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人教版高中数学必修1反证法教案


二 教学时间: 第三课时 课

简易逻辑(§1.7.3 四种命题)

题: §1.7.3 反证法 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力.

教学目标:

教学重点:反证法证题的步骤. 教学难点:理解反证法的推理依据及方法. 教学方法:讲练结合教学. 教具准备:投影片共 3 张 教学过程: (I)复习回顾 师:初中已学过反证法,什么叫做反证法? 生:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方 法叫做反证法. 师:本节将进一步研究反证法证题的方法. (II)讲授新课 §1.7.3 反证法证题的步骤是什么? 生: 共分三步: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. (注:学生回答时,教师投影出:反证法证明命题的一般步骤.) 师:反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运 用直接证明法比较困难或难以证明时, 可运用反证法进行证明。 例如: “在 Δ ABC 中,若∠C 是直角,那么∠B 一定是锐角。 ”显然命题的结论是正 确的, 但直接证明是较困难的, 而用反证法就容易证明之。 请一同学证明。 生:假设∠B 是直角,因∠C 是直角,所以∠C+∠B=1800,此时∠A=00,这与 ABC 为三角形相矛盾。所以∠B 为锐角。 师:请讨论上述证明推理是否正确?为什么?

生:上述证明推理不完整。因∠B 不是锐角有两种情况,即∠B 为直角或钝角, 必须对两种可能均加以否定,才能证明∠B 一定是锐角。 师: 分析正确。 由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时, 必须将结论所有反面的情况逐一驳证,才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题: (投影片 2) 例 3:用反证法证明: a? b 如果 a>b>0,那么 。 ,即

(由学生回答,教师书写)
证明:假设 ∴

a 不大于 b ∵ a>0,b>0

a< b 或

a= b 。

a< b ? a ? b ? b ? a与 a ? b ? b ? b.

(由学生回答上述步骤转化的目的是什么?) ? a ? ab,ab ? b ? a ? b (推理利用了不等式的传递性)
又由

a ? b ?a?b

但这些都与已知条件 a>b>0 矛盾. a? b ∴ 成立。 (投影片 3) 例 4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知:如图:在⊙0 中,弦 AB、CD 交于点 P,且 AB、CD 不是直径。 求证:弦 AB、CD 不被 P 平分。 师分析:假设弦 AB、CD 被 P 平分,连结 OP,由平面几何知识可推出: 生:OP⊥AB 且 OP⊥CD。又推出:在平面内过一点 P 有两条 直线 AB 和 CD 同时与 OP 垂直,这与垂线性质矛盾,则 原命题成立。

证明: (略) (可由投影片给出证明)
师:由上述两例题可看:利用反证法证明时,关键是从假 设结论的反面出发,经过推理论证,得出可能与命题 的条,或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论,这是由假设所 引起的,因此这个假设是不正确的,从而肯定了命题结论的正确性。 例 5:若 p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明:p+q≤2.

师:此题直接由条件推证 p+q≤2 是较难的,由此用反证法证之。 (师生共同分析: ) 证明:假设 p+q>2,∵p>0,q>0.则: (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8. 又∵p3+q3=2。∴代入上式得:3pq(p+q)>6,即:(pq(p+q)>2.(1) 又由 p3+q3=2,即(p+q)(p2-pq+q2)=2 代入(1)得: pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2). 但这与(p-q)2≥0 矛盾,∴假设 p+q>2 不成立。故 p+q≤2. 师:对反证法的掌握,还有待于随着学习的深入,逐步提高。 (III)课堂练习: (略) (IV)课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。 对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入,逐步加强和提高。 (V)课后作业 一、书面作业:课本 P34,习题 1.7:5 题。 二、预习:下节内容,预习提纲: 1.充分条件与必要条件的意义是什么? 2.命题“若 p 则 q”的真假与 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条 件的关系是什么? 板书设计: §1.7.3 反证法 1.反证法证明命题的步骤。 2.反证法应用:例题。 小结: 教学后记: (课本 P33 1、2)


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