B D C

AB = EC = 2,

AE = BE = 2 , O 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: EO ⊥ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

9.在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 都是边长为 2的等边三角形,AB=2,O,D 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:OD∥平面 PAC; (2)求证:PO⊥平面 ABC; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

11 如图所示,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC = AA1 = 2 ,平面 ABC1 ⊥ 平面 A1 ACC1 , 又 ∠AA1C1 = ∠BAC1 = 60o , AC1 与 A1C 相交于点 O . (Ⅰ)求证: BO ⊥ 平面 A1 ACC1 ;
O B B

C A A1 C1

(Ⅱ)求 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值;

12.如图所示, 所在平面互相垂直, 12.如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相垂直, F 为 BC 的中 如图所示 点, ∠BAC = ∠ACD = 90° , AE ∥ CD , DC = AC = 2 AE = 2 .[ (Ⅰ)求证:平面 BCD ⊥ 平面 ABC ;来源 求证: (Ⅱ)求证: AF ∥平面 BDE ; 求证: 的体积. (Ⅲ)求四面体 B ? CDE 的体积.

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC; D

E C A

·M

4 2 2 2 B 左视图 俯视图

15.如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接 EF. (1)求证:PC⊥面 AEF; (2)若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G(图中未标出点 G),求多面体 P—AEFG 的体积。

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ⊥ 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ∠ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P
2 2

D
4 2 2

2

2 4

A B

C

4

正(主)视视

侧(左)视视

18.
P
2 2

D
4 2 2

2

2 4

A B

C

4

正(主)视视

侧(左)视视

17.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, ?PAD 是正三角形, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , E , F , G 分别是 PD, PC , BC 的中点. (I)求平面 EFG ⊥ 平面 PAD ; (II)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.

18.如图,在梯形 ABCD 中,

AB / / CD , AD = DC = CB = 2 , ∠CAB = 30 o , 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD , CF = 3 . (Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 ACFE ; (Ⅱ)设点 M 为 EF 中点, 求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.

F M E H D C
F

19.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ∠DEF = 90 . (Ⅰ)求证:BE//平面 ADF;
0

(第 20 题) (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为 何值时,三棱锥 F -BDE 的体积为 3 ?
D A B

A

B

E C

21. 已知正四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 2 .M 为线段 PC 的中点. N (Ⅰ) 求证:PA∥平面 MDB; (Ⅱ) N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 MBD 所成角的正切 值. A D

P M C

B (第 20 题)

22.如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形, ∠DAB = 120° ,

E 为线段 CC1 的中点, F 为线段 BD1 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)当
A1

D1

C1

B1 E F

D1 D 的比值为多少时, DF ⊥ 平面 D1 EB , AD
D
A

并说明理由.
C

B

Q EF ? 面 D1 EB, D1 B ? 面 D1 EB, EF I D1 B = F ,∴ DF ⊥ 平 面 D1 EB .
23.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

24.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

25.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

26. 如图:在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=3,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,过 点 A1 作 A1O⊥平面 BCD,垂足 O 恰好落在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)求直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值. 27.如图的几何体中, AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD = DE = 2 AB = 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; B E (2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE . A

C F D

28 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 30.如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直, AB =

2 , AF = 1 ,

M 是线段 EF 的中点。
(1)求异面直线 CM 与直线 AB 所成的角的大小; (2)求多面体 EFABCD 的表面积。

31.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体 积 32.如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC, AD=2BC, 沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角, 连结 PC、 PD,在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED,连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCD;
o

(2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

P

A

D

A E
图2

D

B

C

B

C

33.如图, 33.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ∠BAC = 90°, AC = AB = AA1 , 如图 中点. 中点. 所成的角; (Ⅰ)求异面直线 AE 与 A1C 所成的角; 上一点, (Ⅱ)若 G 为 C1C 上一点,且 EG ⊥ A1C ,求二面角 A1 ? AG ? E 的大 小.

E 是 BC 的

解法一: ( Ⅰ ) ∴ 异 面 直 线 AE 与

A1C 所 成 的 角 为

π
. ……………………………6 分

3
(Ⅱ) ∴所求二面角 A1 ? AG ? E 为 π ? arctan 5 . 34.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

35.如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩 形,PA=AB=1, AD = 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动。 ⑴求三棱锥 E-PAD 的体积; ⑵当 E 点为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的 位置关系,并说明理由; ⑶证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF。

P

F A D

B

E

C

36. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD 上平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD =2AD =8,AB =2DC = 4 5 。 (I)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ⊥ 平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PAB 的体积




, ,

1. 如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, 侧棱 (I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥 ,棱 AA1 与底面所成的角为 ; 的体积.

,点 F 为 D C 1 的中点.

解: (I)Q 四边形 ABCD 为菱形且 AC I BD = O ,

∴ O 是 BD 的中点 .
又 点

....................2 分

F



DC1







,





?DBC1





OF // BC1 ,

...................................4 分

Q OF ? 平 面 BCC1 B1 , BC1 ? 平 面
BCC1 B1 , ∴ OF // 平面 BCC1 B1 . ..........6 分
(II)Q 四边形 ABCD 为菱形,

∴ BD ⊥ AC , 又 BD ⊥ AA1 ,

AA1 I AC = A, 且 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 , ∴ BD ⊥ 平面 ACC1 A1 ,
Q BD ? 平面 ABCD ,

∴ 平面 ABCD ⊥ 平面 ACC1 A1 .


......................8

在平面 AC1 内过 A1 作 A1M ⊥ AC于M ,则 A1M ⊥ 平面ABCD ,

∴ ∠A1 AM
∠A1 AM = 60o .



A1 A

















................................10 分
o

在 Rt ?AA1M 中, A1M = A1 A ? sin 60 = 2 3 , 故三棱锥 C1 ? BCD 底面 BCD 上的高为 2 3 ,又 S ?BCD = 所以,三棱锥 C1 ? BCD 的体积 V =

1 BC ? CD ? sin 60o = 3 , 2

1 1 S ?BCD ? h = ? 3 ? 2 3 = 2. . 3 3 2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 , BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点. (1) 求证: AC ⊥ DE ; P (2) 当 ?AEC 面积的最小值是 9 时, 证明 EC ⊥ 平面 PAB .

E D
.解: (1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因 为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ⊥ BD 。 又因为 PD ⊥ 平面 ABCD ,AC ? 平 面 PDB

C

A

B

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ DE ------------------------------ 7 分 ,知 AC ⊥ 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ EF . (2)连 ED .由(I)

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ⊥ PB . 2 1 S ?ACE = 9, × 6 × EF = 9 ,解得 EF = 3 -------------------10 分 2 由 PB ⊥ EF 且 PB ⊥ AC 得 PB ⊥ 平面 AEC , 则 PB ⊥ EC , 又由 EF = AF = FC = 3 得 EC ⊥ AE ,而 PB I AE = E ,故 EC ⊥ 平面 PAB -S ?ACE =
3.如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD,E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2. (1)求证:BC⊥PC; (2)求证:EF//平面 PDC; (3)求三棱锥 B—AEF 的体积。

解证: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形 ∴BC ⊥ DC 又 PD ⊥ 面 ABCD, BC ? 面 ABCD ∴BC ⊥ PD, 又 PD ∩ DC=D 从而 BC ⊥ PC--------------------4分 ∴BC ⊥ 面 PDC (Ⅱ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG //

1 BC,所以 GE //DF . 2

∴四边形 EFGD 是平行四边形。 ∴EF//GD, DG ? 平面 PDC 又 EF ? 平面 PDC, ∴EF//平面 PDC.…………………---------------------8分 (Ⅲ)取 BD 中点 O,连接 EO,则EO//PD, ∵PD⊥平面 ABCD, ∴EO⊥底面 ABCD, EO = 1

VB ? AEF = VE ? ABF =

1 1 1 1 SABF ? OE = ? ? 2 2 ? 1 = ------------12 分 3 3 4 3

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC;

(Ⅰ)∵EA ⊥ 平面 ABC,∴EA ⊥ AB,又 AB ⊥ AC, ∴AB ⊥ 平面 ACDE

………………6 分 1 ∵M 为 BD 的中点, ∴MG∥CD 且 MG= CD,于是 MG∥AE,且 MG=AE, 2 所以四边形 AGME 为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面 ABC 5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC = 30 , BM ⊥ AC 交 AC 于点 M,
0

EA ⊥ 平面 ABC , FC EA ,AC=4,EA=3,FC=1. .
(I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值. .

∴∠EMF = 90° ,即 EM ⊥ MF (也可由勾股定理证得) . Q MF ∩ BM = M , ∴ EM ⊥ 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ∴ EM ⊥ BF . ………………………………………………………………………………6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ⊥ BG ,连结 FH . 由(1)知 FC ⊥ 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ∴ FC ⊥ BG . 而 FC ∩ CH = C ,∴ BG ⊥ 平面 FCH .

Q FH ? 平面 FCH , ∴ FH ⊥ BG , ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的 二面角的平面角. ……………………8 分 在 Rt ?ABC 中,Q ∠BAC = 30° , AC = 4 ,

∴ BM = AB ? sin 30o = 3 .


FC GC 1 = = ,得 GC = 2 . EA GA 3



GC CH GC ? BM 2 × 3 = ,则 CH = = =1. BG BM BG 2 3

∴?FCH 是等腰直角三角形, ∠FHC = 45o .
∴ 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . 2
6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中 AD ∥ BC,∠ABC = 90° PD ⊥ 平面 ,

ABCD , AD = 1 , AB = 3 , BC = 4 . ⑴求证: BD ⊥ PC ; uuu r uuu r (2)设点 E 在棱 PC 上, PE = λ PC ,若 DE ∥平面 PAB ,求 λ 的值.
(1)证明:由题意知 D C = 2

P E A D C

3 , 则 BC 2 =DB 2 + DC 2, BD ⊥ DC, B ∴

Q PD ⊥ 面ABCD, BD ⊥ PD,而PD I CD = D, ∴
∴ BD ⊥ 面PDC. Q PC在面PDC内, BD ⊥ PC. ∴
------------- 6 分

(2) 过 D 作 DF // AB 交 BC 于 F 连结 EF , ∵ DF ∥ AB ,∴ DF ∥平面 PAB . 又∵ DE ∥平面 PAB ,∴平面 DEF ∥平面 PAB ,∴ EF ∥ AB . 又∵ AD = 1, BC = 4, BF = 1, ∴

uuu 1 uuu r r PE BF 1 1 = = , ∴ PE = PC ,即 λ = . PC BC 4 4 4
, ,

7.图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, 侧棱 (I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥 ,棱 AA1 与底面所成的角为 ; 的体积.

,点 F 为 D C 1 的中点.

解: (I)Q 四边形 ABCD 为菱形且 AC I BD = O ,

∴ O 是 BD 的中点 .

....................2 分





F



DC1







,





?DBC1





OF // BC1 ,

...................................4 分

Q OF ? 平 面 BCC1 B1 , BC1 ? 平 面
BCC1 B1 , ∴ OF // 平面 BCC1 B1 . ..........6 分
(II)Q 四边形 ABCD 为菱形,

∴ BD ⊥ AC , 又 BD ⊥ AA1 ,

AA1 I AC = A, 且 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 , ∴ BD ⊥ 平面 ACC1 A1 ,
Q BD ? 平面 ABCD ,

∴ 平面 ABCD ⊥ 平面 ACC1 A1 .


......................8

在平面 AC1 内过 A1 作 A1M ⊥ AC于M ,则 A1M ⊥ 平面ABCD ,

∴ ∠A1 AM
∠A1 AM = 60o .



A1 A

















................................10 分
o

在 Rt ?AA1M 中, A1M = A1 A ? sin 60 = 2 3 , 故三棱锥 C1 ? BCD 底面 BCD 上的高为 2 3 ,又 S ?BCD = 所以,三棱锥 C ? BCD 的体积 1

1 BC ? CD ? sin 60o = 3 , 2

1 1 V = S ?BCD ? h = ? 3 ? 2 3 = 2. 3 3
o

8.已知四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形,且 ∠ABC = 60 , AB = EC = 2,

AE = BE = 2 , O 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: EO ⊥ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

(I)证明:连接 CO

Q AE = EB = 2, AB = 2 ∴ AEB 为等腰直角三角形 V Q O 为 AB 的中点 ∴ EO ⊥ AB, EO = 1 ……………………2 分
又 Q AB = BC , ∠ABC = 60 ∴V ACB 是等边三角形
o

∴ CO = 3 ,………………………………4 分 又 EC = 2, ∴ EC 2 = EO 2 + CO 2 ,即∴ EO ⊥ CO ∴ EO ⊥ 平面 ABCD ……………………6 分
(II)设点 D 到面 AEC 的距离为 h

Q AE = 2, AC = EC = 2

∴ SV AEC =

7 …………8 分 2

Q SV ADC = 3 , E 到面 ACB 的距离 EO = 1
Q VD ? AEC = VE ? ADC ∴ SV AEC ? h = SV ADC ? EO ∴h = 2 21 7 2 21 7
………………………………10 分

∴ 点 D 到面 AEC 的距离为

9.在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 都是边长为 2的等边三角形,AB=2,O,D 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:OD∥平面 PAC; (2)求证:PO⊥平面 ABC; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

(1)Q O, D 分别为 AB, PB 的中点,∴ OD ∥ PA

又 PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC ∴ OD ∥平面 PAC .………………………4 分 (2)如图,连结 OC

Q AC = CB = 2 , O 为 AB 中点, AB = 2 ,
∴ OC ⊥ AB , OC = 1 . 同理, PO ⊥ AB , PO = 1 .………………6 分 又 PC =

2 ,∴ PC 2 = OC 2 + PO 2 = 2 ,∴ ∠POC = 90o .

∴ PO ⊥ OC .Q PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB I OC = O ,

∴ PO ⊥平面 ABC .…………………………………………………………………8 分 (3)由(2)可知 OP 垂直平面 ABC ∴ OP 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 OP = 1 1 1 1 1 VP ? ABC = S ABC ? OP = × × 2 × 1× 1 = . 3 3 2 3
11 如图所示,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC = AA1 = 2 ,平面 ABC1 ⊥ 平面 A1 ACC1 , 又 ∠AA1C1 = ∠BAC1 = 60o , AC1 与 A1C 相交于点 O . (Ⅰ)求证: BO ⊥ 平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)求 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值; 【解】(Ⅰ)由题知 AC = AA1 = 2 , ∠AA1C1 = 60o , 所以 ?AA1C1 为正三角形,所以 AC1 = 2 ,………………1 分 又因为 AB = 2 ,且 ∠BAC1 = 60o 所以 ?BAC1 为正三角形,………………………2 分 又平行四边形 A1 ACC1 的对角线相交于点 O ,所以 O 为 AC1 的中点, 所以 BO ⊥ AC1 …………………………3 分 又平面 ABC1 ⊥ 平面 A1 ACC1 ,且平面 ABC1 I 平面 A1 ACC1 = AC1 ,…………4 分 且 BO ? 平面 BAC1 ………………………………5 分 所以 BO ⊥ 平面 A1 ACC1 …………………………6 分 (Ⅱ)〖解法一〗连结 A1 B 交 AB1 于 E ,取 A1O 中点 F ,连结 EF , AF ,

则 EF

BO ,又 BO ⊥ 平面 A1 ACC1

所以 EF ⊥ 平面 A1 ACC1 , EF ⊥ AF ,……7 分 所以直线 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角为 ∠EAF .…………8 分 而在等边 ?BAC1 中, AB = 2 ,所以 BO = 3 , EF = 同理可知, A1O = 3, A1 F =

3 , 2

3 , 2

在 ?AA1 F 中, AF 2 = AA12 + A1 F 2 ? 2 AA1 ? A1 F cos30o = 所以 Rt ?EFA 中, AE = EF 2 + AF 2 =

7 ………………10 分 4

10 EF 30 , sin ∠EAF = = . 2 AE 10 30 所以 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为 .……………12 分 10 CC1 , BB1 ? 平面 A1 ACC1 ,所以 BB1
平面 A1 ACC1 ,……7 分

〖解法二〗由于 BB1

所以点 B1 到平面 A1 ACC1 的距离即点 B 到平面 A1 ACC1 的距离, 由 BO ⊥ 平面 A1 ACC1 ,所以 B1 到平面 A1 ACC1 的距离即 BO ,…………………8 分 也所以 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为 sin α = 而在等边 ?BAC1 中, AB = 2 ,所以 BO = 3 , 同理可知, A1O = 3 = OC ,所以 BC = BO 2 + OC 2 = 6 , B1C1 = 6 ………10 分 又易证 OC1 ⊥ 平面 BA1C ,所以 OC ⊥ BC , 也所以 OC ⊥ B1C1 , AB1 = B1C12 + AC12 = 10 ………………………11 分 所以 sin α =

BO ,…………………9 分 AB1

BO 3 30 = = AB1 10 10 30 . 10

即 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为

12.如图所示, 所在平面互相垂直, 12.如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相垂直, F 为 BC 的中 如图所示 点, ∠BAC = ∠ACD = 90° , AE ∥ CD , DC = AC = 2 AE = 2 .[ (Ⅰ)求证:平面 BCD ⊥ 平面 ABC ;来源 求证: (Ⅱ)求证: AF ∥平面 BDE ; 求证:

的体积. (Ⅲ)求四面体 B ? CDE 的体积.

(Ⅰ 解: Ⅰ)∵面 ABC ⊥ 面 ACDE ,面 ABC I 面 ACDE = AC , CD ⊥ AC , ( LL LL LL 2 分 ∴ DC ⊥ 面 ABC , 又∵ DC ? 面 BCD ,∴平面 BCD ⊥ 平面 ABC . LL LL 4 分 (Ⅱ)取 BD 的中点 P ,连结 EP 、 FP ,则 FP 又∵ EA

1 DC , 2

1 DC ,∴ EA FP , LL LL LL LL LL 6 分 2 是平行四边形, ∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴ AF ∥ EP , 又∵ EP ? 面 BDE 且 AF ? 面 BDE ,∴ AF ∥面 BDE . LL 8 分 (Ⅲ)∵ BA ⊥ AC ,面 ABC I 面 ACDE = AC , ∴ BA ⊥ 面 ACDE . 的高, ∴ BA 就是四面体 B ? CDE 的高,且 BA =2. LL LL LL 10 分 =2, ∵ DC = AC =2 AE =2, AE ∥ DC , 1 1 ∴ S梯形ACDE = (1 + 2) × 2 = 3, S ?ACE = × 1 × 2 = 1, 2 2 1 4 ∴ S ?CDE = 3 ? 1 = 2, ∴ VE ?CDE = × 2 × 2 = . 3 3

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC;

(Ⅰ)∵EA ⊥ 平面 ABC,∴EA ⊥ AB,又 AB ⊥ AC, ∴AB ⊥ 平面 ACDE

………………6 分

1 ∵M 为 BD 的中点, ∴MG∥CD 且 MG= CD,于是 MG∥AE,且 MG=AE, 2 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 ,

AB = 2, ∠BAD = 60o .(Ⅰ)求证: BD ⊥ 平面 PAC ;
(Ⅱ)若 PA = AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

证明: (Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. (Ⅱ)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO= 3 .

如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,— 3 ,2) ,A(0,— 3 ,0) ,B(1,0,0) ,C(0, 3 ,0). 所以 PB = (1, 3,?2), AC = (0,2 3,0).

设PB与AC所成角为 θ ,则

cos θ

PB ? AC | PB | ?| AC |

=

6 2 2×2 3

=

6 4
.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC = (?1, 3 ,0). 设P(0,- 3 ,t) (t>0) ,则 BP = (?1,? 3 , t ) 设平面PBC的法向量 m = ( x, y , z ) ,则 BC ? m = 0, BP ? m = 0

?? x + 3 y = 0, ? 6 6 ? m = (3, 3 , ) ?? x ? 3 y + tz ? 0 y = 3 , x = 3, z = t . t 所以 ? 令 则 所以
6 n = ( ?3, 3 , ) t ?6+ 36 =0 t2

同理,平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,所以 m ? n =0,即

解得 t =

6 所以PA= 6

EF=

1 2 BD = a 4 4

SE=

5 EF 10 a (10 分) sin ∠ESF = = 2 SE 10

15.如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接 EF. (1)求证:PC⊥面 AEF; (2)若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G(图中未标出点 G),求多面体 P—AEFG 的体积。

解析: (1)证明:Q PA⊥面 ABCD,BC 在面内,∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面 PAB, 又∵AE 在面 PAB 内∴ BC⊥AEQ AE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面 PBC 又∵PC 在面 PBC 内 Q AE⊥PC, Q AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面 AEF.………5 分 (2)PC⊥面 AEF, ∴ AG⊥PC, Q AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面 PDC, ∵GF 在面 PDC 内 ∴AG⊥GFQ △AGF 是直角三角形,由(1)可知△AEF 是直角三角形,

AE=AG= 2 ,EF=GF=

6 3 3 ∴ S AEF = , S AGF = 又 3 3 3

AF=

2 6 2 3 2 3 1 2 3 2 3 4 ,PF= ∴ S AEFG = ,∴ V P ? AEFG = × × = 3 3 3 3 3 3 9

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ⊥ 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ∠ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P
2 2

D
4 2 2

2

2 4

A B

C

4

正(主)视视

侧(左)视视

18.
P
2 2

D
4 2 2

2

2 4

A B

C

4

正(主)视视

侧(左)视视

解: (1)因为 PA ⊥ 平面 ABC ,所以 PA ⊥ BC , 又 AC ⊥ BC ,所以 BC ⊥ 平面 PAC ,所以 BC ⊥ AD . 由三视图可得,在 ?PAC 中, PA = AC = 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ⊥ PC , 所以 AD ⊥ 平面 PBC ,…………4 分

(2)由三视图可得 BC = 4 , 由⑴知 ∠ADC = 90° , BC ⊥ 平面 PAC , 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积,
1 1 1 16 所以,所求三棱锥的体积 V = × × 4 × × 4 × 4 = .…………8 分 3 2 2 3

(3)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ = 2CO ,点 Q 即为所求.

P

D

A
O Q

C B

因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥ OD ,
因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ = 4 ,又 PA ⊥ 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ = AP 2 + AQ 2 = 4 2 .…………12 分 17.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, ?PAD 是正三角形, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , E , F , G 分别是 PD, PC , BC 的中点. (I)求平面 EFG ⊥ 平面 PAD ; (II)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.

(I)证明:Q AD ⊥ CD, PD ⊥ CD , ∴ CD ⊥ 平面 PAD, ………(6 分) ∵EF//CD,∴ EF ⊥ 平面 PAD, ∵ EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG ⊥ 平面 PAD; (II)解:∵CD//EF,∴CD//平面 EFG,故 CD 上的点 M 到平 面 EFG 的距离 等于 D 到平面 EFG 的距离,∴ V M ? EFG = V D ? EFG ,

S ?EFG =

1 × EF × EH = 2 ,平面 EFGH ⊥ 平面 PAD 于 EH, 2

∴D 到平面 EFG 的距离即三角形 EHD 的高,等于 3

2 3 . 3 18.如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD = DC = CB = 2 , ∠CAB = 30 o , 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD , CF = 3 . (Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 ACFE ; (Ⅱ)设点 M 为 EF 中点, 求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.
∴ V M ? EFG =

(1)证明: AD = DC = CB = 2, ∠ABC = 60
2 2 2

o

则 AB = 4 , AC = 12 ,则得 AB = AC + BC

2

∴ BC ⊥ AC ,Q 面 ACEF ⊥ 平面 ABCD ,
面 ACEF I 平面 ABCD = AC

∴ BC ⊥ 平面 ACEF .

……7 分

(II)过 C 作 CH ⊥ AM 交 AM 于点 H ,连 BH , 则 ∠CHB 为 二 面 角 B ? AM ? C 的 平 面 角 , 在 RT?BHC 中 , CH = 3, HB = 13 ,

3 13 3 13 ,则二面角 B ? AM ? C 的余弦值为 . 13 13 0 19.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ∠DEF = 90 . cos ∠CHB =
(Ⅰ)求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为 何值时,三棱锥 F -BDE 的体积为 3 ? 解(Ⅰ)过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE//DF,所以四边形 CEMD 是平行四边形.可得 EM = CD 且 EM //CD, 于是四边形 BEMA 也是平行四边形,所以有 BE//AM,而直线 BE 在平面 ADF 外,所以 BE//平 面 ADF. ——————6 分 (Ⅱ)由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ∠MFE = 30 .
0

由 ∠DEF = 90 可得 FD = 4,从而得 DE = 2.————8 分
0

因为 BC ⊥ CD , BC ⊥ FD ,所以 BC ⊥ 平面 CDFE. 所以, VF ? BDE = VB ? DEF = 因为 S ?DEF = 综上,当 BC =

1 S ?DEF × BC . 3

————10 分

1 3 DE × EF = 2 3 , VF ? BDE = 3 ,所以 BC = . 2 2

3 时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 . 2
0

20.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ∠DEF = 90 . (Ⅰ)求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为

何值时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 ? 解(Ⅰ)过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE//DF,所以四边形 CEMD 是平行四边形.可得 EM = CD 且 EM //CD,于是四边形 BEMA 也是平行四边形,所以有 BE//AM,而直线 BE 在平面 ADF 外,所以 BE//平面 ADF. ——————6 分 (Ⅱ)由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ∠MFE = 30 .
0

由 ∠DEF = 90 可得 FD = 4,从而得 DE = 2.————8 分
0

因为 BC ⊥ CD , BC ⊥ FD ,所以 BC ⊥ 平面 CDFE. 所以, VF ? BDE = VB ? DEF = 因为 S ?DEF = 综上,当 BC =

1 S ?DEF × BC . 3

————10 分

1 3 DE × EF = 2 3 , VF ? BDE = 3 ,所以 BC = . 2 2

3 时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 . 2

底面是边长为 2 的正方形, 21. 已知正四棱锥 P-ABCD 中, 高为 2 .M 为线段 PC 的中点. (Ⅰ) 求证:PA∥平面 MDB; (Ⅱ) N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 MBD 所成角的正切 值. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推 理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:在四棱锥 P-ABCD 中,连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OM,PO.由条件可得

PO= 2 ,AC=2 2 ,PA=PC=2,CO=AO= 2 .
因为在△PAC 中,M 为 PC 的中点,O 为 AC 的中点, 所以 OM 为△PAC 的中位线,得 OM∥AP, 又因为 AP ? 平面 MDB,OM ? 平面 MDB, 所以 PA∥平面 MDB. …………6 分 (Ⅱ) 解:设 NC∩MO=E,由题意得 BP=BC=2,且∠CPN=90°. 因为 M 为 PC 的中点,所以 PC⊥BM, 同理 PC⊥DM,故 PC⊥平面 BMD. 所以直线 CN 在平面 BMD 内的射影为直线 OM,∠MEC 为直线 CN 与平面 BMD 所成的角, 又因为 OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC. 在 Rt△CPN 中,CP=2,NP=1,所以 tan∠PNC= 故直线 CN 与平面 BMD 所成角的正切值为 2 22.如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形, ∠DAB = 120° ,

CP =2, NP

E 为线段 CC1 的中点, F 为线段 BD1 的中点.
A1

D1

C1

B1 E F

(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)当

D1 D 的比值为多少时, DF ⊥ 平面 D1 EB , AD

并说明理由.

(Ⅰ)证明:连接 A, C1 ,由题意可知点 F 为 AC1 的中点.Q 因为点 E 为 CC1 的中点.

∴ 在 ?ACC1 中, EF AC .……………………………………………………………2分
又Q EF ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD ,∴ EF 面 ABCD .……………………6分 (Ⅱ)当

D1 D = 3 时, DF ⊥ 平 面 D1 EB . ………………………………………7分 AD

Q 四边形 ABCD 为菱形,且 ∠DAB = 120° ,∴ BD = 3 AD . Q 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 为直四棱柱,∴ 四边形 DBB1 D1 为矩形.
又 DD1 =

3 AD ,∴ BD = DD1 ,
……………………10 分

∴ 四边形 DBB1 D1 为正方形,∴ DF ⊥ D1 B

在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DD1 ⊥ 底 面 ABCD , AC ? 面 ABCD ,∴ AC ⊥ DD1

Q 四边形 ABCD 为菱形, AC ⊥ BD .

DD1 ? 面 DBB1 D1, , ? 面 DBB1 D1, I DD1 = D ,∴ AC ⊥ 面 DBB1 D1 . BD BD DF ? 面 DBB1 D1 ,∴ AC ⊥ DF ,又 EF AC ,∴ EF ⊥ DF .…………………13 分

Q EF ? 面 D1 EB, D1 B ? 面 D1 EB, EF I D1 B = F ,∴ DF ⊥ 平 面 D1 EB .
23.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

解:(1)证明:因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B,所以 B1C⊥平面 A1BC1.又 B1C?平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. 连结 DE, DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交 则 (2)设 BC1 交 B1C 于点 E, 线. 因为 A1B∥平面 B1CD, 所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点, 所以 D 为 A1C1 的中点, 即 A1D∶DC1=1. 24.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解: (1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ⊥ BD 。 又因为 PD ⊥ 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I) ,知 AC ⊥ 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ EF .

S ?ACE = S ?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ⊥ PB . 2 1 = 9, × 6 × EF = 9 ,解得 EF = 3 --------------10 分 2

由 PB ⊥ EF 且 PB ⊥ AC 得 PB ⊥ 平面 AEC , 则 PB ⊥ EC , 又由 EF = AF = FC = 3 得 EC ⊥ AE ,而 PB I AE = E ,故 EC ⊥ 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ⊥ 平面 PAB ,所以 ∠GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成角. 在直角三角形 CEB 中, BC = 6, EC = 3 2 , EB = 3 2

所以 ∠CEB = 45 ,设 BG = x ,则 BH = HG = 由 tan ∠GEH = 2 得 EH =

°

2 x。 2

2 x。 4

由 EH + HB = EB 得 x = 4 ,即 BG = 4 --------------14 分 25.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解: (1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ⊥ BD 。 又因为 PD ⊥ 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I) ,知 AC ⊥ 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ EF .

S ?ACE = S ?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ⊥ PB . 2 1 = 9, × 6 × EF = 9 ,解得 EF = 3 --------------10 分 2

由 PB ⊥ EF 且 PB ⊥ AC 得 PB ⊥ 平面 AEC , 则 PB ⊥ EC , 又由 EF = AF = FC = 3 得 EC ⊥ AE ,而 PB I AE = E ,故 EC ⊥ 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ⊥ 平面 PAB ,所以 ∠GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成 角. 在直角三角形 CEB 中, BC = 6, EC = 3 2 , EB = 3 2 所以 ∠CEB = 45° ,设 BG = x ,则 BH = HG = 由 tan ∠GEH = 2 得 EH =

2 x。 2

2 x。 4

由 EH + HB = EB 得 x = 4 ,即 BG = 4

26. 如图:在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=3,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,过 点 A1 作 A1O⊥平面 BCD,垂足 O 恰好落在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)求直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值. 解:(1)因为 A1O⊥平面 BCD,BC?平面 BCD,∴BC⊥A1O, 因为 BC⊥CD,A1O∩CD=O,∴BC⊥面 A1CD. 因为 A1D?面 A1CD,∴BC⊥A1D.(6 分) (2)连结 BO,则∠A1BO 是直线 A1B 与平面 BCD 所成的角. 因为 A1D⊥BC,A1D⊥A1B,A1B∩BC=B,∴A1D⊥面 A1BC.A1C?面 A1BC,∴A1D⊥A1C. 在 Rt△DA1C 中,A1D=3,CD=5,∴A1C=4. 1 1 12 根据 S△A1CD= A1D·A1C= A1O·CD,得到 A1O= , 2 2 5 12 A1O 5 12 在 Rt△A1OB 中,sin∠A1BO= = = . A1B 5 25 12 所以直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值为 .(12 分) 25 27.如图的几何体中, AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD = DE = 2 AB = 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE .

(1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF = ∵ AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB =

1 DE . 2

1 DE ,∴ GF = AB . 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ⊥ CD

∵ DE ⊥ 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ⊥ AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ⊥ DE , BG ⊥ CD 又 CD ∩ DE = D , ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . 28 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示. ∴ BG ⊥ 平面 CDE .

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论.

解:(1)几何体的直观图如图.

四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1= 3,BC=1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且垂直 1 3 于底面 BB1C1C,∴其体积 V= ×1× 3× 3= 4分 2 2 (2)证明:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC. ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C. ∵四边形 ACC1A1 为正方形,∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1=C1, ∴A1C⊥平面 AB1C1. (3)当 E 为棱 AB 的中点时, DE∥平面 AB1C1. 证明:如图,取 BB1 的中点 F,连结 EF,FD,DE, ∵D,E,F 分别为 CC1,AB,BB1 的中点,∴EF∥AB1. ∵AB1?平面 AB1C1,EF?平面 AB1C1, ∴EF∥平面 AB1C1. 同理可得 FD∥平面 AB1C1, 又 EF∩FD=F,∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1.

8分

12 分

30.如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直, AB =

2 , AF = 1 ,

M 是线段 EF 的中点。
(1)求异面直线 CM 与直线 AB 所成的角的大小; (2)求多面体 EFABCD 的表面积。

解 : 1 ) 因 为 CD // AB , 所 以 ∠CMD 即 为 异 面 直 线 CM 与 AB 所 成 的 角 ( 或 其 补 ( 角) ,…………… 2 分 连结 MD ,在 ?CEM 中, CE = EM = 1, 所以 CM = 又 DE = DF = …………… 5 分

2,

3 ,所以 DM = DF 2 ? MF 2 = 2 ,所以 ?CDM 是等边三角形,

所以 ∠CMD = 60 ,即异面直线 CM 与 AB 所成的角为 60 ;…………… 6 分
o o

(2) S ?ABF =

1 2

2 1=

2 , …………… 8 分 2

S ?DEF =

1 2 2

2 = 2 …………… 10 分

S ABCD = 2 S表 = 4 S ?ABF + 2 S ?DEF + S ABCD = 4 2 + 2 。

31.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体 积 【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ∩ AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45 = 1 ,CE=CD ? sin 45 = 1 .
o o

又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以

1 1 5 S ABCD = S ABCE + S ?BCD = AB ? AE + CE ? DE = 1× 2 + × 1× 1 = ,又 PA⊥平面 2 2 2
ABCD,PA=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于

1 1 5 5 S ABCD ? PA = × × 1 = 3 3 2 6

32.如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角,连结 PC、PD,在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED, 连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
o

P

P

A

D

A E

D

B

C

B

C

解: (1)证明:Q AB ⊥ PA, AB ⊥ AD ,又二面角 P-AB-D 为 60

o

∴ ∠PAD = 60 o ,又 AD=2PA ∴ AP ⊥ PD
有平面图形易知:AB ⊥ 平面 APD,又 PD ? 平面APD ,∴ AB ⊥ PD ,

Q AP, AB ? 平面ABP ,且 AP ∩ AB = A

∴ PD ⊥ 平面PAB ,又 PD ? 平面PCD ,∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PCD---------7
分 (2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,Q AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 VP ? ABC = VA ? PBC ,设 PA=2

P A E B C

1 1 1 1 ∴ × × 2× 2× 3 = × × 2× 7 × h 3 2 3 2

2 21 ∴h = ,设 PE 与平面 PBC 所成角为 θ 7

D

2 3 h 2 7 ∴ sin θ = = 7 = ---------------14 分 PE 7 3

33.如图, 33.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ∠BAC = 90°, AC = AB = AA1 , 如图 中点. 中点. 所成的角; (Ⅰ)求异面直线 AE 与 A1C 所成的角; 上一点, (Ⅱ)若 G 为 C1C 上一点,且 EG ⊥ A1C ,求二面角 A1 ? AG ? E 的大 小.

E 是 BC 的

解法一: ( Ⅰ ) ∴ 异 面 直 线 AE 与

A1C 所 成 的 角 为

π
. ……………………………6 分

3

(Ⅱ) ∴所求二面角 A1 ? AG ? E 为 π ? arctan 5 . 34.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC = 6 ,

BD = 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ⊥ DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解: (1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ⊥ BD 。 又因为 PD ⊥ 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I) ,知 AC ⊥ 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ⊥ EF .

S ?ACE = S ?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ⊥ PB . 2 1 = 9, × 6 × EF = 9 ,解得 EF = 3 --------------10 分 2

由 PB ⊥ EF 且 PB ⊥ AC 得 PB ⊥ 平面 AEC , 则 PB ⊥ EC , 又由 EF = AF = FC = 3 得 EC ⊥ AE ,而 PB I AE = E ,故 EC ⊥ 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ⊥ 平面 PAB ,所以 ∠GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成 角. 在直角三角形 CEB 中, BC = 6, EC = 3 2 , EB = 3 2 所以 ∠CEB = 45 ,设 BG = x ,则 BH = HG = 由 tan ∠GEH = 2 得 EH =
°

2 x。 2

2 x。 4

由 EH + HB = EB 得 x = 4 ,即 BG = 4 35.如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩 形,PA=AB=1, AD = 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动。 ⑴求三棱锥 E-PAD 的体积;

⑵当 E 点为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的 位置关系,并说明理由; ⑶证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF。

解: (1)因为点 E 到平面 PAD 的距离即为 1,所以 VE ? PAD =

1 1 3 ? ?1 ? 3 ? 1 = 3 2 6
·········· 分 ··········4

(2)直线 EF 与平面 PAC 平行 因为 E、F 两点分别为边 PB 和 BC 的中点,所以 EF//PC,且直线 EF 不在平面 PAC 内, 直线 PC 在平面 PAC 内,所以,直线 EF//面 PAC ·········· 分 ··········8

(3)因为 PA=AB 且 F 为 PB 中点,所以 AF⊥PB,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BC,由于 地面 ABCD 为矩形, 所以 BC⊥AB,所以 BC⊥面 PAB,所以 BC⊥AF,所以 AF⊥面 PBC,所以 无论点 E 在 BC 上何处时,总有 AF⊥PE。 36. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD 上平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD =2AD =8,AB =2DC = 4 5 。 (I)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ⊥ 平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PAB 的体积

证明: (Ⅰ)在 △ ABD 中,由于 AD = 4 , BD = 8 , AB = 4 5 , 所以 AD + BD = AB .故 AD ⊥ BD .……………………………………………2 分
2 2 2

又平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD = AD , BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ⊥ 平面 PAD . …………………………………………………………………4 分 又 BD ? 平 面 MBD , 故 平 面 MBD ⊥ 平 面 P PAD .…………………………………6 分 (Ⅱ)过 P 作 PO ⊥ AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,[来 源:Z#xx#k.Com] M A O D C

所以 PO ⊥ 平面 ABCD . 因此 PO 为棱锥 P-ABC 的高.………………8 分 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.[来源:Zxxk.Com] 因此 PO =

3 ×4 = 2 3. 2
1 AD ? BD = 16 ,………10 分 2 1 32 3 = × 16 × 2 3 = . 3 3

又 S ?ABC = S ?ABD =

∴V棱锥C - PAB = V棱锥P - ABC


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