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陕西省西安铁一中2010-2011学年高一第一学期期中考试(数学)


西安市铁一中学 2010-2011 学年第一学期高一年级期中考试

数学试题
命题人:李忠民 审题人:秦增平 一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已 知 全 集 U ? R , 则 正 确 表 示 集 合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关 系 的 韦 恩
2

?

?

(Venn)图是

A 2. log 2

B

C

D

2 的值是
B. 2
2

A. ? 2

C. ?

1 2

D.

1 2

3. 已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是 A a ? ?2 B a ? ?2 C a ? ?6 D a ? ?6 4.若 log3 a ? 0, ( )b ? 1 ,则 B. 0 ? a ? 1, b ? 0 C. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

1 3 A. a ? 1, b ? 0

5.函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1]
7 5 3

D. [?4, 0) ? (0, 1]

6.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为 A. 4 B. 0 C. 2m D. ?m ? 4 7.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 A.(0,1)
x 2

B.(1,1.25)

C.(1.25,1.75)

D.(1.75,2)

8.函数 y ? 2 ? x 的图像大致是

A

B

C

D

二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 4 分,共 16 分)各题答案必须填写在答题卡上(只 填结果,不要过程). 9.已知 a ? 关系为 .
2

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小 2

10.函数 f ( x) ? x ? x 的单调递减区间是____________________

11.对于函数 f ( x) ,定义域为 D, 若存在 x0 ? D 使 f ( x0 ) ? x0 , 则称 ( x0 , x0 ) 为 f ( x) 的图象上 的不动点. 由此,函数 f ( x) ?

9x ? 5 的图象上不动点的坐标为 x?3

.

12.函数 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则 这三个实根的和为 三、解答题:(本大题 5 个小题,共 44 分)各题解答必须答在答题卡上,必须写出必要的文 字说明、演算步骤或推理过程. 13. (本小题满分 8 分) 设全集 U={1, 2, 3, 4, 5}, 集合 A={1, a2-1, 4}, ? A ={2, a+3} U (I)求 a 值; (II)满足 A?B?U 这样的集合 B 共有几个?试将这样的 B 集合都写出来. ? 14. (本小题满分 8 分) 计算求值
1 7 0 0.75 (I) 0.064 ? (? ) ? 16 ? 0.25 2 8 ? 1 3

1 2

1 2

(II)

lg 2 5 ? lg 5 ? lg 4 ? lg 2 2

15. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a ( x ? 3) (0 ? a ? 1) (I)求函数 f (x) 的定义域; (II)求函数 f (x) 的零点; (Ⅲ)若函数 f(x)的最小值为 ? 4 ,求 a 的值. 16. (本小题满分 10 分)

a ? 2x ? a ?1 已知函数 f ( x) ? . 2x ?1 (I)求证:不论 a 为何实数 f (x) 总是为增函数; (II)确定 a 的值, 使 f (x) 为奇函数; (Ⅲ)当 f (x) 为奇函数时, 求 f (x) 的值域.
17. (本小题满分 10 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需要增加投入 100

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400 元,已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产量. 2 ?80 000 , x ? 400 ? (I)将利润 y 元表示为月产量 x 台的函数;
(II) 当月产量为何值时, 公司所获得利润最大?最大利润是多少? (总收益=总成本+利润) 18.附加题(本小题满分 10 分) 已知

1 ? a ? 1 , 若 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 1 在区间 [1, 3] 上的最大值为 M (a) , 最小值为 N (a) , 3 令 g ( a) ? M ( a) ? N ( a) . (I) 求 g ( a ) 的函数表达式; (II) 判断 g ( a ) 的单调性, 并求出 g ( a ) 的最小值.

西安市铁一中学 2010-2011 学年第一学期高一年级期中考试

高一数学参考答案及评分标准
一.选择题答案 1—4 BDBD,5—8DADA 二.填空题答案 9:m<n 10: ? ? , 0 ? ? ? , ?? ? 三解答题答案 13(I) ∵1, 4?A; 2?CUA , ∴a2-1, a+3 必为 U 中除 1, 2, 4 的其它数; 即: a2-1=3 (1) , a+3=5 或 a2-1=5 a+3=3 (2) ------------------------------------------------------ 3 分 分

? 1 ? 2

? ?1 ? ?2

? ?

11: (1,1),(5,5)

12:

3 2

(1)式解得 a=2, (2)式无解. 即 a=2.

-------------------------------------------------------------- 4

(II) 这样 A={1, 3, 4},满足{1, 3, 4}?B?{1, 2, 3, 4, 5}的集合 B 共有 3 个, ? 分别是: {1, 3, 4}或{1, 2, 3, 4}或{1, 3, 4, 5}

------------------------ 6 分

--------------------------------- 8 分

14(1)原式=(0.4 3 ) =0.4
?1

?

1 3

? 1 ? (24 ) 4 ? (0.52 ) 2 -1 分 (2)原式= lg 2 5 ? 2lg 5 ? lg 2 ? lg 2 2
1 2
-----------3 分 = (lg 5 ? lg 2)
2

3

1

?1 ? 8 ?

2

--2 分

?

5 1 ?7? 2 2

= (lg10) =1.

----------3 分 ------------ 4 分

=10.

----------------4 分

15 解: (1)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x ? 0 ,解之得: ?3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0
……2 分
2

所以函数的定义域为: (?3, 1)

(2)函数可化为 f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a (? x ? 2 x ? 3) 由 f ( x) ? 0 ,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,
2 2 即 x ? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1? 3

……4 分

? ?1 ? 3 ? (?3,1) ,? f (x) 的零点是 ? 1? 3 ……5 分
(3)函数可化为: f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a (? x ? 2 x ? 3) ? log a [?( x ? 1) ? 4]
2 2

∵ ?3 ? x ? 1
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∴ 0 ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4
2

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? 0 ? a ? 1,? log a [?( x ? 1) 2 ? 4] ? log a 4 ,即 f ( x) mim ? log a 4
由 log a 4 ? ?4 ,得 a ?4 ? 4 ,? a ? 4 解: (1) 依题设 f (x) 的定义域为 (??,??) 原函数即 f ( x) ? a ?
x
? 1 4

?

2 2
……1 分

……8 分

1 ,设 x1 ? x2 , 2 ?1 2 x1 ? 2 x2 1 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x = ,……2 分 ? a ? x2 2 1 ?1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
? x1 ? x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? 则 2a ?
?x

……4 分

1 1 , ? ?a ? x 2 ?1 2 ?1

1 1 1 2x ? ?x ? x ? x ? 1, 2x ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ……7 分 ? a ? . ? f ( x) ? ? x . 2 2 2 ?1 1 1 1 (3)由(2)知 f ( x) ? ? x , ? 2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ? x ? 1, 2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ??1 ? ? x ? 0?? ? f x ? , ( ) 2 ?1 2 2 1 1 所以 f ( x) 的值域为 (? , ). ……10 分 2 2
17.解: (1)依题设,总成本为 20 000 ? 100 x ,

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20 000 , 0 ? x ? 400 则y?? 2 ……4 分 ?60 000 ? 100 x, x ? 400 ?
(2)当 0 ? x ? 400 时, y ? ?

1 ( x ? 300 ) 2 ? 25 000 2
……6 分

则当 x ? 300 时, ymax ? 25 000

当 x ? 400 时, y ? 60 000 ? 100 x 是减函数, 则 y ? 60 000 ? 100 ? 400 ? 25 000 ……8 分

所以,当 x ? 300 时,有最大利润 25 000 元.……10 分 18 解:(1) 函数 f ( x ) ? ax ? 2x ? 1 的对称轴为直线 x ?
2

1 1 1 , 而 ? a ? 1,?1 ? ? 3 a 3 a
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∴ f ( x ) 在 [1,3] 上 N(a ) ? f ( ) ? 1 ? ①当 1 ?

1 a

1 ……2 分 a

1 1 ? 2 时,即 ? a ? 1 时, M(a ) ? f (3) ? 9a ? 5 a 2 1 1 1 ②当 2 ? ? 3 时,即 ? a ? 时, M(a ) ? f (1) ? a ? 1 a 3 2 1 1 ? ?9a ? a ? 6, 2 ? a ? 1 ? ……7 分 ? g (a ) ? M (a ) ? N (a ) ? ? ?a ? 1 ? 2, 1 ? a ? 1 ? a 3 2 ? 1 1 1 (2) g (a)在[ ,1]上单调递增,在 , )上单调递减, [ 2 3 2 1 1 ……10 分 g (a ) ? g( ) ? . min 2 2

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