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新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2平面的法向量导学案

3.2 平面的法向量
学习 目标 学习 重点 难点 学法 指导 1.理解空间法向量的概念,掌握空间法向量的计算。 2.理解空间中直线的方向向量。 重点:理解直线的方向向量和平面的法向量概念。 难点: 平面的法向量的求法。 通过课前自主预习,理解直线的方向向量与平面的法向量定义;小组合作探究得出平面 法向量的求法. (阅读课本 102-103 页,独立完成以下题目) 1.直线的方向向量:空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个以及一个确定,把这个向量叫做直线 l 的一个方向向量。如右 课前 预习 图 1 中的 AB 。 2.如右图 2,直线 l⊥α ,取直线 l 的一个 a ,则向量 a 叫做平面 α 的。 (学生独立完成,教师通过批改了解掌握情况) 1.已知 a ? (1,2,?2) , ? ? ?2 ,若 b ? ? a ,则 b =。

P A B 图1

l

a α l

预习 评价

2. 已知 u ? (?2,2,5) , v ? (6,?4,4) ,则 u ? v ? 。 3. 若点 A(﹣1,0,1) ,B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的方向向量可以为( A. (1,2,3) B. (1,3,2) C. (2,1,3) D. (3,2,1) )

4.已知空间三点 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ,如果平面 ABC 的法向量是 a ,那 么 a 的坐标可以是( A. (1,1,1) ) C. (﹣1,1,1) D. (1,1,﹣1)

B. (1,﹣1,1,)

课堂学习研讨、合作交流 一.引入: 我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题,你是否已经初步体会到空 间向量在解决立体几何问题中的作用?这节课我们将进一步学习立体几何中的向量方法。

二.新课探究: 探究一:如何把空间中的点、直线、平面的位置用向量表示出来。

问题 1:在空间中给一个定点 A 和一个定方向(向量) ,能确定一条直线在空间的位置吗? 问题 2:什么是直线的方向向量?一条直线的方向向量唯一吗? 问题 3:平面的法向量是什么? 问题 4:一个平面的法向量唯一吗?如果不唯一,它们之间有什么关系? 探究二:如何求平面的法向量。 已知:平面 α 内有三个不共线的三点 A(1,1,1) ,B(2,1,2) ,C(1,2,2) ,如果一个向量 u 是平面α 的法向量, 问题 5: u 与 AB , AC 垂直吗?你能求出 AB , AC 的坐标吗?

问题 6: 设 u ? ( x, y, z) , 如果 AB ⊥ u 且 AC ⊥ u , 那么 AB ,AC 与 u 的坐标之间满足怎样的关系?

问题 7:根据问题 8 联立成方程组, u 有多少个解?你能求出 u 的一个解吗?(注:给其中一个变量 任意赋一个非零值,然后解出剩余两个变量)

那么,你能总结出求平面法向量的一般方法吗?

1.已知点 A(1,0,0) ,B(0,2,0) ,C(0,0,3) ,求平面 ABC 的一个法向量。

当 堂 检 测 2.如右图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,边长为 1,求平面 A1BD 的一个 法向量。

D1 A1 B1 D A B

C1

C

学 后 反 思


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