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2016年抚顺市数学高考第六次模拟理科试题


辽宁省部分重点高中协作校高三模拟考试

理 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题 前,考生务必先将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

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辽宁省部分重点高中协作校高三模拟考试

数学试卷(理科)
编辑整理:抚顺市雷锋高中 刘海刚

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的。 (1) 设集合 A ? {x | x ? ?1} ,B ? {x | y ? 3x 2 ? 5x ? 2} , 则集合 A ? ?R B ?( ) 。

1 1 (B) {x | ? ? x ? 2} 3 3 1 1 (C) {x | ?1 ? x ? } (D) {x | ? ? x ? 2} 3 3 3ai (a ? 0) ,其中 i 为虚数单位, | z |? 5 ,则 a 的值为( (2)若复数 z ? 1 ? 2i 2 4 5 (A) ? (B) ?1 (C) ? (D) ? 3 3 3
(A) {x | ?1 ? x ? }

) 。

2 2 (3)已知命题 p :若 a ? b ,则 ac ? bc ;命题 q : ?x0 ? 0 ,使得 x0 ? 1 ? ln x0 ? 0 ,

则下列命题为真命题的是( (A) p ? q (B) p ? (?q)

) 。 (C) (?p) ? q ) 。 ( D) (?p) ? (?q)

(4) 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是 (

19 20 21 (C) 22
(A)

(B)

20 21 22 (D) 23

( 5 )某中学领导采用系统抽样方法,从该校某年级全体 1200 名学生中抽取 80 名学生做视力检查。 现将 1200 名学生从 1 到 1200 进行编号, 在 1~15 中随机抽取一 个数,如果抽到的是 6,则从 46~60 这 15 个数中应 抽取的数是( ) 。 (A) 47 (B) 48 (C) 51 (D) 54

?y ? x ? 3 ? (6)设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 5 ,若 z ? x ? 4 y 的最大值与最小值的差为 5, ?y ? m ?
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则实数 m 等于( (A)3
2

) 。 (B)2

(C) ?2

(D) ?3 ) 。 (D) 2

6 (7)若 ( x ? a ) ? ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为 30 ,则 a 等于(
10

1 x

(A)

1 3

(B)

1 2

(C) 1

(8) 某几何体的三视图如图所示, 若该几何体的体积为 5 11 , 则侧视图中线段的长度 x 的值是( (A)6 ) 。 (B) 4 11 (C)5 (D)2 13

(9)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱和底面垂直,底面 是正三角形,侧棱长是底边长的 2 倍,若该三棱柱的 各顶点都在球 O 的表面上, 且球 O 的表面积为 36? , 则三棱锥 A ? A1B1C1 的体积为( (A) ) 。

121 25

(B )

81 16

(C)

16 9

(D)

( 10 ) 若 函 数 f ( x) ? 4sin(2 x ? ? ) (| ? |?

?
2

9 4

) 的图象关于直线 x ?

?
12

对称,且当 ) 。

x1 , x2 ? (?
(A)4

7? 5? , ? ) , x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) 等于( 6 12
(B) 2 3 (C ) 2 2 (D) 2

(11) 已知点 A 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点, F 为其焦点, 以点 F 为圆心, 以|FA| 为半径的圆交准线于 B,C 两点,△FBC 为正三角形,且△ABC 的面积是 则抛物线的方程为( (A) y ? 12 x
2

128 , 3

) 。
2

(B) y ? 14 x

(C) y ? 16 x
2

(D) y ? 18 x
2

( 12 ) 设 函 数 f ( x ) 在 R 上 存 在 导 函 数 f ?( x ) , 对 于 任 意 的 实 数 x , 有
2 ,当 f ( x)? 3x ? f( ? x ) x ? (??,0) 时, f ?( x) ?

1 ? 3 x 。若 f (m ? 3) ? f (?m) 2

? 9m ?

27 ,则实数 m 的取值范围是( 2
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) 。

(A) [? , ??)

1 2

(B) [? , ??)

3 2

(C) [?1, ??)

(D) [?2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (13)已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x, x ? 0
2 ? ? ? x ? 3 x, x ? 0

,若 f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围是



x2 y 2 (14) 已知直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且与双 a b
曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的实轴长为
o



(15)在△ABC 中, ?C ? 90 ,AB=3,AC=1,若 AC ? 2BD ? CB ,则 CD? CB 等 于 。

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(16) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为,a, b, c , 若 tan A tan C ? tan B tan C ?

tan A tan B ,且 sin 2 A ? sin 2 B ? (m2 ? 1)sin 2 C ,则 m 的值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本大题满分 12 分) 已知各项均为正数的等差数列 {an } 满足: a4 ? 2a2 ,且 a1 , 4, a4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求同时满足下列条件的所有 an 的和:① 20 ? n ? 116 ;② n 能够被 5 整除。 (18) (本大题满分 12 分) 据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何 改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语 改革的看法,某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进 行问卷调查统计,结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2100 人 500 人 应该保留 120 人 无所谓

y人

x人

z人

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 300 人进行问卷访谈,问应
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在持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再平均分成两 组进行深入交流,求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望。 (19) (本大题满分 12 分) 如图 1,已知四边形 ABFD 为直角梯形,AB∥DF,∠ADF=90o,△AED 为等边三角 形,AD=DF=2AB=2,C 为 DF 的中点。如图 2,将△AED,△BCF 分别沿 AD,BC 折起,使得平面 AED⊥平面 ABCD, 平面 BCF⊥平面 ABCD,连接 EF,DF,设 G 为 AE 上任意一点。 (Ⅰ)证明:DG∥平面 BCF; (Ⅱ)求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值。

图1 (20) (本大题满分 12 分)

图2

x2 y 2 ? ? 1 上一点, 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M(x0,y0)是椭圆 C: 16 4
从原点 O 向圆 M: ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P,Q,直 线 OP,OQ 的斜率分别记为 k1,k2. (Ⅰ)若圆 M 与轴相切于椭圆 C 的左焦点,求圆 M 的方程; (Ⅱ)若 r ?

4 5 , 5

① 求证: k1k2 为定值; ② 求 | OP | ? | OQ | 的最大值。

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(21) (本大题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ln x ? 2nx2 ? x ( x ? 0, m ? R, n ? R )。 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求 f ( x ) 的递增区间; (Ⅱ)若 m ? 1 ,是否存在 n ? R ,使 f ( x ) 的极值大于零?若存在,求出 n 的取值范围; 若不存在,请说明理由。 ※考生注意:请考生在第(22) 、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题计分。作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (22) (本大题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。 (Ⅰ)若 BD⊥AE ,AB =4,BC =2 ,AD=3,求 CE 的 长; (Ⅱ)若

AB 1 AD 1 BD ? , ? ,求 的值。 AC 2 AE 3 EC

(23) (本大题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) 。以坐标原点为极点, x 轴的 y ? 5 ? 5sin t ?

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。 (24) (本大题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3|, a ? R 。 (Ⅰ)当 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 1 ; (Ⅱ)当 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 ,求 a 的取值范围。

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参考答案与评分校准
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 D 8 A 9 B 10 B 11 C 12 B

【详细解析】 (8) 解: 该几何体的直观图如右图, 其中 PA=5, BD ?

5 , AB=4, 2

CB ? AB , PA ? 平面ABC , PA ? BD 。

1 5 S PABD ? ? (5 ? ) ? 4 ? 15 。设 BC ? y ,则 2 2 1 VC ? PABD ? ? 15 y ? 5 11 ,解得 y ? 11 。在左视图中 3

x ? 11 ? 25 ? 6 。
(9)解:如图,设底面边长为 a ,则侧棱长为 2 a 。4? R ? 36 ,
2

解得 R ? 3 。 CQ ?

2 2 3 3 CM ? ? a? a , OQ ? a , 3 3 2 3

1 3 3 9 ? a 2 ? a 2 ,解得 a ? 。棱锥 A ? A1B1C1 的体积为 3 2 81 1 3 27 V? ? ? ?3 3 ? 。 16 3 4 4
(10)解:函数 f ( x) ? 4sin(2x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 称,所以 2 ? 即? ?

?
12



?
12

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z 。 ? ? k? ?

?
3

, k ? Z 。因为 | ? |?

?
2

,所以 k ? 0 ,

7? ) ? 0 。因为当 3 3 6 7? 5? 7? 2? x1 , x2 ? (? , ? ) , x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 x1 , x2 ? (? ,? ) , 6 12 6 3 7? 2? ? ? 11? 11? x1 ? x2 6 3 ? ? 11? 。 ) ?2 3。 所以 x1 ? x2 ?? ? ,f ( x1 ? x2 ) ? f ( ? ? 6 6 2 2 12

?

x? 。于是 f ( x) ? 4 sin( 2

?

T ? ? , f (? ) 。最小正周期

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( 11 )解:如图,设等边三角形 FBC 的边长为 a ,则

128 2 3 3 , p 。因为△ABC 的面积是 a ? p ,a ? 3 3 2
所以

1 2 3 2 3 128 ,解得 p ? 8 。 ? p? p? 2 3 3 3

二、填空题: 13. (??, ?2] ? [?1, 4] 【详细解析】 (14)解:直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的斜率 k ? 14. 2 15. 12 16. ? 2

3 ,渐近线斜率 k ? ? ? 3 。于是 b ? 3a 。 3

2 2 2 令 x ? 3 y ? 2 ? 0 中, y ? 0 ,解得 x ? ?2 ,即 c ? 2 。 a ? b ? c ,解得 a ? 1 。

所以实轴长为 2a ? 2 。 ( 15 ) 解 : 如 图 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 由 题 意 知 A(0,1) ,

??? ? ??? ? B(2 2,0) 。设 D(x, y) ,则 AC ? (0, ? 1) , CB ? (2 2,0) ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD ? ( x ? 2 2, y) 。因为 AC ? 2BD ? CB ,所以 (0, ?1) ?
? ??? ? 1 ??? 1 2( x ? 2 2, y) ? (2 2,0) ,解得 x ? 3 2, y ? ? 。CD ? (3 2, ? ) ,CB ? (2 2,0) , 2 2 ??? ? ??? ? CD? CB ? 3 2 ? 2 2 ? 12 。
( 16 ) 解 : 因 为 sin 2 A ? sin 2 B ? (m2 ? 1)sin 2 C , 所 以 由 正 弦 定 理 得

1 1 ? tan B tan A 1 cos B cos A cos C sin A cos B ? cos A sin B cos C ? ? ? ? 。切化弦得 , , tan C sin B sin A sin C sin A sin B sin C sin( A ? B ) cos C sin C cos C 2 ? ? , , sin C ? sin A sin B cos C 。由正弦定理得 sin A sin B sin C sin A sin B sin C
因为 tan A tan C ? tan B tan C ? tan A tan B , 所以 a2 ? b2 ? (m2 ? 1)c2 。

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c2 a 2 ? b2 ? c 2 (m2 ? 1)c 2 ? c 2 c ? ab cos C ,即 cos C ? ? 。由余弦定理得 cos C ? 。 2ab 2ab ab
2

解得 m ? 2 ,即。 m ? ? 2
2

三、解答题: (17)解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则通项 an ? a1 ? (n ?1)d 。 因为 a4 ? 2a2 ,且 a1 , 4, a4 成等比数列,所以 ?

? a1 ? 3d ? 2( a1 ? d )
2 ? 4 ? a1 ( a1 ? 3d )

。??????2 分,

解得 a1 ? d ? ?2 。因为各项均为正数,所以 a1 ? d ? 2 。???????????2 分 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n 。??????????????1 分 ( Ⅱ ) 因 为 n 同 时 满 足 : ① 20 ? n ? 116 ; ② n 能 够 被 5 整 除 , 所 以 n 的 取 值 为 20,25,30 ,?, 115 ,共 20 个整数。设相应的数列构成新的数列 {bn } 为等差数列,

b1 ? a20 ? 40 , b20 ? a115 ? 230 。?????????????????????3 分
所以 {bn } 的前 20 项和为 S 20 ?

1 ? 20 ? (40 ? 230) ? 2700 。??????????2 分 2

(18)(Ⅰ) 因为在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06, 所以

120 ? x ? 0.06 , 解得 x ? 60 ????????????????????? 3000

2分 持“无所谓”态度的人数:3000-2100-500-120-60=220????????????1 分 应在持“无所谓”态度的人中抽取的人数:

220 ? 300 ? 22 人。????????1 分 3000

(Ⅱ)由(Ⅰ)知持“应该保留”态度的人共有 180 人,所以在所抽取的 6 人中,在校学 生人数为

120 60 ? 6 ? 4 ,社会人士人数为 ? 6 ? 2 ,于是第一组在校学生人数 X 的可能 180 180
1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 , , ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? ????3 分 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

取值为 1,2,3??????????????????????????????3 分

P( X ? 1) ?

即 X 的分布列为: X 1 2 3
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P

1 5

3 5

1 5

????????????????????????????1 分 所以 E(X)= 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 2 。????????????1 分 5 5 5

(19)解:(Ⅰ)设 AD 的中点为 M,连接 EM。因为△AED 为等 边三角形,即 EA=ED ,所以 EM⊥AD。因为平面 AED⊥平面 ABCD, 所以 EM⊥平面 ABCD。 因为平面 BCF⊥平面 ABCD, FC⊥BC,所以 FC⊥平面 ABCD。于是 EM∥FC。因为在矩形 ABCD 中,AD∥BC,EM∩AD=M,FC∩BC =C,EM ? 平面 AED, AD ? 平面 AED, FC ? 平面 BCF, BC ? 平面 BCF,所以 平面 AED∥平面 BCF。因为 G∈AE,所以 DG ? 平面 AED。 所以 DG∥平面 BCF。??????????????5 分 (Ⅱ) 取 AD 的中点为坐标原点,ME 为 z 轴,MD 为 x 轴,平面 AED 过点 M 的垂线为 y 轴,建立空间直角坐标系如图。??2 分 因 为 △ AED 为 等 边 三 角 形 , AD=2 , 所 以 OE=ME= CF=1。 O(0,0,0),E(0.0, 3 ) ,C(1,1,0),D(1,0,0),F(1,1,1).

3 ? 2 ? 3 。因为 DF=2,C 为 DF 的中点,所以 2

??? ? ???? ??? ? DE ? (?1,0, 3) , DF ? (0,1,1) , CD ? (0, ?1,0) .设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ???? ? ?? x ? 3z ? 0 ? ?n?DE ? 0 则 ? ???? , ? 。 令 z ?1 , 则 x ? 3 y , ?? , 1 所 以 y ? z ? 0 ? n ? DF ? 0 ? ? ?
n?( 3 ?,
。?????????????????????????? 3分 1 , 1 )

??? ? ??? ? 又 CD ? (0, ?1,0) 为平面 BCF 的一个法向量,所以 cos ? n, CD ??

??? ? n? CD ???? ? | n | ? | CD |

?


5 1 5 。所以平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 。??2 ? 5 5 ?1 5

? x2 y2 ?1 ? ? (20)解:(Ⅰ)解: ? 16 ,得 M (?2 3, ?1) 。因为若圆 M 与轴相切于椭圆 C 4 ? x ? ?2 3 ?
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的左焦点,所以半径 r ? 1 。圆 M 的方程为 ( x ? 2 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 。??????4 分 (Ⅱ) (21) 解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? m ln x ? 2nx 2 ? x , 所以 f (1) ? 2n ? 1, 即切点为 (1, 2n ? 1) 。

f ?( x) ?
以?

m ? 4nx ? 1 ,切线斜率 k ? f ?(1) ? m ? 4n ? 1 。因为切线为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,所 x

?m ? 4n ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ,解得 ? ,所以 f ( x) ? ln x ? 2x2 ? x 。 ?2 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 0 ?n ? ?1
1 ?4 x 2 ? x ? 1 ?4 x 2 ? x ? 1 ? 4x ?1 ? ?0 , 结 合 x?0 解 得 。 令 x x x

f ?( x) ?

0? x?

1? 8

1 7

。所以 f ( x ) 的递增区间为 (0,

1 ? 17 )。 8

(22) (Ⅰ)解: AD ? AE ? AB ? AC , AD ? AE ?

AB ? ( AB ? BC ) 。 3 ? AE ? 4 ? (4 ? 2) ,解得 AE=8。
????????????????????????????????????2 分 因为 BD⊥AE ,所以∠BDE=90o.因为 BCED 是⊙O 的内接四边形,所以∠BCE=90o. ????????????????????????????????????2 分 于是 CE ?

AE 2 ? AC 2 ? 82 ? 62 ? 2 7 。????????????????1 分
BD AD AB ? ? 。????????????2 分 EC AC AE

(Ⅱ) 解: 因为 BCED 是⊙O 的内接四边形, 所以∠BCE=∠ACE .因为∠BAD=∠EAC, 公共角,所以△BCE∽△ACE.于是

因为

AB 1 AD 1 BD 2 AD AB 1 BD 6 ? , ? ,所以 ( ) ? ? ? ,即 。????3 分 ? AC 2 AE 3 EC AC AE 6 EC 6

( 23 ) (Ⅰ)解:曲线 C1 的的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) ,消去参数得 ? y ? 5 ? 5sin t

( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , 展 开 得 一 般 方 程 为 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 。 将
x ? ? c o? s , y ? ? sin ? 代入得 C1 的极坐标方程 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0
????????????????????????????????????5 分
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(Ⅱ)方法一:解:曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin? ,化为直角坐标方程得

? x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 得? 或? 。 x ? y ? 2 y ? 0 。由 ? 2 2 ? ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ? y ? 1 ? y ? 2
2 2

所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

) 和 (2, ) 。??????????????5 分 4 2

?

? ? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 方法二:解: ? ,把 ? ? 2sin ? 代入 ? ? ? 2sin ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 得 cos? (cos? ? sin ? ) ? 0 。 所 以 c o ?s ?
cos ? ? sin ? 。因为 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ?

0 或

?
4

或? ?

?
2

。所以 C1 与 C2 交点的极坐标为

( 2, ) 和 (2, ) 。???????????????????????????? 5 4 2
分 (24) (Ⅰ)解:当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3| 。 若 x ? ?1 ,则 f ( x) ? x ? 1 ? ( x ? 3) ? ?2 ? 1 成立。 若 x ? ?3 ,则 f ( x) ? ? x ? 1 ? (? x ? 3) ? 2 ? 1不成立。 若 ?3 ? x ? ?1 ,则 f ( x) ? ? x ? 1 ? ( x ? 3) ? ?2 x ? 4 ? 1 ,解得 ? 所以不等式 f ( x) ? 1 的解集为 [ ?

?

?

5 ? x ? ?1 。 2

5 5 , ?1) ? [ ?1, ??) ? [? , ??) 。?????5 分 2 2

(Ⅱ)当 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 ,即 | x ? a | ? x ? 3 ? 4 ,整理得 | x ? a |? x ? 7 。

? x ? 7 ? x ? a ? x ? 7 , ?7 ? a ? 2 x ? 7 。因为 x ? [0,3] ,所以 2 x ? 7 的最小值为 7.
于是 ?7 ? a ? 7 ,即 a 的取值范围是 [?7, 7] 。??????????????5 分

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