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高考数列等差等比数列综合复习专项(详细解析)


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等差等比数列专项

等差等比数列综合专项 1.如果等差数列的前 7 项之和 S7=315,a1=81,则求 a7 等于

2、在公差为 d 的等差数列{an}中,Sn=-n2+n,则求公差以及通项公式

3、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则求当 n 取多少时 Sn 取得最值以及最值是多少?

4、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=9,S5=35.则求数列{an}的通项公式

5、已知数列的通项 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn 的最值为多少?

6、在等差数列{an}中,a5=2,an-4=30,Sn=240,则 n 的值为多少?

7、设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N+,其中 k 是常数,求 a1 及 an.

8、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=84,S20=460,求 S28.

9、已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

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10、在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,求 a6 的值

11.(2014·北京理)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

2 1 12.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则求{an}的通项公式、 3 3

13、等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则求数列{lg an}的前 8 项和

14、等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则求数列{an}的公比 q 的值

15、(2014·课标全国Ⅱ文)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则求{an}的前 n 项和 Sn

16、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则求 S10 的值。

◆ 以鲜明的教育理念启发人

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◆ 以优良的学风学纪严律人◆

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等差等比数列专项

等差等比数列综合专项 1、如果等差数列的前 7 项之和 S7=315,a1=81,则求 a7 等于 ?a1+a7?×7 由 S7= =315,得 a1+a7=90,又 a1=81,∴a7=9. 2 2、在公差为 d 的等差数列{an}中,Sn=-n2+n,则求公差以及通项公式 由 Sn=-n2+n,{an}为等差数列, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+n+(n-1)2-(n-1)=-(2n-1)+1=-2n+2, ∴d=-2. 3、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则求当 n 取多少时 Sn 取得最值以及最值是多少? 设公差为 d,由 a4+a6=2a5=-6,得 a5=-3=a1+4d,得 d=2, n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2=n2-12n,∴当 n=6 时,Sn 取得最小值. 2 4、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=9,S5=35.则求数列{an}的通项公式 a +3d=9, ? ? ? 1 ?a1=3, 由? 得? ∴an=2n+1. 5×4 ?d=2, ? 5a1+ d=35, ? 2 ? 5、已知数列的通项 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn 的最值为多少? ?-3+2-5n?n -5n2-n Sn= = . 2 2 讨论对称轴

6、在等差数列{an}中,a5=2,an-4=30,Sn=240,则 n 的值为多少? ?a1+an?n 32n ∵a5+an-4=a1+an=30+2=32,又 Sn= = =16n=240, 2 2 ∴n=15. 7、设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N+,其中 k 是常数,求 a1 及 an.(用含 k 为参变量的式子表示) 由 Sn=kn2+n,得 a1=S1=k+1, an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2). 又 a1=k+1 也满足上式. ∴an=2kn-k+1,n∈N+. 8、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=84,S20=460,求 S28. 设此等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn, ∵S12=84,S20=460,
?a·122+b·12=84, ? ∴? 2 ? ?a·20 +b·20=460.

解得 a=2,b=-17,∴Sn=2n2-17n. ∴S28=2×282-17×28=1092.(注此题的解题方法很多,此处只列举一种) 9、已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. a3-a1 -3-1 (1)∵{an}为等差数列,∴其公差 d= = =-2.∴an=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=3-2n. 2 2 ?a1+ak?k ?1+3-2k?k (2)由(1)知 an=3-2n,∴Sk= = =2k-k2.由 2k-k2=-35,得 k2-2k-35=0,得 k=7 或 k= 2 2 -5(舍).∴k 的值为 7.

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10、在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,求 a6 的值 因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消去 a2q2, 得到关于 q 的一元二次方程(q ) -q -2=0,解得 q =2,a6=a2q =1×2 =4.
2 2 2 2 2 4 2

11.(2014·北京理)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前 n 项和. a4-a1 12-3 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= = =3, 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 q = 所以 bn-an=(b1-a1)q
n-1
3

b4-a4 20-12 = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3
n-1

(n=1,2,?). 3 n-1 (2)由(1)知 bn=3n+2 (n=1,2,?).数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1), 2 n 1 - 2 3 n-1 n n 数列{2 }的前 n 项和为 =2 -1.所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2 -1. 1-2 2 =2 2 1 13.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则求{an}的通项公式、 3 3 当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时, 2 2 an=Sn-Sn-1= an- an-1, 3 3 故

n-1

.从而 bn=3n+2

an n-1 =-2,故 an=(-2) . an-1

15、等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则求数列{lg an}的前 8 项和 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+?+lg a8 =lg(a1·a2·?·a8)=lg(a1·a8)
4 4 4

=lg(a4·a5) =lg(2×5) =4. 16、等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则求数列{an}的公比 q 的值 由 2S4=S5+S6, 得 2(1-q )=1-q +1-q ,化简得
4 5 6

q2+q-2=0,解得 q=1(舍去),q=-2.
15、(2014·课标全国Ⅱ文)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则求{an}的前 n 项和 Sn 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a4=a2a8,即(a1+6) =(a1+2)(a1+14), n(n-1) ∴a1=2.∴Sn=2n+ ×2 2 =2n+n -n=n(n+1). 17、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则求 S10 的值。 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16, 又∵a7 是 a3 与 a9 的等比中项, ∴(a1-12) =(a1-4)·(a1-16), 1 解得 a1=20.∴S10=10×20+ ×10×9×(-2)=110. 2
◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第4页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆
2 2 2 2


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