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2019高三一轮复习创新设计文科数学第四章 第6节


第6节

正弦定理和余弦定理

最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径, 则 定 理 公 式 常 见 变 形 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos__A; a b c = = sin A sin B sin C=2R (1)a=2Rsin A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C; a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A b2=c2+a2-2cacos__B; c2=a2+b2-2abcos__C b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cos B= 2ac ; a2+b2-c2 cos C= 2ab cos A=

1 1 1 abc 1 2.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的 半径),并可由此计算 R,r. 3.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; A+B A+B C C (3)sin 2 =cos 2 ;(4)cos 2 =sin 2 . 2.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a=bcos C+ccos B; b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 3.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( ) ) )

(3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(

(4)当 b2+c2-a2>0 时,△ABC 为锐角三角形;当 b2+c2-a2=0 时,△ABC 为直角 三角形;当 b2+c2-a2<0 时,△ABC 为钝角三角形.( )

解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时,不可求三边. (4)当 b2+c2-a2>0 时,三角形 ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.(2016· 全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c 2 =2,cos A=3,则 b=( A. 2 B. 3 ) C.2 D.3

1 2 ? ? ?b=-3舍去?,故选 D. 解析 由余弦定理,得 5=b2+22-2× b× 2× ,解得 b = 3 3 ? ? 答案 D 3.(一题多解)(2018· 郑州调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已 π 知 b=2,c=2 2,且 C=4,则△ABC 的面积为( A. 3+1 C.4 解析 法一 B. 3-1 D.2 π 由余弦定理可得(2 2)2=22+a2-2× 2× acos4,即 a2-2 2a-4=0, )

1 1 解得 a= 2+ 6或 a= 2- 6(舍去),△ABC 的面积 S=2absin C=2× 2× ( 2+ π 1 2 6)sin4=2× 2× 2 × ( 6+ 2)= 3+1,选 A. b c bsin C 1 法二 由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2,又 c>b,且 B∈(0,π),所 π 7π 1 1 7π 1 以 B=6,所以 A=12,所以△ABC 的面积 S=2bcsin A=2× 2× 2 2sin12=2× 2× 2 2 × 6+ 2 4 = 3+1,选 A.

答案 A 4.(2017· 全国Ⅲ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60° ,b = 6,c=3,则 A=________. bsin C c = 3 6× 2 3 2 =2,

解析 由正弦定理,得 sin B=

结合 b<c 得 B=45° ,则 A=180° -B-C=75° . 答案 75° 5.( 必修 5P10B2 改编 ) 在 △ABC 中, acos A = bcos B ,则这个三角形的形状为 ________. 解析 由正弦定理, 得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2, 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形

考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2017· 全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=( )

π A.12

π B.6

π C.4

π D.3 )

(2)在△ABC 中,已知 a=2,b= 6,A=45° ,则满足条件的三角形有( A.1 个 B.2 个 C.0 个 D.无法确定

(3)(2018· 梅州质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2-b2 = 3bc,且 sin C=2 3sin B,则角 A 的大小为________. 解析 (1)由题意得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, ∴sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, π? ? 则 sin C(sin A+cos A)= 2sin Csin?A+4?=0, ? ? π? ? 因为 sin C≠0,所以 sin?A+4?=0, ? ? π 3π 又因为 A∈(0,π),所以 A+4=π,所以 A= 4 . a c 由正弦定理sin A=sin C,得 1 π 则 sin C=2,得 C=6. 2 (2)∵bsin A= 6× 2 = 3,∴bsin A<a<b. ∴满足条件的三角形有 2 个. (3)由 sin C=2 3sin B,根据正弦定理得,c=2 3b,代入 a2-b2= 3bc 得,a2- b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 3 b =6b ,即 a =7b ,由余弦定理得:cos A= =2, 2 2bc = 4 3b
2 2 2 2

2 = 3π sin C, sin 4

2

π ∴A=6. 答案 (1)B π (2)B (3)6

规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法 (1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理, 也可用余弦定理. 用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情 况判断解的个数.

【训练 1】 (2017· 河北名校联盟质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 2acos C-c=2b. (1)求角 A 的大小; (2)若 c= 2,角 B 的平分线 BD= 3,求 a. 解 (1)2acos C-c=2b,由正弦定理得 2sin Acos C-sin C=2sin B,2sin Acos C- sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C, 1 ∴-sin C=2cos Asin C,sin C≠0,∴cos A=-2, 2π 又 A∈(0,π),∴A= 3 . AB BD (2)在△ABD 中,由正弦定理得, =sin A, sin∠ADB ABsin A 2 2π ∴sin∠ADB= BD = 2 .又∠ADB∈(0,π),A= 3 , π π π ∴∠ADB=4,∴∠ABC=6,∠ACB=6,AC=AB= 2,由余弦定理,BC2=AB2 2π +AC2-2AB· AC· cos A=( 2)2+( 2)2-2× 2× 2cos 3 =6,∴a= 6. 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 c 【例 2】 (1)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若b<cos A, 则△ABC 为( ) B.直角三角形 D.等边三角形

A.钝角三角形 C.锐角三角形

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 c sin C 解析 (1)由b<cos A,得sin B<cos A, 所以 sin C<sin Bcos A, 即 sin(A+B)<sin Bcos A, 所以 sin Acos B<0, 因为在三角形中 sin A>0,所以 cos B<0, ) B.直角三角形 D.不确定

即 B 为钝角,所以△ABC 为钝角三角形. (2)由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A,即 sin A=sin2A. π ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即 A=2, ∴△ABC 为直角三角形. 答案 (1)A (2)B 规律方法 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的 关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥 梁. 2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏 掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练 2】 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c-acos B =(2a-b)cos A,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ) B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

解析 ∵c-acos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+B), ∴由正弦定理得 sin C-sin Acos B =2sin Acos A-sin Bcos A, ∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B =2sin Acos A-sin Bcos A, ∴cos A(sin B-sin A)=0,∴cos A=0 或 sin B=sin A, π ∴A=2或 B=A 或 B=π-A(舍去), ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 答案 D 考点三 和三角形面积有关的问题 【例 3】 (2017· 全国Ⅲ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求 c;

(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积. 解 (1)由 sin A+ 3cos A=0 及 cos A≠0, 得 tan A=- 3,又 0<A<π, 2π 所以 A= 3 . 2π 由余弦定理,得 28=4+c2-4c· cos 3 . 即 c2+2c-24=0,解得 c=-6(舍去),c=4. π π (2)由题设可得∠CAD= ,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 2 6 1 π AB · AD sin 2 6 故△ABD 与△ACD 面积的比值为 1 =1. AC· AD 2 1 又△ABC 的面积为2× 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3. 规律方法 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A, 一般是已知哪一个角就使用哪 2 2 2 一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练 3】 (2017· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 →· → =-6,S b=3,AB AC △ABC=3,求 A 和 a. →· → =-6,所以 bccos A=-6, 解 因为AB AC 又因为 S△ABC=3,所以 bcsin A=6, 3π 因此 tan A=-1,又 0<A<π,所以 A= 4 . 又因为 b=3,所以 c=2 2. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, ? 2? ?- ?=29, 得 a2=9+8-2× 3× 2 2× 2 ? ? 所以 a= 29.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 π π 1.(2018· 沈阳质检)已知△ABC 中,A=6,B=4,a=1,则 b 等于( A.2 B.1 C. 3 D. 2 )

a b 1 b 解析 由正弦定理sin A=sin B,得 π= π, sin6 sin4 1 b ∴1= , 2 2 2 ∴b= 2,故选 D. 答案 D 2π 2 3 2.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 A= 3 ,a=2,b= 3 , 则 B 等于( π A.3 ) 5π B. 6 π 5π C.6或 6 π D.6

2π 2 3 a b 解析 ∵A= 3 ,a=2,b= 3 ,由sin A=sin B得, 2 3 3 b 3 1 2π π sin B=asin A= 2 × 2 =2.∵A= 3 ,∴B=6. 答案 D 3 3.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( ) 3 A. 2 B. 3 C.2 3 D.2 1 1 3 3 解析 因为 S=2× AB× ACsin A=2× 2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2=AB2 +AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B B a+c 4.(2017· 石家庄检测)在△ABC 中, cos2 2 = 2c (a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边),

则△ABC 的形状为( A.等边三角形 B.直角三角形

)

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 B a+c 解析 因为 cos2 2 = 2c , a+c B a 所以 2cos2 2 -1= c -1,所以 cos B=c , a2+c2-b2 a 所以 2ac =c ,所以 c2=a2+b2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B 5.(2018· 江西百校联盟联考)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积 的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以 看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂, 余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方 得积.”若把以上这段文字写成公式,即 S= 1 2 2 ?c2+a2-b2?2 ? ? ],现有周长 4[c a -? 2 ?

为 2 2+ 5的△ABC 满足 sin A∶sin B∶sin C=( 2-1)∶ 5∶( 2+1), 试用以上 给出的公式求得△ABC 的面积为( 3 A. 4 3 B. 2 ) 5 C. 4 5 D. 2

解析 因为 sin A∶sin B∶sin C=( 2-1)∶ 5∶( 2+1),所以由正弦定理可得 a∶b∶c=( 2-1)∶ 5∶( 2+1),又 a+b+c=2 2+ 5,所以 a= 2-1,b= 5 , c = 2 + 1 , 则 ac = 2 - 1 = 1 , c2 + a2 - b2 = 6 - 5 = 1. 故 S = 1? 2 2 ?c2+a2-b2?2? 1 ? ? ?=2 4?c a -? 2 ? ? ? 答案 A 二、填空题 6.(2017· 烟台模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若角 A,B, 1 3 1-4= 4 .故选 A.

C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC=________. 1 3 解析 因为角 A, B, C 依次成等差数列, 所以 B=60° .由正弦定理, 得sin A=sin 60° , 1 1 解得 sin A=2,因为 0° <A<180° ,所以 A=30° ,此时 C=90° ,所以 S△ABC=2ab 3 =2. 答案 3 2

7.(2018· 合肥质检改编)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2 2 cos C= 3 ,bcos A+acos B=2,则△ABC 的外接圆面积为________. 解析 bcos A+acos B=2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c= 2 2 1 c 2,由 cos C= 3 得 sin C=3,由正弦定理可得 2R=sin C=6,所以△ABC 的外接 圆面积为 πR2=9π. 答案 9π 2π b 8.(2016· 北京卷)在△ABC 中,A= 3 ,a= 3c,则c =________. 解析 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bc· cos A, 2π ? 1? ?-2?,整理得 2c2=b2+bc. 将 A= 3 ,a= 3c 代入,可得( 3c)2=b2+c2-2bc· ? ? b ?b?2 b ∵c≠0,∴等式两边除以 c2,得 2=? c? +c,可解得 c=1. ? ? 答案 1 三、解答题 9.(2017· 安徽江南十校联考)已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,函 数 f(x)=3+2 3sin xcos x+2cos2x,且 f(A)=5. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意可得:f(A)=3+2 3sin Acos A+2cos2A=5, ∴2 3sin Acos A=2(1-cos2A), ∴sin A( 3cos A-sin A)=0,

∵A∈(0,π),∴sin A≠0, π ∴sin A= 3cos A,即 tan A= 3,A=3. π (2)由余弦定理可得:4=b2+c2-2bccos3, 4=b2+c2-bc≥bc(当且仅当 b=c=2 时“=”成立), 1 3 3 ∴S△ABC=2bcsin A= 4 bc≤ 4 × 4= 3, 故△ABC 面积的最大值是 3. π 10.(2018· 云南 11 校跨区调研)如图, 在四边形 ABCD 中, ∠DAB= , AD∶AB=2∶ 3 3,BD= 7,AB⊥BC.

(1)求 sin∠ABD 的值; 2π (2)若∠BCD= 3 ,求 CD 的长. 解 (1)∵AD∶AB=2∶3,∴可设 AD=2k,AB=3k. π 又 BD= 7,∠DAB=3,∴由余弦定理, π 得( 7)2=(3k)2+(2k)2-2× 3k× 2kcos3, 解得 k=1,∴AD=2,AB=3, ADsin∠DAB sin∠ABD= = BD 3 2× 2 21 = 7 . 7

21 (2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD= 7 , 2 7 BD CD ∴sin∠DBC= 7 ,∴ = , sin∠BCD sin∠DBC 2 7 7× 7 3 2

∴CD=

4 3 = 3 .

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 2π 11.(2017· 长沙模拟)在△ABC 中,C= 3 ,AB=3,则△ABC 的周长为( π? ? A.6sin?A+3?+3 ? ? π? ? C.2 3sin?A+3?+3 ? ? )

π? ? B.6sin?A+6?+3 ? ? π? ? D.2 3sin?A+6?+3 ? ? 3 解析 设△ABC 的外接圆半径为 R,则 2R= 2π=2 3,于是 BC=2Rsin A= sin 3 ?π ? 2 3sin A,AC=2Rsin B=2 3sin?3-A?,于是△ABC 的周长为 ? ? π? ? ?π ?? ? 2 3?sin A+sin?3-A??+3=2 3sin?A+3?+3. ? ? ?? ? ? 答案 C 12.(2018· 广东省际名校联考)在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边, 若(a+b-c)(a+b+c)=ab,c= 3,当 ab 取得最大值时,S△ABC=________. 解析 因为(a+b-c)(a+b+c)=ab, 1 3 所以 cos C=- ,所以 sin C= , 2 2 由余弦定理得( 3)2=a2+b2+ab≥3ab,即 ab≤1,当且仅当 a=b=1 时等号成立. 3 所以 S△ABC= 4 . 3 答案 4 13.(2018· 西安质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S, C A 5 已知 2acos2 2 +2ccos2 2 =2b. (1)求证:2(a+c)=3b; 1 (2)若 cos B=4,S= 15,求 b. 5 (1)证明 由已知得,a(1+cos C)+c(1+cos A)=2b. 3 在△ABC 中,过 B 作 BD⊥AC,垂足为 D,则 acos C+ccos A=b.∴a+c=2b,即 2(a+c)=3b.

1 15 ∵cos B=4,∴sin B= 4 . 1 15 ∵S=2acsin B= 8 ac= 15,∴ac=8. (2)解 又 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B), 2(a+c)=3b, 1? 9b2 ? ?1+4?,∴b=4. ∴b2= 4 -16× ? ?


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