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新干县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

新干县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 已知实数 a,b,c 满足不等式 0<a<b<c<1,且 M=2a,N=5﹣b,P=( )c,则 M、N、P 的大小关系为 ( ) A.M>N>P B.P<M<N C.N>P>M 2. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.64 C.80 B.72 D.112 )

座号_____

姓名__________

分数__________

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力与运算求解能力. 3. 若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 tan∠PF1F2= A. ,则此椭圆的离心率为( B. C. D. ) ) =1(a>b>0)上的一点,且 =0,

4. 一个几何体的三视图如图所示,如果该几何体的侧面面积为 12π,则该几何体的体积是(

A.4π

B.12π

C.16π

D.48π

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5. 设函数 y ? f '' ? x ? 是 y ? f ' ? x ? 的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? 都有对称中心 ? x0 , f ? x0 ?? ,其中 x0 满足 f '' ? x0 ? ? 0 .已知函数


1 1 5 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2016 ? f ? x ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? ,则 f ? ?f? ?f? ? ... ? f ? ? ? ? ??( 3 2 12 ? 2017 ? ? 2017 ? ? 2017 ? ? 2017 ? 2014 2015 A.2013 B. C.
6. 设集合 A. D. 7. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公比 q=2,Sk+2﹣Sk=48,则 k 等于( A.7 B.6 ) C.5 D.4 8. 如图框内的输出结果是( B. C. ( )

2016 1111] D.



A.2401 B.2500 C.2601 D.2704 9. 已知函数 f ( x) ? f ' (1) x ? x ? 1 ,则
2

?

1

0

f ( x)dx ? (
D. ?



A. ?

7 6

B.

7 6

C.

5 6

5 6

【命题意图】本题考查了导数、积分的知识,重点突出对函数的求导及函数积分运算能力,有一定技巧性,难 度中等.

1 ? 1 x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 10.已知函数 f ( x) ? ? ,若存在常数使得方程 f ( x) ? t 有两个不等的实根 x1 , x2 1 2 ?3 x , x ? [ ,1] ? ? 2 ( x1 ? x2 ),那么 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围为( )

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3 3 1 3 1 3 B. [ , C. [ , ) D. [ , 3) ) 4 16 2 8 8 6 11. 2016 年 3 月“两会”期间,有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例,现拟从某工厂职工中抽取
A. [ ,1)

20 名代表调查对这一提案的态度,已知该厂青年,中年,老年职工人数分别为 350 , 500 ,150 ,按分
层抽样的方法,应从青年职工中抽取的人数为( A. 5 B. 6 C. 7 ) D. 10 ) D. . . .

【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用,属容易题. 12.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. B. C.

二、填空题
13.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 6a=4b=3c,则 cosB= 14.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 4 x ? 2 ? ?1 ”的否命题为
2

15.若

的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于

16.已知函数 f ( x) ? ln x ? 成立,则实数的取值范围是
x

a 1 , x ? (0,3] ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处的切线的斜率 k ? 恒 x 2
. .

? ?3 ? a ,x ? 1 17.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1

三、解答题
18.(本题满分 14 分)已知两点 P(0,?1) 与 Q(0,1) 是直角坐标平面内两定点,过曲线 C 上一点 M ( x, y ) 作 y 轴的垂线,垂足为 N ,点 E 满足 ME ? (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

2 MN ,且 QM ? PE ? 0 . 3

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系,本题知识交汇性强,最值的求 解有一定技巧性,同时还要注意特殊情形时三角形的面积.总之该题综合性强,难度大.

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19.如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并 延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

20.十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”,为响应号召,某市红星路小区的环保人士向 该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”.为此,红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15,75) 的市民进行问卷调查,随机抽查了 50 人,并将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75) 6 10 12 12 5 5 频数 赞成人数 3 6 10 6 4 3 (1)请估计红星路小区年龄在[15,75)的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值; (2)若从年龄在[55,65)、[65,75)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选 4 人中不赞成“禁 放烟花、炮竹”的人数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

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21.已知集合 A={x|x<﹣1,或 x>2},B={x|2p﹣1≤x≤p+3}. (1)若 p= ,求 A∩B; (2)若 A∩B=B,求实数 p 的取值范围.

22.已知数列{an}满足 a1=﹣1,an+1= (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)令 bn= + }是等比数列;

(n∈N ).

*

,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.

①证明:bn+1+bn+2+…+b2n< ②证明:当 n≥2 时,Sn2>2( + +…+ )

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx .
x 2

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(1)当 a ? 0, b ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上零点的个数; (2)证明:当 b ? a ? 1 , x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 1 .

1 2

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新干县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵0<a<b<c<1,
a ∴1<2 <2,

<5﹣ <1, ) >(
c

b

<( ),
c

) <1,

c

5﹣b=( 故选:A

) >(

b

即 M>N>P, 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键. 2. 【答案】C. 【 解 析 】

3. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴ ∵Rt△PF1F2 中, ∴ ∴ 又∵根据椭圆的定义,得 2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为 e= 故选 A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题. 4. 【答案】B 【解析】解:由三视图可知几何体是底面半径为 2 的圆柱, ∴几何体的侧面积为 2π×2×h=12π,解得 h=3,
2 ∴几何体的体积 V=π×2 ×3=12π.

,即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形. ,

=

,设 PF2=t,则 PF1=2t =2c,

=

=

=

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故选 B. 【点评】本题考查了圆柱的三视图,结构特征,体积,表面积计算,属于基础题. 5. 【答案】D 【解析】

1 ?? ? 1 ? ? 2014 ? ? ? ? 2 ? ?? f ? ?? f ? ?? ? ? f ? ?? 2 ?? ? 2017 ? ? 2017 ? ? ? ? 2017 ? 1 ? ? ? 2 ? 2016 ? ? 2016 ,故选 D. 1 2 ?
3

? ? 2015 ? ? f? ? ? ? ... ? ? ? 2017 ? ? ?

? 2016 ? f? ?? ? 2017 ?

? 1 ? ?? f? ? ?? ? 2017 ? ? ?

考点:1、转化与划归思想及导数的运算;2、函数对称的性质及求和问题.
2

【方法点睛】本题通过 “三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 都有对称中心 x0 , f ? x0 ?

?

? ”这一探索

性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题,属于难题.遇到探索性结论问题,应 耐心读题,分析新结论的特点,弄清新结论的性质,按新结论的要求, “照章办事”,逐条分析、验证、运算, 使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出 f ? x ? ? 性和的. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 6. 【答案】B 【解析】解:集合 A 中的不等式,当 x>0 时,解得:x> ;当 x<0 时,解得:x< , 集合 B 中的解集为 x> , 则 A∩B=( ,+∞). 故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 7. 【答案】D 【解析】解:由题意,Sk+2﹣Sk= ,

1 3 1 5 x ? x ? 3x ? 的对称中心后再利用对称 3 2 12

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k k 即 3×2 =48,2 =16,

∴k=4. 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础题. 8. 【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=1+3+5+…+99=2500, 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,等差数列的求和公式的应用,属于基础题. 9. 【答案】B

10.【答案】C 【解析】

3 1 3 1 ? t ?1, 由x? ? , 可得 x ? , 4 2 4 4 1 1 3 1 1 1 3 2 2 由 1 ? 3x ,可得 x ? (负舍),即有 ? x1 ? , ? x2 ? ,即 ? x2 ? ,则 4 3 3 4 2 2 3 ? 3 1? x1 f ? x2 ? ? 3x1 ? 3x2 2 ? ? , ? .故本题答案选 C. ?16 2 ?
试题分析: 由图可知存在常数, 使得方程 f ? x ? ? t 有两上不等的实根, 则

考点:数形结合. 【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个 常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对

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数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象. 11.【答案】C

12.【答案】B 【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数,则 对 C: 在(和( 故排除 A、D; 上单调递增,

但在定义域上不单调,故 C 错; 故答案为:B

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:在△ABC 中,∵6a=4b=3c ∴b= ,c=2a, = = .

由余弦定理可得 cosB= 故答案为: .

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,用 a 表示 b,c 是解决问题的关键,属于基础题.

14.【答案】若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 【解析】 试题分析:若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 ,否命题要求条件和结论都否定. 考点:否命题. 15.【答案】5 【解析】 解: 由题意 令 =0,得 n=
r n﹣r 的展开式的项为 Tr+1=Cn( x6) ( r ) =Cnr

=Cnr

,当 r=4 时,n 取到最小值 5

故答案为:5.

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【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的 条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它的值. 16.【答案】 a ? 【解析】

1 2

1 a 1 ? 2 ,因为 x ? (0, 3],其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处的切线的斜率 k ? 恒成立, x x 2 1 a 1 1 2 1 1 1 2 ? ? 2 ? , x ? (0,3] ,? a ? ? x ? x , x ? (0,3] 恒成立,由 ? x ? x ? ,? a ? .1 2 x x 2 2 2 2
试题分析: f ( x) ?
'

考点:导数的几何意义;不等式恒成立问题. 【易错点睛】 本题主要考查了导数的几何意义; 不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项: (1) 首先应判断所给点是不是切点,如果不是,要先设出切点. (2)切点既在原函数的图象上也在切线上,可将 切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率,这是求切线方程最重要的 条件.
?1 1 ? 17.【答案】 ? , ? ?3 2? [3 ,? ?)









考 点:1、分段函数;2、函数的零点. 【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1.在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且
2 a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .

三、解答题
18.【答案】

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【解析】(1)依题意知 N (0, y) ,∵ ME ? 则 QM ? ( x, y ? 1) , PE ? ( x, y ? 1) ∵ QM ? PE ? 0 ,∴ x ? ∴曲线 C 的方程为

2 2 2 1 MN ? (? x,0) ? (? x,0) ,∴ E ( x, y ) 3 3 3 3

1 3

…………2 分

1 x2 x ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ,即 ? y 2 ? 1 3 3

x2 ? y 2 ? 1 …………4 分 3

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19.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)∵以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径半圆交于点 F, 且四边形 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 EA =EF?EC,

第 13 页,共 19 页

故 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF, ∵BC 为圆 O 的直径,∴BF⊥EC,
2 在 Rt△BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = ,

∴BF=

=

,解得 a=2,

∴正方形 ABCD 的面积为 4.

【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养.

20.【答案】 【解析】(1)解:赞成率为 ,

被调查者的平均年龄为 20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 (2)解:由题意知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, ,





, ∴ξ 的分布列为: 0 ξ

1

2
第 14 页,共 19 页

3

P ∴ .

【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查数据处理能力, 考查化归与转化思想,是中档题. 21.【答案】 【解析】解:(1)当 p= 时,B={x|0≤x≤ }, ∴A∩B={x|2<x≤ }; (2)当 A∩B=B 时,B?A; 令 2p﹣1>p+3,解得 p>4,此时 B=?,满足题意; 当 p≤4 时,应满足 解得 p 不存在; 综上,实数 p 的取值范围 p>4. 22.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵数列{an}满足 a1=﹣1,an+1= ∴nan=3(n+1)an+4n+6, 两边同除 n(n+1)得, 即 也即 又 a1=﹣1,∴ ∴数列{ , , , , (n∈N ),
*



+ }是等比数列是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.

(Ⅱ)(ⅰ)证明:由(Ⅰ)得, ∴ , < ,

=3n﹣1,∴



原不等式即为:

第 15 页,共 19 页

先用数学归纳法证明不等式: 当 n≥2 时, 证明过程如下: 当 n=2 时,左边= = < ,不等式成立 < , ,

假设 n=k 时,不等式成立,即 则 n=k+1 时,左边= < = < + ,

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 因此,当 n≥2 时, 当 n≥2 时, ∴当 n≥2 时, 又当 n=1 时,左边= 故 bn+1+bn+2+…+b2n< . (ⅱ)证明:由(i)得,Sn=1+ 当 n≥2, = =2 ﹣ , , … =2? 将上面式子累加得, 又 < , ﹣ , =(1+ , ) ﹣(1+
2

, < , , ,不等式成立



2

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=1﹣ =1﹣ , ∴ 即 ∴当 n≥2 时,Sn >2(
2

, >2( + +…+ ). ),

【点评】本题考查等比数列的证明,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法、累加法、裂项求和 法、数学归纳法、放缩法的合理运用,综合性强,难度大,对数学思维能力的要求较高. 23.【答案】(1)当 a ? (0, 点;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 a ?

e2 e2 e2 ) 时,有个公共点,当 a ? 时,有个公共点,当 a ? ( , ??) 时,有个公共 4 4 4

ex ex h ( x ) ? , 构造函数 ,利用 h( x) ' 求出 x2 x2

e2 单调性可知 h( x) 在 (0, ??) 的最小值 h(2) ? ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数;(2)构造函数 4 h( x) ? ex ? x2 ? x ?1 ,利用导数可判断 h( x) 的单调性和极值情况,可证明 f ( x) ? 1 .1
试题解析:

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当 a ? (0, 当a ?

e2 ) 时,有 0 个公共点; 4

e2 ,有 1 个公共点; 4 e2 当 a ? ( , ?? ) 有 2 个公共点. 4 x 2 ' x (2)证明:设 h( x) ? e ? x ? x ?1 ,则 h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,
令 m( x) ? h ( x) ? e ? 2 x ?1,则 m ( x) ? e ? 2 ,
' x ' x

1 1 2 2 ' 当 x ? (ln 2,1) 时, m ( x) ? 0 , m( x) 在 (ln 2,1) 上是增函数,

' 因为 x ? ( ,1] ,所以,当 x ? [ , ln 2) 时, m ( x) ? 0 ; m( x) 在 [ , ln 2) 上是减函数,

1 2

第 18 页,共 19 页

考点:1.函数的极值;2.函数的单调性与导数的关系;3.不等式;4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值,函数的单调性与导数的关系,不等式,函数的零点.有关零点问题一 类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,若方程易求解时 用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识;(3)数形结合法.在研究函数零点, 方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝 对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

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