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【全国百强校】江苏省盐城中学2014-2015学年高二数学暑假作业24:综合练习(教师版)

盐城中学高二数学暑假作业(24) 综合练习一答案
班级 一、填空题 1. 若M ?? 则集合 A ? B 中元素有 1,2,4?,A ? ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,B ? y | y ? log x 2 , x ? M ,
2





学号

姓名

?

?

个.

【答案】5 2.设复数 z ? 1 ? 3i , z 的共轭复数是 z ,则 【答案】1 3.设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中正确的是 ①若 c // ? , ? ? ? , 则c // ? . ③若 b// ? , c ? ? , b ? c, 则? ? ? ②若 b ? ? , b // c, 则c // ?. ④若 b// ? , c ? ? , b / / c, 则? ? ?
开始
x ? 1, y ? 1
z? x? y z ? 7?
2 2 12.已知正数 a, b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? 4 ab 的最大值为

z z

=





【答案】③ 4.右图是一个程序框图,运行这个程序,则输出的结果为 5 【答案】 3





【答案】 2 ?

1 2

5.函数 f ( x) 的定义域为 ?? ?, 1? ? ?1, ? ?? ,且 f ( x ? 1) 为奇函数,当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 x2 ? 12 x ? 16 ,则方程 f ( x) ? m 有两个零点的实数 m 的取值 范围是 .

13.已知 f ( x ) 是定义在 R 上且以 4 为周期的奇函数,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? ln( x2 ? x ? b) ,若函数



x? y

y 输出 x
结束

f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的零点个数为 5 ,则实数 b 的取值范围是____ ______.
【答案】

【答案】 ?? 6,?2? ? ?2,6?

y?z

1 5 ? b ? 1或 b ? 4 4

n 6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ,且 bn ? 2an an ?1 ,则数列 ?bn ? n ?1
的前 50 项和为____. 【答案】

14.在 ?ABC中,?ACB为钝角,AC ? BC ? 1, CO ? xCA ? yCB 且 x ? y ? 1 ,函数

f (m) ? CA ? mCB 的最小值为
【答案】

3 ,则 CO 的最小值为 2



50 102


1 2

7.函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? 60 ) 的最大值是 【答案】 3

2 8.已知 p : x ? 3 ? 1 ; q : ? x ? 2 ? x ? m ? 0 , 若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围

?

?

二、解答题

1

15.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? m 在区间 [0, (Ⅰ)求常数 m 的值;

?
3

] 上的最大值为 2 .

Sn ? n 2 即 S n ? a1n 2 .∴ n ? 2 时,an ? S n ? S n?1 ? a1 (2n ? 1) ,且 n ? 1 时此式也成立. … S1
2分 ∴ an?1 ? an ? 2a1 (n ? N * ) ,即 ?a n ? 是以 a1 为首项,2 a1 为公差的等差数列. …4 分 (Ⅱ)当 a1 ? 1 时,由(Ⅰ)知 an ? a1 (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,

(Ⅱ)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , 若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a . 4
2 【答案】解:(1) f ? x ? ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? m ? 2sin 2 x ? ? ? m ? 1 6

?

?

依题意, n ? 2 时, bn ? abn?1 ? 2bn?1 ? 1 ,∴ bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1) ,又 b1 ? 1 ? 2 ,…6 分 ∴ ?bn ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, bn ? 1 ? 2 ? 2 n?1 即 bn ? 2 n ? 1 .…8 分 (Ⅲ)∵ an bn ? (2n ? 1)(2n ? 1) ? (2n ? 1)2 n ? (2n ? 1) ……………………10 分 ∴ Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? ?(2n ? 1) ? 2 n + ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)? ……………12 分 即 Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? ?(2n ? 1) ? 2 n + n

? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ? , 5? ? 因为 x ? ?0 , ? 3? ? ?6 6 ? ? 6 ? ?

? ? 上取到最大值 所以当 2 x ? ? ? ? 即 x ? ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0 , ? 3? ? 6 2 6 ?
此时, f ? x ? ? f ? ? m ? 3 ? 2 ,得 m ? ?1 max 6 (2)因为 f ? A ? ? 1 ,所以 2sin 2 A ? ? ? 1 , 6 即 sin 2 A ? ? ? 1 6 2 因为 sin B ? 3sin C ,

? ?

? ?

? ?

?

?

2

?

?

? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3
a ? b ? c ,所以 b ? 3c . sin A sin B sin C
4

2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ?(2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n 2
两式相减,可以求得 Tn ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? n 2 ? 6 ……………14 分

?

?

3 3 ,即 因为 ?ABC 面积为 3 3 , 所以 S ? 1 bc sin A ? 1 bc sin ? ? bc ? 3 . 2 2 3 4
解得 b ? 3 , c ?1 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos ? ,所以 a ? 7 3

?ABC 是等腰直角三角形,?ACB ? 90 ,侧棱 AA1 ? 2 , 17.如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

16.已知首项不为零的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,若对任意的 r 、 t ? N ,都有
*

Sr r ? ( )2 . St t

D, E 分别为 CC1 与 A1B 的中点, 点 E 在平面 ABD 上的射 影是 ?ABD 的重心. (文科)求证: DE / / 平面 ACB ; ABD 所成角的正弦值. (理科)求 A 1B 与平面 【答案】 (文科)取 AB 得中点 F ,连接 CF , EF ,由矩 形 EFCD 可证得 DE / / FC ,
所以 DE / / 平面 ACB ( 理 科 ) 法 1 连 接 DF , 设 G 为 ?ABD 的 重 心 , 则

A1 B1

C1

D E

(Ⅰ)判断 ?a n ? 是否为等差数列,并证明你的结论; (Ⅱ)若 a1 ? 1, b1 ? 3 ,数列 ?bn ? 的第 n 项 bn 是数列 ?a n ? 的第 bn ?1 项 ( n ? 2) ,求 bn . (Ⅲ)求和 Tn ? a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn . 【答案】解: (Ⅰ)?a n ? 是等差数列,证明如下: ∵ a1 ? S1 ? 0 ,令 t ? 1, r ? n ,由

DG ? 2 GF,连 BG
ABD 所成角, 因 EG ? 平面ABD ,?EBG 为 A 1B 与平面
因 EG ? DF , 在 直 角 ?D E F中 , EF ? 1 ,

A B

C

Sr r ? ( )2 得 St t

EF 2 ? FG ? FD

2

所以 FG ?

3 6 , EG ? , 3 3

(2) 从样本在 [80,100) 的个体中任意抽取 2 个个体, 用枚举法求至少有一个个体落在 [90,100) 的概 率。
【答案】 (1)因为样本是从甲、乙、丙、丁四所学校参加联考的学生中抽取的,它们存在明显的差异,所以使用分层抽样的 方法抽取样本。根据频率分布直方图可知成绩在[90,100) 的频率为 0.005 ? 10 ?0.05 ,由频率分布表知频数为 6,所以设样 本有 m 人,则

EG 2 ? FD ? 3 , DE ? 2 ? FC , AB ? 2 2 , BE ? 3 , sin ?EBG ? EB 3
ABD 所成角的正弦值为 所以 A 1B 与平面

2 3

6 ? 0.05 ,解得 m ? 120 ,根据抽样方法总体中每个个体被抽到的机会均等,所以 120 ? 30 ,解得 m 5000 x

(7 分) x ? 1250 所以甲学校共有学生 1250 人参加了高三联考. ( 2 )因为 [80, 90)有 3 人,设为 a1 , a2 , a3 , [90,100) 有 6 人,设为 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 ,从中任取 2 人,则有

法 2 如图建立坐标系,设 AC ? a ,则 A(0, ?a, 0) , B(a,0,0) , D(0, 0,1) , 设 G 为 ?ABD 的重心,则 G ( , ? 又 E( , ?

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a1, b4 ),(a1, b5 ),(a1, b6 )

a 3

a 1 , ), 3 3
A1 B1 D E G F
C1

(a2 , a3 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ),(a2 , b4 ),(a2 , b5 ),(a2 , b6 )

a 2

a ,1) ,因 EG ? 平面ABD 2

(a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a3 , b3 ),(a3 , b4 ),(a3 , b5 ),(a3 , b6 )

(b1, b2 ),(b1, b3 ),(b1, b4 ),(b1, b5 ),(b1, b6 )

z
共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 (b2 , b3 ),(b2 , b4 ),(b2 , b5 ),(b2 , b6 ) ,(b3 , b4 ),(b3 , b5 ),(b3 , b6 ) , (b4 , b5 ),(b4 , b6 ) ,(b5 , b6 ) , 种取法,至少一个个体落在 [90,100) 内的取法有 33 种,所以至少有一个个体落在 [90,100) 的概率 P ? 36 ? 12 。 (14 分)
33 11

EG ? DA ? 0 ,所以 a ? 2 ,
则 EG ? ( , ? , ) , BE ? (?1, ?1,1) ,

1 3

1 2 3 3

2 cos ? BE , EG ?? 3 2 ABD 所成角的正弦值为 所以 A 1B 与平面 3

A x

C

y

B

(1)该次统计中抽取样本的合理方法是什么,甲学校共有多少人参加了高三联考;
3

20.函数 f ( x) ? x3 ? nx2 ? mx , g ( x) ? nx 2 ? mx ,其中 m, n ? R (1)当 m=n+6 时,函数 f(x)有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 且0 ? x1 ? 1, 2 ? x2 ? 3 . ①求 n 的取值范围; ②求 f ( x1 ) ? f ( x2 )的取值范围. (2) 当n>m,且nm ? 0时 ,若函数 f(x),g(x)在区间 ?m, n? 上分别为单调递增和递减函数,求 n-m 的 最大值. 【答案】(1)①当 m=n+6 时, f ( x) ? x3 ? nx 2 ? mx ? x 3 ? nx 2 ? (n ? 6)x ,则 f ?( x) ? 3x2 ? 2nx ? n ? 6 ,
?n? ? 6 0 ?f(0) ? f (1) ? n 3? ? 9 0 ? 由 ? ? 0得n ? 6或n ? ?3. 又 由 于 0 ? x1 ? 1, 2 ? x2 ? 4 所 以 函 数 应 满 足 ? ,即 ? n 5? 1 ?8 0 ?f(2) ? ? n 9? 5 ?4 0 ?f(4)

?6 ? n ? ?
② (Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y=
2 2

18 5

1 x+t, 2
2 2

3 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x13 ? x2 ) ? n( x12 ? x2 ) ? (n ? 6)( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1x2 ( x1 ? x2 )
2 ?n ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ? ? (n ? 6)( x1 ? x2 )

与 3 x ? 4 y ? 12 联立消去 y 并整理得 x +tx+t -3=0,

△=3(4-t ),

2

AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ?

1 15 ? 3(4 ? t 2 ) ? ? 4 ? t 2 , …………11 分 4 2
,

2n ? x1 ? x2 ? ? ? 4n 3 2 n 2 18 ? ? ? 3 由于 ? ,代入上式得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? 4n, n ? ? ?6, ? ? -------8 分 27 3 5? ? ?x x ? n ? 6 1 2 ? 3 ?

点 P 到直线 AB 的距离为 d=

2|t ?2| 5



g ( n) ?

4n 3 2 n 2 18 ? ? ? ? 4n, n ? ? ?6, ? ? 27 3 5? ?
1 8 ? )>0,故 (n) g 在? ? ? 5 ?



4 g ?(n) ? (n 2 ? 3n ? 9) 9







△PAB 的面积为 S= 设 f(t)=S = ?
2

3 1 |AB|×d= ? 4 ? t 2 | t ? 2 | , …………13 分 2 2

n?

3 ? 0且g?(2

3 4 3 (t -4t +16t-16) (-2<t<2), 4 81 , 4

1304 ? 1 8 ? ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 ? ?32, 6 , ? 上单调增, ? 125 ? 5 ? ?

f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由 f’(t)=0 及-2< t<2 得 t=-1.
当 t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当 t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1 时取得最大值 所以 S 的最大值为

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2nx ? m ? 0 ? f ?( x) ? 0 (2) ? ,则 ? 恒成立. ? g ?( x) ? 0 ? g ?( x) ? 2nx ? m ? 0

若 m ? n ? 0, 显然不符g?(x)=2nx-m ? 0,

9 .此时 x1+x2=-t=1= ? -2, ? =3 …………15 分 2
4

2 ? ? f ?(m) ? 3m ? 2nm ? m ? 0 ? ? 若n ? m ? 0, 则f (x)在 ? m,n ? 上单调增,则g ( x)单调减,有 ? 2 ? ? g ?( x) ? 2n ? m ? 0

?3m ? 2n ? 1 ? 0 ? 从而 ?2n 2 ? m ? 0 ?0 ? m ? n. ?

有线性规划可得 0 ? n ? m ?

1 8

5

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6


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