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2019高三一轮复习创新设计文科数学第四章 第7节


第7节

解三角形应用举例

最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算 有关的实际问题.

知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰 角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).

2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为 α(如图 2). 3.方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. 4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中, 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题, 这时最好画两个 图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东 45° 的方向.( )

(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α+β =180° .( )

π? ? (3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0,2?.( ? ?

)

(4) 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.( )

解析 (2)α=β;(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° C.北偏东 10° 解析 如图所示,∠ACB=90° , 又 AC=BC, ∴∠CBA=45° ,而 β=30° , ∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° . 答案 B 3.(必修 5P24A5 改编)如图所示,设 A,B 两点在河的两岸,一 测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A,B 两 点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 解析 由正弦定理得 AB AC =sin B, sin∠ACB ACsin∠ACB = sin B 2 50× 2 1 2 =50 2(m). ) B.50 3 m 25 2 D. 2 m ) B.北偏西 15° D.北偏西 10°

又∵B=30° ,∴AB= 答案 A

4.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120° , 两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是 ______n mile.

解析 设两船之间的距离为 d, 则 d2=502+302-2× 50× 30× cos 120° =4 900, ∴d=70,即两船相距 70 n mile. 答案 70 5.(2014· 全国Ⅰ卷)如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测 量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及 ∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山高 MN= ________m.

解析 在 Rt△ABC 中,∠CAB=45° ,BC=100 m, 所以 AC=100 2 m.在△AMC 中, ∠MAC=75° , ∠MCA=60° , 从而∠AMC=45° , AC AM 由正弦定理得,sin 45° =sin 60° ,因此 AM=100 3 m. 在 Rt△MNA 中,AM=100 3 m,∠MAN=60° , MN 3 由 AM=sin 60° 得 MN=100 3× 2 =150 m. 答案 150

考点一 测量高度问题 【例 1】 如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在 西偏北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高度 CD=________m.

解析

在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30° ,∠ACB=75° -30° BC AB BC 600 = ,即sin 30° =sin 45° , sin∠BAC sin∠ACB

=45° ,由正弦定理得

所以 BC=300 2(m).在 Rt△BCD 中,∠CBD=30° , CD=BCtan∠CBD=300 2· tan 30° =100 6(m). 答案 100 6 规律方法 1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的 角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中, 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题, 这时最好画两个 图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 【训练 1】 如图所示,为了估测某塔的高度,在同一水平面的 A, B 两点处进行测量, 在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20° 的方向上, 仰角为 60° ;在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40° 的方向上,仰角 为 30° .若 A,B 两点相距 130 m,求塔的高度 CD. 解 设 CD=h,则 AD= h ,BD= 3h, 3

在△ADB 中,∠ADB=180° -20° -40° =120° , ∴由余弦定理 AB2=BD2+AD2-2BD· AD· cos 120° , h2 h ? 1? ?- ?, 可得 130 =3h + 3 -2· 3h· · 3 ? 2?
2 2

解得 h=10 39,故塔的高度为 10 39(m). 考点二 测量距离问题 【例 2】 如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,要测出 AB 的 距离,测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分 别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由 正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 3 若测得 CD= 2 km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° ,求 A, B 两点间的距离.

解 ∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° ,∠ACD=60° , 3 ∴∠DAC=60° ,∴AC=DC= 2 (km). 在△BCD 中,∠DBC=45° , 3 2 DC 6 由正弦定理,得 BC= · sin∠BDC=sin 45° · sin 30° = 4 (km). sin∠DBC 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 45° 3 3 3 6 2 3 =4+8-2× 2 × 4 × 2 =8. 6 6 ∴AB= 4 (km).∴A,B 两点间的距离为 4 km. 规律方法 1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其

他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 【训练 2】 海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发, 海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45° 的方向,且与 A 相距 10 海里的 C 处,沿北偏东 105° 的方向以每小 时 9 海里的速度行驶,则海轮 “和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ________小时. 解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时,如图,则由已知得△ABC 中,AC=10,AB=21x,BC =9x,∠ACB=120° . 由余弦定理得:(21x)2=100+(9x)2-2× 10× 9 x× cos 120° , 整理,得 36x2-9x-10=0, 2 5 解得 x= 或 x=- (舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间 3 12 2 为3小时. 2 答案 3 考点三 测量角度问题 【例 3】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、

相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援, 则 cos θ 的值为________.

解析 在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° , 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800?BC=20 7. AB BC 由正弦定理,得 = sin∠ACB sin∠BAC AB 21 ?sin∠ACB=BC· sin∠BAC= 7 . 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= 7 . 由 θ=∠ACB+30° ,得 cos θ=cos(∠ACB+30° ) 21 =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 14 . 21 答案 14 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最 重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的结合使 用. 【训练 3】 如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分 别为 20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看 建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( A.30° C.60° ) B.45° D.75°

解析 依题意可得 AD=20 10m,AC=30 5m,

AC2+AD2-CD2 又 CD=50 m,所以在△ACD 中,由余弦定理得 cos∠CAD= = 2AC· AD (30 5)2+(20 10)2-502 2× 30 5× 20 10 = 6 000 2 = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD=45° , 6 000 2

所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案 B

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A, B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 则 A, C 两点之间的距离为( A. 6 km ) C. 3 km D.2 km

B. 2 km

解析 如图,在△ABC 中,由已知可得∠ACB=45° , AC 2 ∴sin 60° =sin 45° , 3 ∴AC=2 2× 2 = 6(km). 答案 A 2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏 东 70° , 在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65° , 那么 B, C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 解析 如图所示,易知, 在 △ABC 中,AB=20,∠CAB=30° ,∠ACB=45° , BC AB 根据正弦定理得sin 30° =sin 45° , 解得 BC=10 2(海里). B.10 3海里 D.20 2海里 )

答案 A 3.(2018· 许昌调研)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离 都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏 东 40° ,则灯塔 A 与 B 的距离为( A.a km C. 2a km ) B. 3a km D.2a km

解析 由题图可知,∠ACB=120° ,由余弦定理, ? 1? ?-2?=3a2, 得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB=a2+a2-2· a· a· ? ? 解得 AB= 3a(km). 答案 B 4.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此 时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

解析 如图,∠ACD=30° ,∠ABD=75° ,AD=60 m, 在 Rt△ACD 中,CD= AD 60 =tan 30° =60 3(m), tan∠ACD AD 60 60 =tan 75° = =60(2- tan∠ABD 2+ 3

在 Rt△ABD 中,BD= 3)(m),

∴BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m). 答案 C 5.如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C

与 D,测得∠BCD=15° ,∠BDC=30° ,CD=30,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔高 AB 等于( )

A.5 6

B.15 3

C.5 2

D.15 6

解析 在△BCD 中,∠CBD=180° -15° -30° =135° . BC 30 由正弦定理得sin 30° =sin 135° ,所以 BC=15 2. 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan ∠ACB=15 2× 3=15 6. 答案 D 二、填空题 6.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮 台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条 船相距________m. 解析 如图,OM=AOtan 45° =30(m), 3 ON=AOtan 30° =3× 30=10 3(m), 在△MON 中,由余弦定理得, MN= 3 900+300-2× 30× 10 3× 2

= 300=10 3(m). 答案 10 3 7.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30° ,60° ,则塔高 为________m. 解析 如图,由已知可得∠BAC=30° ,∠CAD=30° , ∴∠BCA=60° ,∠ACD=30° ,∠ADC=120° . 400 又 AB=200 m,∴AC= 3 3(m).

在△ACD 中,由余弦定理得, AC2=2CD2-2CD2· cos 120° =3CD2, 1 400 AC= 3 (m). 3 400 答案 3 ∴CD= 8.(2018· 潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式, 旗杆正好处在坡度为 15° 的看 台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° , 第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示), 旗杆底部与第一排在 一个水平面上.若国歌时长为 50 s,升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.

解析 依题意可知∠AEC=45° ,∠ACE=180° -60° -15° =105° , ∴∠EAC=180° -45° -105° =30° . CE AC 由正弦定理可知 = , sin∠EAC sin∠CEA CE ∴AC= · sin∠CEA=20 3 m. sin∠EAC 3 ∴在 Rt△ABC 中,AB=AC· sin∠ACB=20 3× 2 =30 m. 30 ∵国歌时长为 50 s,∴升旗速度为50=0.6 m/s. 答案 0.6 三、解答题 9.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛 屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发 沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向 追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解 (1)依题意知,∠BAC=120° ,AB=12,AC=10× 2=20,∠BCA=α.在△ABC

中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC

=122+202-2× 12× 20× cos 120° =784.解得 BC=28. BC 所以渔船甲的速度为 2 =14 海里/时. (2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理, AB BC 得sin α=sin 120° , 即 sin α= ABsin 120° 3 3 = = BC 28 14 . 3 12× 2

10.(2018· 武汉质检)如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α, 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h,求山高 CD.

解 由已知得,∠BCA=90° +β,∠ABC=90° -α,∠BAC=α-β,∠CAD=β. 在△ABC 中,由正弦定理得 即 AC BC = , sin∠ABC sin∠BAC

AC BC = , sin(90° -α) sin(α-β) BCcos α hcos α ∴AC= = . sin(α-β) sin(α-β) hcos αsin β 在 Rt△ACD 中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β= . sin(α-β) hcos αsin β 故山高 CD 为 . sin(α-β) 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2018· 山西康杰中学、 临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平 面内,已知飞机的高度为海拔 15 000 m,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶 的俯角为 15° ,经过 108 s 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海拔高度为 ________m(取 3=1.732).

解析 ∵108 s=0.03 h, ∴AB=1 000× 0.03=30 km. AB BC ABsin 15° ∵∠C=75° -15° =60° ,∴sin 60° =sin 15° ,∴BC= sin 60° . ∴C 到 AB 边的距离为 h=BCsin 75° =20 3sin 15° sin 75° =10 3sin 30° =5 3= 5× 1.732=8.66 km. ∴山顶的海拔高度为(15-8.66)km=6 340 m. 答案 6 340 12.(2017· 呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后 将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则该图所示的 小区的面积是________km2.

解析 如图,连接 AC,由余弦定理可知 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos B= 3,故∠ACB=90° ,∠CAB=30° ,∠DAC= ∠ DCA = 15° , ∠ ADC = 150° , 3· ACsin∠DCA AC AD = ,即 AD = = sin∠ADC sin∠DCA sin∠ADC

6- 2 4 3 2- 6 1 1 ?3 2- 6?2 1 ? ? × = , 故 S 1× 3 + 四边形 ABCD=S△ABC+S△ADC= × 1 2 2 2×? 2 ? 2 2



6- 3 2 4 (km ).

答案

6- 3 4

13.如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向距 A 为( 3-1)海里 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船.此时走私船 正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉 私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注: 6≈2.449). 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则有 CD =10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里, ∠BAC=45° +75° =120° ,根据余弦定理,可得 BC= ( 3-1)2+22-2× 2× ( 3-1)cos 120° = 6(海里). 根据正弦定理,可得 3 2× 2

ACsin 120° sin∠ABC= = BC

2 =2. 6

∴∠ABC=45° ,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 sin∠BCD= BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30° ,∠BDC=30° ,∴BD=BC= 6(海里), 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60° 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.


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