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2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课时跟踪检测文


课时跟踪检测(十八)

同角三角函数的基本关系与诱导公式

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 3 ? π π? 1.若 α ∈?- , ?,sin α =- ,则 cos(-α )=________. 2 2 5 ? ? 3 4 4 ? π π? 解析:因为 α ∈?- , ?,sin α =- ,所以 cos α = ,即 cos(-α )= . 2 2 5 5 5 ? ? 4 答案: 5 π 2.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ =________. 2 解析:∵sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ), π π ∴-sin θ =- 3cos θ ,∴tan θ = 3.∵|θ |< ,∴θ = . 2 3 π 答案: 3 π? 1 ? ?π 3.已知 sin?α - ?= ,则 cos? +α 4? 3 ? ?4

?=________. ? ?

?π ?π ?π ? 解析:cos? +α ?=sin? -? +α ?4 ? ?2 ?4
π? 1 ?π ? ? =sin? -α ?=-sin?α - ?=- . 4? 3 ?4 ? ? 1 答案:- 3

?? ?? ??

4 ?π ? 4.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan α =________. 2 5 ? ?

?π ? 解析:∵α ∈? ,π ?, ?2 ?
3 2 ∴cos α =- 1-sin α =- , 5 sin α 4 ∴tan α = =- . cos α 3 4 答案:- 3 1 ?3π -A?的值是________. 5.如果 sin(π +A)= ,那么 cos? ? 2 ? 2 ? 1 1 解析:∵sin(π +A)= ,∴-sin A= . 2 2

1

∴cos?

?3π -A?=-sin A=1. ? 2 ? 2 ?

1 答案: 2 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2016·南师附中检测)角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边 经过点 P(1,2),则 sin(π -α )的值是________. 解析: 因为角 α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 P(1,2), 2 5 2 5 所以 sin α = ,sin(π -α )=sin α = . 5 5 2 5 答案: 5

?π ? 2.若 sin(π -α )=-2sin? +α ?,则 sin α ·cos α 的值等于________. ?2 ? ?π ? 解析:由 sin(π -α )=-2sin? +α ?,可得 sin α =-2cos α ,则 tan α =-2, ?2 ?
tan α 2 sin α ·cos α = =- . 2 1+tan α 5 2 答案:- 5 cos 350°-2sin 160° 3.(2016·苏北四市调研) =________. sin?-190°? cos?360°-10°?-2sin?180°-20°? 解析:原式= = -sin?180°+10°? cos 10°-2sin?30°-10°? = -?-sin 10°? 3 ?1 ? cos 10°-2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? = 3. sin 10° 答案: 3 sin?π -α ?cos?2π -α ? ? 31π ?=________. 4.已知 f(α )= ,则 f?- ? 3 ? cos?-π -α ?tan α ? sin α ·cos α 解析:∵f(α )= =-cos α , -cos α tan α

? 31π ?=-cos?-31π ?=-cos?10π +π ? ∴f?- ? ? 3 ? 3 ? 3? ? ? ? ? ? ?
π 1 =-cos =- . 3 2

2

1 答案:- 2 1 5π 3π 5.已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α =__________. 8 4 2 5π 3π 解析:∵ <α < , 4 2 ∴cos α <0,sin α <0 且|cos α |<|sin α |, ∴cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2× = , 8 4 ∴cos α -sin α = 答案: 3 2 3 . 2

?π ? ?π sin? +α ?·cos? -α 2 ? ? ?2 6.化简: cos?π +α ?
=________.

? sin?π -α ?·cos?π +α ? ? ?2 ? ? ? ?
+ sin?π +α ?

cos α ·sin α sin α ?-sin α ? 解析:原式= + -cos α -sin α =-sin α +sin α =0. 答案:0 4π 5π ? 4π ? 7.sin ·cos ·tan?- ?=________. 3 6 ? 3 ? π? π? π? ? ? ? 解析:原式=sin?π + ?·cos?π - ?·tan?-π - ? 3? 6? 3? ? ? ? =?-sin =?-

? ? ? ?

π? ? π? ? π? ·?-cos ?·?-tan ? 3? 6 3? ? ? ? ?

3 3 3? ? 3? ?×?- ?×(- 3)=- 4 . 2? ? 2?

3 3 答案:- 4

?π ? ? 5π ? ?2π ? 8.(2016·南通调研)已知 cos? -θ ?=a(|a|≤1),则 cos? +θ ?+sin? -θ ? ?6 ? ? 6 ? ? 3 ?
=________. 解析:由题意知,cos?

?5π +θ ?=cos?π -?π -θ ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

3

?π ? =-cos? -θ ?=-a. ?6 ?
sin? π π ? ?2π -θ ?=sin?π +? -θ ? -θ ? ??=cos? ? ? ?=a, ?2 ? 6 3 ? ?? ? ? ?6 ? ?

∴cos?

?5π +θ ?+sin?2π -θ ?=0. ? ? 3 ? ? 6 ? ? ?

答案:0

? π? 9.已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f(0)=1. 4? ?
(1)求 A 的值; 1 (2)若 f(α )=- ,α 是第二象限角,求 cos α . 5 解:(1)由 f(0)=1,得 Asin π 2 =1,A× =1,∴A= 2. 4 2

? π? (2)由(1)得,f(x)= 2sin?x+ ?=sin x+cos x. 4? ?
1 1 由 f(α )=- ,得 sin α +cos α =- , 5 5 1?2 1 ? 2 ∴sin α =-cos α - ,即 sin α =?-cos α - ? , 5? 5 ? 2 1 2 2 ∴1-cos α =cos α + cos α + , 5 25 1 12 2 cos α + cos α - =0, 5 25 3 4 解得 cos α = 或 cos α =- . 5 5 ∵α 是第二象限角,∴cos α <0, 4 ∴cos α =- . 5 10.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α . 解:由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5×2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α
4
2 2

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?



sin α +sin α 8 = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4

2

2

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.sin 1°+sin 2°+…+sin 90°=________. 解析:sin 1°+sin 2°+…+sin 90°=sin 1°+sin 2°+…+sin 44°+sin 45° +cos 44°+cos 43°+…+cos 1°+sin 90°=(sin 1°+cos 1°)+(sin 2°+cos 2°) 1 91 2 2 2 2 +…+(sin 44°+cos 44°)+sin 45°+sin 90°=44+ +1= . 2 2 91 答案: 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?π ? 2.若 f(x)=sin? x+α ?+1,且 f(2 013)=2,则 f(2 015)=________. ?2 ? ?π ? 解析:因为 f(2 013)=sin? ×2 013+α ?+1= ?2 ?
π ? ? ?π ? sin?1 006π + +α ?+1=sin? +α ?+1=cos α +1=2, 2 ? ? ?2 ? 所以 cos α =1. 所以 f(2 015)=sin?

?π ×2 015+α ?+1 ? ?2 ?

π ? ? ?π ? =sin?1 007π + +α ?+1=-sin? +α ?+1 2 ? ? ?2 ? =-cos α +1=0. 答案:0 cos ?nπ +x?·sin ?nπ -x? 3.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式;
2 2

? π ?+f?503π ?的值. (2)求 f? ? ? ? ?2 014? ?1 007?
解:(1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时, cos ?2kπ +x?·sin ?2kπ -x? 2 cos [?2×2k+1?π -x]
2 2 2

f(x)=
2

= =

cos x·sin ?-x? 2 cos ?π -x? cos x·?-sin x? 2 ?-cos x?
2 2 2

=sin x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,
5

f(x)=
2

cos [?2k+1?π +x]·sin [?2k+1?π -x] 2 cos {[2×?2k+1?+1]π -x}
2

2

2



cos [2kπ +?π +x?]·sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2×?2k+1?π +?π -x?]
2 2

cos ?π +x?·sin ?π -x? = 2 cos ?π -x? = ?-cos x? sin x 2 ?-cos x?
2 2 2 2

=sin x,综上得 f(x)=sin x.

? π ?+f?503π ? (2)由(1)得 f? ? ? ? ?2 014? ?1 007?
=sin =sin =sin
2

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π ? π 2?π +sin ? - 2 2 014? 2 014 ? ? π 2 π +cos =1. 2 014 2 014

2

2

6


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