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2013年北京东城区高三二模数学文试题答案


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北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)A (2)C (6)C (3)D (7)C (4)D (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? (12)

? 3

3 2
2

(10)

1 2

15 2

(11) 4 (14)①③

(13) 4

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x)

? 3 sin x cos x ? sin 2 x
=

1 (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2

1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2
? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ?. ?

2? , 3

所以

? ? 3? ? 2x ? ? . 6 6 2
3 1 , ]. 2 2
………………………………13 分

所以 f ( x ) 的取值范围是 ( ? (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可得

x y 2 ? ? ,所以 x ? 11 , y ? 3 . 99 27 18

(Ⅱ)记从高二年级抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高三年级抽取的 2 人为 c1 , c 2 ,

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则从这两个年级中抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c1 ) ,

(b1 , c2 ) , (b2 , b3 ) , (b2 , c1 ) , (b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种. ……8 分
设选中的 2 人都来自高二的事件为 A , 则 A 包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种. 因此 P ( A) ?

3 ? 0.3 . 10
………………………………………13 分

故选中的 2 人都来自高二的概率为 0.3 . (17) (共 14 分)

证明: (Ⅰ)因为 M , N 分别是 BD , BC 的中点, 所以 MN // DC ? . 因为 MN ? 平面 ADC ? , DC ? ? 平面 ADC ? , 所以 MN // 平面 ADC ? . 同理 NG // 平面 ADC ? . 又因为 MN ? NG ? N , 所以平面 GNM // 平面 ADC ? . (Ⅱ)因为 ?BAD ? 90 ,
?

'

C

N A G M B
'

D

所以 AD ? AB . 又因为 AD ? C B ,且 AB ? C B ? B ,
'

所以 AD ? 平面 C AB .
'

因为 C A ? 平面 C AB ,
' '

所以 AD ? C A .
'

因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , 不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 可得 C ?A ? 1 . 由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A .
'

2,

因为 AB ? AD ? A , 所以 C A ? 平面 ABD .
'

………………………………………………14 分

(18) (共 14 分)

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解:(Ⅰ f ( x) ? ln x ? )

a ,定义域为 (0, ??) , x

则 f ( x) ?
|

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x

因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) ,

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) .

(Ⅱ)由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足

k ? f ?( x0 ) ?
所以 a ? ?

x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( 3? x0 ? 0 , )

1 2 x0 ? x0 对 3 ? x0 ? 0 恒成立. 2 3 1 2 1 又当 x0 ? 0 时, ? ? ? x0 ? x0 ? , 2 2 2
所以 a 的最小值为 (19) (共 13 分)

1 . 2

……14 分

解(Ⅰ 因为 )

c 3 2 2 2 ,a ?b ? c , ? a 2

所以 a ? 2b . 因为原点到直线 AB : 解得 a ? 4 , b ? 2 . 故所求椭圆 C 的方程为 (Ⅱ 由题意 )

x y ab 4 5 ? ? 1 的距离 d ? , ? 2 2 a b 5 a ?b

x2 y ? ? 1. 16 4

2

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? y ? kx ? 1, ? 2 消去 y ,整理得 ?x y2 ? ?1 ? ?16 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .
可知 ? ? 0 . 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) , 则 xM ?

x1 ? x2 ?4k 1 ? , yM ? kxM ? 1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 k BM ?

yM ? 2 1 ?? . xM k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 又因为 k ? 0 ,
即 所以 k ?
2

1 2 .所以 k ? ? . 8 4

………………………………13 分

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ;

a7 ? a4?2?1 ? 0 .
(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 a2n?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t

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从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an .…………13 分

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