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指数对数难度题

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助您成才 高一数学必修一 上课时间:2013 年__月___日

课堂讲义

一、本节知识点梳理
1.根式 (1)根式的概念 n * n 如果一个实数 x 满足 x =a(n>1 且 n∈N ),那么称 x 为 a 的 n 次方根.也就是,若 x =a,则 x 叫 做 ,其中 n>1 且 n∈N .式子 a叫做 , 这里 n 叫做 ,a 叫做 . (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 表 示,负的 n 次方根用符号 表示.正负两个 n 次方根可以合写为 (a>0). ③(
*

n

n

a)n=

.

④当 n 为奇数时, a = ;当 n 为偶数时, a =|a|= ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 n * ①正整数指数幂:a =a·a·…·a(n∈N ). 0 ②零指数幂:a = (a≠0). -p * ③负整数指数幂:a = (a≠0,p∈N ). * ④正分数指数幂: = (a>0,m、n∈N ,且 n>1). * ⑤负分数指数幂: = = (a>0,m、n∈N ,且 n>1).

n

n

n

n

.

⑥ 0 的正分数指数幂等于
r s

,0 的负分数指数幂
r s

.(2)有理数指数幂的性质

①a a = (a>0,r、s∈Q);②(a ) = r ③(ab) = (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 图象 定义域 值域 (1)过定点 性质 (2)当 x>0 时, x<0 时, ;

(a>0,r、s∈Q);

0<a<1

(4)在(-∞,+∞)上是 1.对数的概念 (1)对数的定义

(3)当 x>0 时, ; x<0 时, (5)在(-∞,+∞)上 是

如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 对数的底数,叫做真数.
(2)几种常见对数 对数形式 一般对数 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1)

,其中

叫做

记法

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常用对数 自然对数

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底数为 底数为

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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=
n

;②loga =

M N



③logaM = (n∈R);④ = . (2)对数的性质 N ① = ;②logaa = (a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式: (a,b 均大于零且不等于 1); 1 ②logab= ,推广 logab·logbc·logcd= . logba 3.对数函数的图象与性质 a>1

0<a<1

图象

性质

(1)定义域: (2)值域: (3)过点 ,即 x= 时,y= (4)当 x>1 时, 当 0<x<1 时, (5)当 x>1 时, 当 0<x<1 时, (6)在(0,+∞)上是 (7)在(0,+∞)上是 4.反函数 x 指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 对称.

二、重难点点拨
1.根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算,从而 可以简化计算过程.

2.指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a>1 进 行分类讨论.
1.关于对数的底数和真数 b 从对数的实质看:如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,即 b=logaN.它是知道底数 和幂求指数的过程.底数 a 从定义中已知其大于 0 且 不等于 1;N 在对数式中叫真数,在指数式中,它就 是幂,所以它自然应该是大于 0 的. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y =logax 的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3.关于对数值的大小比较

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(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较.

三、典型例题与分析 指数函数部分
题型一 例1 指数式与根式的计算 1 0 (1) -( 3-1) - 9-4 5; 5+2

题型二 指数函数的图象及应用 2 010-x 例2 (1)函数 y=a +2 010(a>0 且 a≠1)恒过点__________. x (2)方程 2 =2-x 的解的个数为________.

题型三 指数函数的性质 2x x 例 3 设 a>0 且 a≠1,函数 y=a +2a -1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

(对数函数部分) 题型一 对数式的化简与求值 例 1 计算: (1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) ;(2) (3)(log32+log92)·(log43+log83).
2

? lg 3?

2

-lg 9+1·? lg 27+lg 8-lg 1 000? lg 0.3·lg 1.2



题型二 比较大小 例 2 比较下列各组数的大小: 5.1 0.9 (1)log23.4,log28.5;(2)log67,log76;(3)m=0.9 ,n=5.1 ,p=log0.95.1; (4)若 0<a<b<1,试确定 logab,logba, 的大小关系.

题型三 与对数函数图象有关的问题 例 3 作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单调区间,并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎样的变换而得到.

题型四 与对数函数性质有关的问题 例 4 已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函数, 若存在, 求 a 的取值范围.

四、随堂练习

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1.计算下列各式 ? 1 2 7 2 (1)1.5 3 ? (? ) 0 ? 8 0.25 ?4 2 ? (3 2 ? 3 ) 6 ? ( ) 3 6 3
4 1

(2)

a 3 ? 8a 3 b a ? 23 ab ? 4b
2 3 2 3

? (1 ? 2

3

b 3 ) ? a. a

2.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y= 4x 的图象于点 C.若 AC 平行于 y 轴,求点 A 的坐标.
3. 要使函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围.
x x

4.化简或求值: 7 1 (1)log2 +log212- log242-log22;(2)2log525+3log264; 2 48 1 1 1 2 a b (3) ln(2x+2 x -1)+ln( x+1- x-1) (x>1);(4)已知 3 =5 =c,且 + =2,求 c 的值. 2 a b

5.比较下列各组数的大小: 2 6 (1)log3 与 log5 ;(2)log1.10.7 与 log1.20.7; 3 5 b a c (3)已知 log1 b ? log1 a ? log1 c , 比较 2 ,2 ,2 的大小关系
2 2
x

2

6.已知函数 f(x)=loga(2 +b-1) (a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满 足的关系是下列关系中的 . -1 -1 -1 -1 -1 ①0<a <b<1 ②0<b<a <1 ③0<b <a<1 ④0<a <b <1

7.已知 f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么 a 的取值范围是

.


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