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2013届内蒙古包头市一中高三第二次模拟考试理科数学试题及答案

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. 已知集合 ,则 ▲ . ▲ .

2. 若复数 是实数,则

3. 已知某一组数据 ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为 ▲ . 4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 分别作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 上的概率为 ▲ . 5. 运行如图语句,则输出的结果 T= ▲ . 6. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合,则双曲线的离心率为 ▲ . 7. 已知一个圆锥的底面圆的半径为 1,体积为 ,则该圆锥的侧面积为 ▲ .

8. 将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,若 在 上为增函数,则 最大值为 ▲ . 9. 已知 O 是坐标原点,点 ,若点 为平面区域 上的一个动点,则 的取值范围是 ▲ . 10. 数列 中, , ( 是常数, ) ,且 成公比不为 的等比数列,则 的通项公式是 ▲ . 11. 若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的范围 12. 函数 的图象上关于原点 对称的点有 ▲ .对. 13. 在平面直角坐标系 中,已知点 是椭圆 上的一个动点,点 P 在线段 的延长线上,且 ,则点 P 横坐标的最大值为 ▲ . 14. 从 轴上一点 A 分别向函数 与函数 引不是水平方向的切线 和 ,两切线 、 分别与 轴相交于 点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的面积为 ,△OAC 的面积为 ,则 + 的最小值为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 . (1)求 的最小正周期; (2)在 中, 分别是 A、 B、 C 的对边,若 , , 的面积为 ,求 的值. ▲ .

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥ 平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (1)求证:平面 A1BC⊥ 平面 ABB1A1; (2)若 ,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 的体积。

17. (本小题满分 15 分)

某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 亿元,其中用于风景区改造为 亿元。 该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 每年用于风景区改 造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;② 每年改造生态环境总费用至少 亿元,至多 亿元; ③ 每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的 15%,但不得每年改造生态环境 总费用的 22%。 (1)若 , ,请你分析能否采用函数模型 y= 作为生态环境改造投资方案; (2)若 、 取正整数,并用函数模型 y= 作为生态环境改造投资方案,请你求出 、 的取值. 18. (本小题满分 15 分) 椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,离心率为 ,点 在椭圆上,以 为圆心, 为半径的圆与 的两个公共 点是 . (1)若 是边长为 的等边三角形,求圆的方程; (2)若 三点在同一条直线 上,且原点到直线 的距离为 ,求椭圆方程.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 , , ) ( . (1)求函数 的极值; (2)已知 ,函数 , ,判断并证明 的单调性; (3)设 ,试比较 与 ,并加以证明. 20. (本小题满分 16 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“期待数列”: ① ;②. (1)若等比数列 为 ( )阶“期待数列”,求公比 ; (2)若一个等差数列 既是 ( )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式; (3)记 阶“期待数列” 的前 项和为 : (ⅰ )求证: ; (ⅱ )若存在 使 ,试问数列 能否为 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明 理由. 参考答案 2013.05 1. 2. 3. 2 4.

5.625 9. 12.3 13.

6.

7. 11.

8.

10.

提示:设 ,由 ,得 , ===, 研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 , (当且仅当 时取“=”) . 14.8 提示: ,设两切点分别为 , , , ) ( , : ,即 ,令 ,得 ; 令 ,得 . : ,即 ,令 ,得 ;令 ,得 . 依题意, ,得 , +===, = ,可得当 时, 有最小值 8. 15. 解: (1) 4分 6分 (2)由 , , 又 的内角, , , 8分 , , , 11 分 , 14 分 16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥ 平面 ABC, ∴ A1⊥ A BC, ∵ AD⊥ 平面 A1BC, ∴ AD⊥ BC, ∵ A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, A ∴ BC⊥ 平面 ABB1A1,

又∵ 平面 A1BC, ∴ 平面 A1BC⊥ 平面 ABB1A1 7分 (2) 由等积变换得 , 在直角三角形 中,由射影定理( )知 , ∵, ∴ 三棱锥的高为 10 分 又∵ 底面积 12 分 ∴ = 14 分 法二:连接 ,取 中点 ,连接 ,∵ 为 AC 中点, P ,, 9分

由(1)AD⊥ 平面 A1BC,∴ ⊥ 平面 A1BC, ∴ 为三棱锥 P- A1BC 的高, 11 分 由(1)BC⊥ 平面 ABB1A1 , 14 分 17.解: (1)∵, ∴ 函数 y= 是增函数,满足条件① 3 分 。 设, 则, 令 ,得 。 当 时, , 在 上是减函数; 当 时, , 在 上是增函数, 又 , ,即 , 在 上是增函数, ∴ 时, 有最小值 0.16=16%>15%, 当 当 时, 有最大值 0.1665=16.65%<22%, ∴ 能采用函数模型 y= 作为生态环境改造投资方案。 9 分 (2)由(1)知 , 依题意,当 , 、 时, 恒成立; 下面求 的正整数解。 令 , 12 分 , 12 分

由(1)知 , 在 上是减函数,在 上是增函数, 又由(1)知,在 时, ,且 =16%∈ [15%,22%], 合条件,经枚举 , ∈ [15%,22%], 而 [15%,22%],可得 或 或 , 由 单调性知 或 或 均合题意。 15 分 18.解:设椭圆的半长轴是 ,半短轴是 ,半焦距离是 , 由椭圆 的离心率为 ,可得椭圆 方程是 , 2 分 (只要是一个字母,其它形式同样得分, ) 焦点 ,准线 ,设点 , (1) 是边长为 的等边三角形, 则圆半径为 ,且 到直线 的距离是 , 又 到直线 的距离是 , 所以, , , 所以 所以,圆的方程是 。 6 分 (2)因为 三点共线,且 是圆心,所以 是线段 中点, 由 点横坐标是 得, , 8 分 再由 得: , , 直线 : , 12 分 原点 到直线 的距离 , 依题意 , ,所以 , 所以椭圆的方程是 . 15 分 19.解: (1) ,令 ,得 . 当 时, , 是减函数; 当 时, , 是增函数. ∴ 时, 有极小值 , 无极大值. 4 分 当 (2) ==, 由(1)知 在 上是增函数, 当 时, ,

即, ∴ ,即 在 上是增函数. 10 分 (3) ,由(2)知, 在 上是增函数, 则, 令 得, . 16 分 20.解: (1)若 ,则由① =0,得 , 由② 或 . 得 若 ,由① 得, ,得 ,不可能. 综上所述, . (2)设等差数列 的公差为 , >0. ∵ ,∴, ∴, ∵ >0,由 得 , , 由题中的① 、② , 得 , 两式相减得, , ∴, 又 ,得 , ∴. (3)记 , ,…, 中非负项和为 ,负项和为 , 则 , ,得 , , (ⅰ ,即 . ) (ⅱ )若存在 使 ,由前面的证明过程知: , ,…, , , ,…, , 且 … . 记数列 的前 项和为 , 则由(ⅰ )知, , ∴ = ,而 , ∴ ,从而 , , 又 … , 则,

∴, 与 不能同时成立, 所以,对于有穷数列 ,若存在 使 ,则数列 和数列 不能为 阶“期待数列”


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