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函数奇偶性练习题(内含答案)


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函数奇偶性 一般地,对于函数 f(x) ( 1 )如果对于函数定义域内の任意一个 x ,都有 f(x)=f(-x) 那么函数 f(x) 就叫做偶函 数。关于 y 轴对称, f ( -x ) =f ( x)。 ( 2 )如果对于函数定义域内の任意一个 x ,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x) 就叫做 奇函数。关于原点对称, -f ( x ) =f ( -x )。 奇偶函数图像の特征 定理 奇函数图像关于原点成中心对称图形, 偶函数の图像关于 y 轴成轴对称图形。 f(x) 为奇函数 <=>f(x) の图像关于原点对称 点( x,y )→( -x,-y ) f(x) 为偶函数 <=>f(x) の图像关于 Y 轴对称 点( x,y )→( -x,y ) 奇函数在某一区间上单调递增,则在它の对称区间上也是单调递增。 偶函数在某一区间上单调递增,则在它の对称区间上单调递减。 性质 1、偶函数没有反函数(偶函数在定义域内非单调函数),奇函数 の反函数仍是奇 函数。 2、偶函数在定义域内关于原点对称の两个区间上单调性相反,奇函数在定义内关 于原点对称の两个区间上单调性相同。 3、奇±奇 = 奇 偶±偶 = 偶 奇 X 奇 = 偶 偶 X 偶 = 偶 奇 X 偶 = 奇(两函数定义域要关于 原点对称) 4、对于 F ( x) =f[g(x)] :若 g(x) 是偶函数,则 F[x] 是偶函数 若 g(x) 奇函数且 f(x) 是奇函数,则 F ( x )是奇函数 若 g(x) 奇函数且 f(x) 是偶函数,则 F ( x )是偶函数 5、奇函数与偶函数の定义域必须关于原点对称

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一、选择题 1.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数
2 2 3 2



C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数 )

2.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ?

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0
2

D.a=3,b=0 )

3.已知 f(x)是定义在 R 上の奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上の表达式是( A.y=x(x-2)
5 3

B.y =x(|x|-1)

C.y =|x|(x-2) )

D.y=x(|x|-2)

4.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 5.函数 f ( x) ? A.偶函数 B.-18 C.-10 ) C.非奇非偶函数 D.10

? x ?1 是( 1? x ? x ?1
2

1? x2

B.奇函数

D.既是奇函数又是偶函数

6.若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 二、填空题 7.函数 f ( x ) ? ) C.最小值-1 D.最大值-3

B.最大值-5

x?2 ?2 1? x2
2

の奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .

8.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)の解析式为_______.

10. 已知函数 f (x) 为偶函数, 且其图象与 x 轴有四个交点, 则方程 f (x) =0 の所有实根之和为________. 三、解答题 11.设定义在[-2,2]上の偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m の取值范围.

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12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0, 试证 f(x)是偶函数.

13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上の表达式.

3

2

14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上の奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判 断 f(x)在(-∞,-5]上の单调性,并用定义给予证明.

15.设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) , 求证 f(x)是偶函数.

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函数の奇偶性练习参考答案
1. 解析:f(x)=ax +bx+c 为偶函数, ? ( x) ? x 为奇函数,
2

∴g(x)=ax +bx +cx=f(x) · ? ( x) 满足奇函数の条件.
3 2

答案:A

2.解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0. 又定义域为[a-1,2a] ,∴a-1=2a,∴ a ?
2

2

1 .故选 A. 3

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x +2x)=-x -2x=x(-x-2) . ∴ f ( x) ? ? 答案:D 4.解析:f(x)+8=x +ax +bx 为奇函数,
5 3 2 2

? x( x ? 2) ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2) ( x ? 0),

f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.

答案:A 答案:B

5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式 f(-x)+f(x)=0.

6.解析: ? ( x) 、g(x)为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数. 又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5, ∴f(x)-2 有最大值 3. 答案:C

∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1. 7.答案:奇函数 8.答案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,
2

∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x) +2m(-x)+3=(m—1)x +2mx+3,整理,得 m=0. 9.解析:由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 可得 f ( x ) ? g ( x ) ? 答案: f ( x) ?

2

2

1 1 1 1 1 1 ? )? 2 , 联立 f ( x) ? g ( x) ? , ∴ f ( x) ? ( . ? x ?1 x ?1 2 x ?1 ? x ?1 x ?1
10.答案:0 11.答案: m ?

1 x
2

?1

1 2

12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) ,又 f(0)≠0,∴可证 f(0)=1.令 x=0, ∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为偶函数. 13.解析:本题主要是培养学生理解概念の能力.

f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1.
3 2 3 2 3 2

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?x 3 ? 因此, f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x 2 ? 1

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

点评:本题主要考查学生对奇函数概念の理解及应用能力. 14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f(x1)>

f(x2) ,即单调减函数.
点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化. 15.解析:由 x1,x2 ? R 且不为 0 の任意性,令 x1=x2=1 代入可证,

f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0.
又令 x1=x2=-1, ∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0, ∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x, ∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量の赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2 =0 等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征の式子即可.

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