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高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档:第十一章 统计 11.1 随机抽样 Word版含答案

第十一章 统 计

1.随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性. (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了 解分层抽样和系统抽样方法. 2.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用,能根据频率分布表画 频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各 自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数 据标准差. (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均 数、标准差),并作出合理的解释. (4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本 的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样 本估计总体的思想.

思想解决一些简单的实际问题. 3.变量的相关性 (1)会做两个有关联变量的数据的散点图,并利用
散点图认识变量间的相关关系. (2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回
归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系 数公式不要求记忆).
4.统计案例 (1)通过典型案例了解回归分析的思想、方法,并 能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实 际问题. (2)通过典型案例了解独立性检验的思想、方法, 并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单 的实际问题.

(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的

11.1 随 机 抽 样

1.简单随机抽样 (1)简单随机抽样:一般地,设一个总体含有 N 个 个体,从中逐个________地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的 机会________,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种:________ 法和________法.

抽签法(抓阄法):一般地,抽签法就是把总体中 的 N 个个体________,把号码写在号签上,将号签放 在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取______个 号签,连续抽取________次,就得到一个容量为 n 的 样本.
随机数法:随机数法就是利用______________、 随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.
简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个 数不多的情况下是行之有效的.
2.系统抽样

(1)一般地,假设要从容量为 N 的总体中抽取容量 为 n 的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽样:
①先将总体的 N 个个体________.有时可直接利 用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号 等;
②确定分段间隔 k,对编号进行分段.当Nn(n 是样 本容量)是整数时,取 k=Nn,如果遇到Nn不是整数的情 况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体 中剩余的个体数能被样本容量整除;
③在第 1 段用______________抽样方法确定第一 个个体编号 l(l≤k);
④按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上 ________得到第 2 个个体编号________,再________ 得到第 3 个个体编号________,依次进行下去,直到 获取整个样本.
(2) 当 总 体 中 元 素 个 数 较 少 时 , 常 采 用 ____________ , 当 总 体 中 元 素 个 数 较 多 时 , 常 采 用 ______________.
3.分层抽样 (1)分层抽样的概念:一般地,在抽样时,将总体 分成________的层,然后按照一定的________,从各 层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合 在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样. (2)当总体是由__________的几个部分组成时,往 往选用分层抽样的方法. (3) 分 层 抽 样 时 , 每 个 个 体 被 抽 到 的 机 会 是 ________的.
自查自纠
1.(1)不放回 都相等 (2)抽签 随机数 编号 1 n 随机数表 2.(1)①编号 ③简单随机 ④间隔 k (l+k) 加 k (l+2k) (2)简单随机抽样 系统抽样

3.(1)互不交叉 比例 (2)差异明显 (3)均等

(2015·四川)某学校为了解三年级、六年级、

九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差

异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行

调查,则最合理的抽样方法是( )

A.抽签法

B.系统抽样法

C.分层抽样法

D.随机数法

解:按人数比例抽取,则用分层抽样最合理.故

选 C.

从匀速传递的新产品生产流水线上,质检员每

10 分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测,这样

的抽样是( )

A.系统抽样

B.分层抽样

C.简单随机抽样

D.随机数法

解:根据定义易判断这样的抽样为系统抽样.故

选 A.

(2015·泉州校级期末)采用系统抽样的方法

从 2 005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本,则抽样

间隔和随机剔除的个体数分别为( )

A.40,5

B.50,5

C.5,40

D.5,50

解:因为 2 005÷50=40 余 5,所以用系统抽样法

从 2 005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本,抽样间

隔是 40,且应随机剔除的个体数为 5.故选 A.

(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参

加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,

从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样

本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四

年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级

本科生中抽取________名学生.

4 解:应从一年级本科生中抽取 300×4+5+5+6=

60 名学生.故填 60. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示,
现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全 体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号为第 1 组,6~10 号为第 2 组,…,196~ 200 号为第 40 组).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.
解:由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37;易知 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100,所以 40
40 岁以下年龄段应抽取的人数为200×100=20.故填 37; 20.
类型一 简单随机抽样
某大学为了支援我国西部教育事业,决定 从应届毕业生报名的 18 名志愿者中选取 6 名组成志愿 小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
解:(抽签法) 第一步:将 18 名志愿者编号,编号为 1,2,3,…, 18; 第二步:将 18 个号码分别写在 18 张外形完全相 同的纸条上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 18 个号签放入一个不透明的盒子里, 充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取 6 个号签,并记录上 面的编号;

第五步:所得号码对应的志愿者就是志愿小组的 成员.
(随机数表法) 第一步:将 18 名志愿者编号,编号为 01,02, 03,…,18; 第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任 意方向读数,比如从第 8 行第 29 列的数 7 开始,向右 读; 第三步:从数 7 开始,向右读,每次取两位,凡 不在 01~18 中的数或已读过的数,都跳过去不作记录, 依次可得到 12,07,15,13,02,09; 第四步:找出以上号码对应的志愿者,即是志愿 小组的成员. 【点拨】考虑到总体中个体数较少,利用抽签法 或随机数表法很容易获取样本,但须按这两种抽样方 法的操作步骤进行.注意掌握随机数表的使用方法.
某车间工人已加工一种轴 100 件,为了 解这种轴的直径,要从中抽出 10 件在同一条件下测量 轴的直径(要求为(20±0.5)mm).如何采用简单随机抽 样方法抽取上述样本?
解:因为 100 件轴的直径的全体是总体,将其中 的 100 个个体编号 00,01,02,…,99.利用随机数表 来抽取样本的 10 个号码,在随机数表中任选一数作为 开始,任选一方向作为读数方向,比如选第 20 行第 3 列的数开始,往右读数,得到 10 个号码如下:16,93, 32,43,50,27,89,87,19,20.将上述号码的轴在 同一条件下测量直径.
类型二 系统抽样
从某厂生产的 10 002 辆汽车中随机抽取 100 辆测试某项性能,请合理选择抽样方法进行抽样, 并写出抽样过程.
解:因为总体容量和样本容量都较大,可用系统

抽样. 抽样步骤如下: 第一步,将 10 002 辆汽车用随机方式编号; 第二步,从总体中剔除 2 辆(剔除法可用随机数表
法),将剩下的 10 000 辆汽车重新编号(分别为 00001, 00002,…,10000),并分成 100 段;
第三步,在第一段 00001,00002,…,00100 这 100 个编号中用简单随机抽样方法抽出一个作为起始 号码(如 00006);
第四步,把起始号码依次加上间隔 100,可获得样 本.
【点拨】①总体容量和样本容量都较大时,选用 系统抽样比较合适;②系统抽样的号码成等差数列, 公差为每组的容量.
(2015·宜昌一模)某市为了创建国家级 文明城市,采用系统抽样的方法从 960 人中抽取 32 人 做问卷调查,为此将这 960 人随机编号为 1,2,…, 960,分组后在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到 的号码为 9.若抽到的 32 人中,编号落入区间的人做问 卷 A,编号落入区间的人做问卷 B,其余的人做问卷 C, 则抽到的人中,做问卷 B 的人数为____________.
解:由题意知,将 960 人平均分成 32 组,每组 30 人 , 第 k(k∈N*) 组 抽 到 的 号 码 为 (k-1)×30 + 9.令 451≤(k-1)×30+9≤750(k∈N*),解得 16≤k≤25, 则满足 16≤k≤25 的正整数 k 有 10 个,故做问卷 B 的 人数为 10.故填 10.
类型三 分层抽样
某企业共有 5 个分布在不同区域的工厂, 职工 3 万人,其中职工比例为 3∶2∶5∶2∶3.现从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析员工的生产效 率.已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文 化传统有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过 程.

解:应采取分层抽样的方法.过程如下:

(1)将 3 万人分为五层,其中一个工厂为一层.

(2)按照样本容量的比例随机抽取各工厂应抽取

的样本:

3

2

300×15=60(人);300×15=40(人);

300×155=100(人);300×125=40(人);

300×135=60(人).

因此各工厂应抽取的人数分别为 60 人,40 人,100

人,40 人,60 人.

(3)将 300 人组到一起即得到一个样本.

【点拨】分层抽样的实质为按比例抽取,当总体

由差异明显的几部分组成时,多用分层抽样.应认识

到,在各层抽取样本时,又可能会用到简单随机抽样,

系统抽样,甚至分层抽样来抽取样本.

(2016·天津期末)某公司有 1 000 名员 工,其中,高层管理人员占 5%,中层管理人员占 15%, 一般员工占 80%,为了解公司的某种情况,现用分层抽 样的方法抽取 120 人进行调查,则一般员工应抽取 ____________人.
解:应抽取一般员工 120×80%=96 人.故填 96.

1.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础, 是一种等概率的抽样,它的特点是:
(1)它要求总体个数较少; (2)它是从总体中逐个抽取的; (3)它是一种不放回抽样. 2.系统抽样又称等距抽样,号码序列一旦确定, 样本即确定好了.但要注意,如果编号的个体特征随 编号的变化呈现一定的周期性,那么样本的代表性是 不可靠的,甚至会导致明显的偏向.

3.分层抽样一般在总体是由差异明显的几个部分 组成时使用.
4.抽样方法经常交叉使用,比如系统抽样中均匀 分段后的第一段,可采用简单随机抽样;分层抽样中, 若每层中个体数量仍很大时,则可辅之以系统抽样等.
5.三种抽样方法的比较

类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围

简单随 机抽样
系统 抽样
分层 抽样

总体中的

从总体中

个体数较

逐个抽样



抽 样 将总体均



程 分 成 几 部 在起始部



总体中的

每 个 个 体 被

分,按事先 确定的规 则在各部

分抽样时 采用简单 随机抽样

个体数较 多

抽 取

分抽取

的 概 率 相 等

将总体分 成几层,分

分层抽样 时采用简 单随机抽

总体由差 异明显的

层进行抽

几部分组

样或系统





抽样

1.下列抽样中不是系统抽样的是( ) A.从标有 1~15 号的 15 个球中,任选 3 个作样 本,按从小号到大号排序,随机选起点 i0,以后 i0+5, i0+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车 间前,检验人员从传送带上每隔 5 分钟抽一件产品进 行检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个 人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排

人数相同)座位号为 14 的观众留下来谈

解:选项 C 为简单随机抽样,其余选项为系统抽

样.故选 C.

2.(2014·广东)为了解 1 000 名学生的学习情况,

采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则

分段的间隔为( )

A.50

B.40

C.25

D.20

解:由1 40000=25,可得分段的间隔为 25.故选 C.

3.(2016·豫南九校模拟)某网络零售平台对购物

情况做了一项调查,收回的有效问卷共 500 000 份,

其中购买下列四种商品的人数统计为:服饰鞋帽 198

000 人,家居用品 94 000 人,化妆品 116 000 人,家

用电器 92 000 人.为了解消费者对商品的满意度,该

平台用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查,

已知在购买“化妆品”这一类中抽取了 116 份,则在

购买“家居用品”这一类中抽取的问卷份数为( )

A.92

B.94

C.116 D.118

解:在购买“化妆品”这一类中抽取了 116 份,

设在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为

x,则111616000=94

x 000,解得

x=94.故选

B.

4.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,

当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同

方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别

为 p1,p2,p3,则( )

A.p1=p2<p3

B.p2=p3<p1

C.p1=p3<p2

D.p1=p2=p3

解:根据抽样方法的概念可知,简单随机抽样、

系统抽样和分层抽样三种抽样方法中每个个体被抽到

n 的概率相等,均是N,故 p1=p2=p3,故选 D.

5.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个

体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方

法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由

左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的

编号为( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A.08

B.07

C.02

D.01

解:从选定的两位数字开始向右读,剔除不合题

意及与前面重复的编号,得到符合题意的编号分别为

08,02,14,07,01,…,因此选出来的第 5 个个体

的编号为 01.故选 D.

6.(2016·荆门元月调考)将参加数学竞赛决赛的

500 名学生编号为:001,002,…,500,采用系统抽

样的方法抽取一个容量为 50 的样本,分组后,在第一

组采用简单随机抽样抽得的号码为 003.这 500 名学生

分别在三个考点考试,从 001 到 200 在第一考点,从

201 到 355 在第二考点,从 356 到 500 在第三考点,则

第三考点被抽中的人数为( )

A.14

B.15

C.16

D.21

解:由题意可知,将 500 名学生平均分成 50 组,

每组 10 人,第 k(k∈N*)组抽到的号码为 10(k-1)+3.

令 356≤10(k-1)+3≤500(k∈N*),解得 37≤k≤50,

则满足 37≤k≤50 的正整数 k 有 14 个,故第三考点被

抽中的学生人数为 14 人.故选 A.

7.(2015·安徽模拟)高三(1)班有学生 52 人,现

将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容

量为 4 的样本,已知 5 号,31 号,44 号学生在样本中,

则样本中还有一个学生的编号是____________.

解:因为系统抽样是等距抽样,52÷4=13,间隔

为 13,且 5 号,31 号,44 号学生在样本中,所以 5+

13=18,即样本中还有一个学生的编号是 18.故填 18.

8.(2015·浙江模拟)某初级中学有学生 270 人,

其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽

样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽

样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽

样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一

编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一

随机编号为 1,2,…,270,并将整个编号依次分为

10 段,如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 . 关于上述样本的下列结论: (1)②③都不能为系统抽样 (2)②④都不能为分层抽样 (3)①④都可能为分层抽样 (4)①③都可能为系统抽样 正确的是____________.(填上所有正确结论的编
号) 解:根据三种抽样方法的特征,若是分层抽样,
则各年级应占的比例为 4∶3∶3,①②③均适合;若是 系统抽样,则抽取的样本号码应该构成公差为 27 的等 差数列,且首项小于或等于 27,①③适合,④的首项 为 30,不是系统抽样,综上知,故填(4).
9.为了考察某校的教学水平,将抽查该校高三年 级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面地 反映实际情况,采用以下三种方式进行抽样(已知该校 高三年级共有 20 个教学班,并且每个班内的学生已经 按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相 同):①从全年级 20 个班中任意抽取一个班,再从该 班中任意抽取 20 人,考察他们的学习成绩;②每个班 都抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 个学生的成绩; ③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从 中抽取 100 名学生进行考察(已知若按成绩分,该校高 三学生中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生 共 250 人).根据上面的叙述,回答下列问题:
(1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分 别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容 量分别是多少?
(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样 本的方法?
解:(1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高

三全体学生本学年的考试成绩,个体都是指高三年级 每个学生本学年的考试成绩.其中第一种抽取方式中 样本为所抽取的 20 名学生本学年的考试成绩,样本容 量为 20;第二种抽取方式中,样本为所抽取的 20 名学 生本学年的考试成绩,样本容量为 20;第三种抽取方 式中,样本为所抽取的 100 名学生本学年的考试成绩, 样本容量为 100.
(2)第一种采用简单随机抽样法;第二种采用系统 抽样法和简单随机抽样法;第三种采用分层抽样法和 简单随机抽样法.
10.一支田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量 为 28 的样本.
解:田径运动员的总人数是 56+42=98(人),要 得到 28 人的样本,占总体的比例为27.于是,应该在男 运动员中随机抽取 56×27=16(人),在女运动员中随机 抽取 28-16=12(人).这样,就可以得到一个容量为 28 的样本.
11.某大学今年有毕业生 1 503 人,为了了解毕 业生择业的意向,打算从中选 50 人进行询问调查,试 用系统抽样法确定出这 50 个人.
解:总体中的每个个体都必须等可能地入样,为 了实现系统抽样的平均分组且又等概率抽样,必须先 剔除 1 503 被 50 除的余数 3,再“分段”,定起始位 置.
第一步:将 1 503 名大学生随机编号:0001, 0002,…,1503;
第二步:因为 1 503 被 50 除余 3,所以应从总体 中剔除 3 人,用随机数表法确定被剔除的 3 位学生;
第三步:将余下的 1 500 名学生重新编号为 0001, 0002,…,1500;
第四步:将上述 1 500 个号码按顺序平均分成 50 段,每段 30 人;
第五步:在第一段 0001,0002,…,0030 这 30

个编号中随机确定一起始号 i0; 第六步:取出编号为 i0,i0+30,i0+60,…,i0
+49×30 的大学生,即得所需样本.
某公司有 1 000 名员工,其中:高层管理 人员为 50 名,属于高收入者;中层管理人员为 150 名, 属于中等收入者;一般员工为 800 名,属于低收入者.要 对这个公司员工的收入情况进行调查,欲抽取 100 名 员工,应当怎样进行抽样?
解:可以采用分层抽样的方法,按照收入水平分 成三层:高收入者、中等收入者、低收入者.从题中 数据可以看出,高收入者为 50 名,占所有员工的比例
50 为1 000=5%,为保证样本的代表性,在所抽取的 100 名员工中,高收入者所占的比例也应为 5%,数量为 100×5%=5,所以应抽取 5 名高层管理人员.同理, 抽取 15 名中层管理人员、80 名一般员工,再对收入状 况分别进行调查.


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