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浙江省温州市高中数学 3.1.1空间向量及其运算导学案(无答案)新人教a版选修2-1


3.1.1 空间向量及其运算 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 【重点难点】 理解空间向量的概念、运算律 【学习过程】 一、 自主预习 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本概念: 具有 和 ; . , 的量叫向量, 叫向量的模(或长度) ; 叫单位向量. 叫相 叫相等向量. 向量的 ,和 叫零向量,记着 反向量, a 的相反向量记着 表示方法有 共三种方法. 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则. 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 (1)|λ a|= . 量,记作 ,其长度和方向规定如下: 法则 和 (2)当 λ >0 时,λ a 与 A. 当 λ <0 时,λ a 与 A. 当 λ =0 时,λ a= . ; ; 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b 二、合作探究 归纳展示 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向 量吗?空间向量如何表示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内, 变为两个平面向量的加法和减 法运算,例如右图中, OB ? , AB ? , AC 5 ? ,则 AC ? CB 2 AB , BC ? 试试:点 C 在线段 AB 上,且 AB . 反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:a +b = b+ a; ⑵加法结合律:(a+ b) + c =a + (b + c); ⑶数乘分配律:λ (a + b) =λ a +λ b. 三、讨论交流 点拨提升 空间向量的运算法则 四、学能展示 课堂闯关 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) ,化 简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: ⑴AB ? BC ; 1 ⑵ AB ? AD ? AA '; ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2 ' 变式:在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 AC , BD' 和 DB ' . 小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量 的起点指向末尾向量的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们 转化为首尾相接的向量. 例 2 化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑷ OA ? OD ? DC . 变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP . 小结: 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法既可 转化成加法,也可按减法法则进行运算,加法和减法可以转化. ※ 动手试试 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下 列表达式: ⑴ AA1 ? A1B1 ; ⑵ 1 1 A1 B1 ? A1D1 ; 2 2 1

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