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高三一轮复习三角函数专题及答案解析


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三角函数典型习题
1 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cos A ? sin C 的取值范围.
2 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

(I)试判断△ ABC 的形状; (II)若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
2 3 .已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
4.在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.
5.已知函数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
6.在锐角△ ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b
2

?π π? ? ?

? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ ABC 面积 S 的最大值?
7.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos2 x .

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的最小正周期;

? ?? (Ⅱ )当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,并写出 x 相应的取值. ? 2?
8 . 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A .

B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2

m ? 2 s iB n? ,

?

? , n3 ? ? ? cos 2 B, 2cos ?

B ? ? 1? ,且 m / / n ? 2 ?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?
用心 爱心 专心 -1-

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答案解析 1【解析】:(Ⅰ )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
2【解析】:I. sin

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

II. 16 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab , ? ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取等 号, 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
2 3【解析】:(Ⅰ )由所给条件,方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .

?

?

tan( A ? B) ? ∴

tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3
?

A ? B ? C ? 180 ,∴ (Ⅱ )∵ C ? 180? ? ( A ? B) .
由(Ⅰ )知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

C 为三角形的内角,∴ ∵ sin C ?

2 2
3 , 10

tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ? ∵
由正弦定理得:

AB BC ? sin C sin A
用心 爱心 专心 -2-

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5 3 ? ?3 5. 2 10 2

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BC ? ∴

B 8【解析】:(1) m / / n ? 2sinB(2cos22-1)=- 3cos2B ?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B=3或 6

π ① 当 B=3时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵ △ ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB= 4 ac≤ 3 ∴ △ ABC 的面积最大值为 3 5π ② 当 B= 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ ac≤4(2- 3) 1 1 ∵ △ ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB=4ac≤ 2- 3 ∴ △ ABC 的面积最大值为 2- 3 1 4【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=4

sin 2

1 A?C +cos2B= ? 4 2

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵ b=2, 4 4
8
1 15 S△ABC=2acsinB≤ (a=c 时取等号)

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

3

故 S△ABC 的最大值为

15 3

5【解析】 (Ⅰ )∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?

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-3-

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?π π?
π π 2π

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又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? ≤3 , 3?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ )∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
6【解析】:(I)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

又在锐角△ ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ ABC 中,扣 1 分] (II)因为 a=2,A=60°所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

而 b ? c ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4
2 2

又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

所以△ ABC 面积 S 的最大值等于 3 7【解析】:(Ⅰ )因为 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos 2x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos 2x
? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

( ) =1+ 2 sin(2 x ? ) 4

?

所以, T ?

2? ? ? ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 2

(Ⅱ )因为 0 ? x ?

?
2

,得

?
4

? 2x ?

?
4

?

2 ? 5? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以有 ? 2 4 4

?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ,即 0 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 4 4
所以,函数 f ? x ? 的最大值为 1 ? 2 此时,因为

?

?

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? ? ? ? ,所以, 2 x ? ? ,即 x ? 4 4 2 8

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爱心

专心

-4-


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