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2017年高考数学一轮复习同步导学案——第17讲 利用导数研究函数单调性,极值最值


2016 年高考,我来了系列 第十七节 编写人: 导数在研究函数中的应用 使用日期:9 月 3 日 导学目标: 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件, 会用导数求函数的极大值、 极小值(多 项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值. 【自主梳理】 1.导数和函数单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)>0 的解集与定义 域的交集的对应区间为______区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)<0 的解集与定义 域的交集的对应区间为______区间; (3)若在(a,b)上,f′(x)≥0,且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a, b)上为______函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒 等于零?f(x)在(a,b)上为______函数. 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程________的根; ③检查 f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根 处取得________;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得________. -1- 优秀是一种习惯,如果你真的想好好努力,就靠自己! 探究点一 函数的单调性 【例 1-1】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)能否为 R 上的单调函数,若能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由. 【例 1-2】(2009· 浙江)已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围. 探究点二 函数的极值 4 【例 2-1】若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. -2– 温馨提示:把握时间,巧妙作答 2016 年高考,我来了系列 【例 2-2】设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 1 【例 2-3】(12 分)(2009· 辽宁)已知函数 f(x)= x2-ax+(a-1)ln x,a>1. 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; f?x1?-f?x2? (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有 >-

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