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高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业新人教版选修

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1.3.3
明目标、知重点

函数的最大(小)值与导数

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.

1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取 得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 3.在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值;若函数 f(x)在开区间 I 上只有一 个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值. 4.极值与最值的意义: (1)最值是在区间[a,b]上的函数值相比较最大(小)的值; (2)极值是在区间[a,b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值.

[情境导学] 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质,但是我们 往往更关心函数在某个区间上哪个值最大,哪个值最小?函数的极值与最值有怎样的关系? 这就是本节我们要研究的问题. 探究点一 求函数的最值 思考 1 如图,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?

答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数 y=f(x)的极小值;

f(x2),f(x4),f(x6)是函数 y=f(x)的极大值.
思考 2 观察思考 1 的函数 y=f(x), 你能找出函数 f(x)在区间[a, b]上的最大值、 最小值吗?

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若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论? 答 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 f(a),最小值是 f(x3).若区间改为(a,b),则

f(x)有最小值 f(x3),无最大值.
小结 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有 最大值和最小值,且最值必在端点处或极值点处取得. 思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点

附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得, 最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最 值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值. 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤: 1.求导,确定函数在闭区间上的极值点. 2.求出函数的各个极值和端点处的函数值. 3.比较大小,确定结论. 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x -12x,x∈[-2,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π ]. 2 解 (1)f(x)=2x -12x, ∴f′(x)=6x -12=6(x+ 2)(x- 2), 令 f′(x)=0,解得 x=- 2或 x= 2. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
2 3 3

x f′(x) f(x)

(-∞,- 2) + 单调递增

- 2 0 极大值

(- 2, 2) - 单调递减

2 0 极小值

( 2,+∞) + 单调递增

所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞),单调递减区间为(- 2, 2). 因为 f(-2)=8,f(3)=18,f( 2)=-8 2,

f(- 2)=8 2;
所以当 x= 2时,f(x)取得最小值-8 2; 当 x=3 时,f(x)取得最大值 18. 1 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0,又 x∈[0,2π ], 2 2 4 解得 x= π 或 x= π . 3 3

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2 π 3 计算得 f(0)=0,f(2π )=π ,f( π )= + , 3 3 2

f( π )= π -

4 3

2 3

3 . 2

∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0; 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π )=π . 反思与感悟 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化 的方法求得. ①求出导数为零的点. ②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得. 跟踪训练 1 求下列函数的最值: 1 3 (1)f(x)= x -4x+4,x∈[0,3]; 3 (2)f(x)=e (3-x ),x∈[2,5]. 1 3 解 (1)∵f(x)= x -4x+4, 3 ∴f′(x)=x -4. 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 4 ∵f(2)=- ,f(0)=4,f(3)=1, 3 4 ∴函数 f(x)在[0,3]上的最大值为 4,最小值为- . 3 (2)∵f(x)=3e -e x , ∴f′(x)=3e -(e x +2e x)=-e (x +2x-3) =-e (x+3)(x-1), ∵在区间[2,5]上,f′(x)=-e (x+3)(x-1)<0, 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e ;
2 2

x

2

x

x 2

x

x 2

x

x

2

x

x

x=5 时,函数 f(x)取得最小值 f(5)=-22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)=x (x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. 解 (1)f′(x)=3x -2ax. 因为 f′(1)=3-2a=3,
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2 2

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所以 a=0.又当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. 2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= . 3 2a 当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增, 3 从而 f(x)max=f(2)=8-4a. 2a 当 ≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减, 3 从而 f(x)max=f(0)=0. 2a 当 0< <2,即 0<a<3 时, 3

? 2a? ?2a ? f(x)在?0, ?上单调递减,在? ,2?上单调递增, 3 3 ? ? ? ?
?8-4a, 0<a≤2, ? 从而 f(x)max=? ? ?0, 2<a<3, ? a≤2, ?8-4a, 综上所述,f(x)max=? ?0, a>2. ?

反思与感悟

由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值

的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解. 跟踪训练 2 在本例中,区间[0,2]改为[-1,0]结果如何? 2 解 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= a, 3 2 ①当 a≥0,即 a≥0 时,f(x)在[-1,0]上单调递增,从而 f(x)max=f(0)=0; 3 2 3 ②当 a≤-1,即 a≤- 时,f(x)在[-1,0]上单调递减, 3 2 从而 f(x)max=f(-1)=-1-a; 2 3 ③当-1< a<0,即- <a<0 时, 3 2

? ? f(x)在?-1, a?上单调递增; ?
2 3 ?

?2 ? 在? a,0?上单调递减, 3 ? ?
4 3 ?2 ? 则 f(x)max=f? a?=- a . 27 ?3 ?

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综上所述:f(x)max

-1-a,a≤- , 2 ? ? 3 =? 4 - a ,- <a<0, 27 2 ? ?0,a≥0. 3
3

探究点三 函数最值的应用 思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系? 答 解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题. 如 f(x)>0 恒成立,只要 f(x)的最小值大于 0 即可. 如 f(x)<0 恒成立,只要 f(x)的最大值小于 0 即可. 以上两种情况特别要小心临界值的取舍,对含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先 分离参数. 例 3 设函数 f(x)=2x -9x +12x+8c, (1)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对任意的 x∈(0,3),都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 解 (1)∵f′(x)=6x -18x+12=6(x-1)(x-2). ∴当 x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f′(x)>0. ∴当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=5+8c. 又 f(3)=9+8c>f(1), ∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. ∵对任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c 恒成立, ∴9+8c<c ,即 c<-1 或 c>9. ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). (2)由(1)知 f(x)<f(3)=9+8c, ∴9+8c≤c 即 c≤-1 或 c≥9, ∴c 的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞). 反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒 成立问题,直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定 参数的范围能否取得“=”. 跟踪训练 3 设函数 f(x)=tx +2t x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2

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解 (1)∵f(x)=t(x+t) -t +t-1 (x∈R,t>0), ∴当 x=-t 时,f(x)取最小值 f(-t)=-t +t-1, 即 h(t)=-t +t-1. (2)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t +3t-1-m, 由 g′(t)=-3t +3=0 得 t=1,t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时 g′(t)、g(t)的变化情况如下表:
2 3 3 3

2

3

t g′(t) g(t)

(0,1) + 单调递增

1 0 1-m

(1,2) - 单调递减

∴对 t∈(0,2),当 t=1 时,g(t)max=1-m, ∵h(t)<-2t-m 对 t∈(0,2)恒成立, 也就是 g(t)<0,对 t∈(0,2)恒成立, ∴只需 g(t)max=1-m<0,∴m>1. 故实数 m 的取值范围是(1,+∞)

1.函数 y=f(x)在[a,b]上( A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 答案 D

)

解析 由函数的最值与极值的概念可知,y=f(x)在[a,b]上的最大值一定大于极小值. 2.函数 f(x)=x -3x(|x|<1)( A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 答案 D 解析 f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1),当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-1,1) 上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选 D.
2 3

)

?π ? 3.函数 y=x-sin x,x∈? ,π ?的最大值是( ?2 ?

)

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π A.π -1 B. -1 2 答案 C

C.π

D.π +1

?π ? ?π ? 解析 因为 y′=1-cos x,当 x∈? ,π ?时,y′>0,则函数在区间? ,π ?上为增函数, 2 ? ? ?2 ?
所以 y 的最大值为 ymax=π -sin π =π ,故选 C. 4.函数 f(x)=x -3x -9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小值为________. 答案 -71 解析 f′(x)=3x -6x-9=3(x-3)(x+1). 由 f′(x)=0 得 x=3 或 x=-1. 又 f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
2 3 2

f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由 f(x)max=k+5=10,得 k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. [呈重点、现规律] 1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;函数在一个开区间内只 有一个极值,这个极值就是最值. 2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

一、基础过关 1.函数 f(x)=-x +4x+7,在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( A.f(2),f(3) C.f(2),f(5) 答案 B 解析 ∵f′(x)=-2x+4, ∴当 x∈[3,5]时,f′(x)<0, 故 f(x)在[3,5]上单调递减, 故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3),f(5). 2.函数 y=xe ,x∈[0,4]的最大值是( 1 A.0 B. e 答案 B
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-x 2

)

B.f(3),f(5) D.f(5),f(3)

)

4 C. 4 e

2 D. 2 e

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解析 y′=e -x·e =e (1-x), 令 y′=0,∴x=1, 4 1 -1 ∴f(0)=0,f(4)= 4,f(1)=e = ,∴f(1)为最大值,故选 B. e e ln x 3.函数 y= 的最大值为(

-x

-x

-x

x

)

A.e

-1

B.e

C.e

2

10 D. 3

答案 A ?ln x?′x-ln x·x′ 1-ln x 解析 令 y′= = =0. 2 2

x

x

解得 x=e.当 x>e 时,y′<0;当 x<e 时,y′>0.

y 极大值=f(e)= ,在定义域内只有一个极值,
1 所以 ymax= . e 4.函数 y= 4x 在定义域内( x +1
2

1 e

)

A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,最小值-2 D.无最值 答案 C 4?x +1?-4x·2x -4x +4 解析 令 y′= = 2 2 2 2 =0, ?x +1? ?x +1?
2 2

得 x=±1.

x y′ y

(-∞,-1) - 单调递减

-1 0 极小值

(-1,1) + 单调递增

1 0 极大值

(1,+∞) - 单调递减

由上表可知 x=-1 时,y 取极小值也是最小值-2;x=1 时,y 取极大值也是最大值 2. 15 2 5.已知函数 y=-x -2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( 4 3 A.- 2 1 C.- 2 答案 C
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)

B.

1 2

1 3 D. 或- 2 2

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解析 当 a≤-1 时, 最大值为 4, 不符合题意, 当-1<a<2 时, f(x)在[a,2]上是减函数,f(a) 15 1 3 2 最大,-a -2a+3= ,解得 a=- 或 a=- (舍去). 4 2 2

? π? 6.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是______. 2? ?
答案 π + 3 6

π π π π π 解析 y′=1-2sin x=0,x= ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax=y=|x= = + 3. 6 6 2 6 6 7.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取 值范围是________. 答案 [-4,-2] 解析 f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0,得 x= . 2 由题设得 ∈[-2,-1],故 m∈[-4,-2]. 2 二、能力提升 8.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时
2 2

m

m

t 的值为(
1 A.1 B. 2 答案 D

) C. 5 2 D. 2 2

解析 由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|=y=t -ln t(t>0).

2

y′=2t- = t
2?t+ = 当 0<t< 当 t>

1 2t -1

2

t

2 2 ??t- ? 2 2 .

t

2 时,y′<0,可知 y 在此区间内单调递减; 2

2 时,y′>0,可知 y 在此区间内单调递增. 2
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故当 t=

2 时,|MN|有最小值. 2
x

9.已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,2ln 2-2] 解析 函数 f(x)=e -2x+a 有零点,即方程 e -2x+a=0 有实根,即函数 g(x)=2x-e ,y =a 有交点,而 g′(x)=2-e ,易知函数 g(x)=2x-e 在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2, +∞)上单调递减,因而 g(x)=2x-e 的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数 g(x)=2x -e ,y=a 有交点,只需 a≤2ln 2-2 即可. 10.已知函数 f(x)=2x -6x +a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值及 f(x)在[-2,2]上的 最大值. 解 f′(x)=6x -12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 3 2

x

x

x

x

x

x

x

x f′(x) f(x)

-2

(-2,0) +

0 0 极大值 a

(0,2) - 单调递减

2 0 -8+a

-40+a

单调递增

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)的最大值为 3. 11.已知函数 f(x)=x -ax +bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求 c 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x -2ax+b, ∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值, ∴-1,3 是方程 3x -2ax+b=0 的两根. 2 -1+3= a ? ? 3 ∴? b -1×3= ? ? 3
3 2 2 3 2

,∴?

?a=3 ? ? ?b=-9

.

(2)由(1)知 f(x)=x -3x -9x+c,

2

f′(x)=3x2-6x-9.
当 x 变化时,f′(x),f(x)随 x 的变化如下表:

x f′(x)

(-∞, - 1) +

-1 0

(- 1,3) -

3 0

(3,+∞) +

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f(x)

单调递增

单调 极大值 c+5 递减

极小值 c -27

单调递增

而 f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当 x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为 c+54, 要使 f(x)<2|c|恒成立,只要 c+54<2|c|即可, 当 c≥0 时,c+54<2c,∴c>54; 当 c<0 时,c+54<-2c,∴c<-18. ∴参数 c 的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞). 12.已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解 (1)∵f′(x)=-3x +6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,
2 3 2

f(2)=-8+12+18+a=22+a,
∴f(2)>f(-2). 于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x +3x +9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7. 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点
2 3 2

x

P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.
(1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 解 (1)因为曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2), 所以 b=d=2; 因为 f′(x)=2x+a,故 f′(0)=a=4;g′(x)=e (cx+d+c),
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x

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故 g′(0)=2+c=4,故 c=2. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)令 F(x)=kg(x)-f(x)=ke (2x+2)-x -4x-2, 则 F′(x)=(ke -1)(2x+4), 由题设可得 F(0)≥0,故 k≥1, 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2, ①若 1≤k<e ,则-2<x1≤0, 从而当 x∈[-2,x1)时,F′(x)<0, 当 x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0, 即 F(x) 在 [ - 2 ,+∞)上最小值为 F(x1) = 2x1 + 2 - x 1 - 4x1 - 2 =- x1(x1 +2)≥0,此时
2 2

x

2

x

f(x)≤kg(x)恒成立;
②若 k=e ,F′(x)=(e
2

x+2

-1)(2x+4)≥0 在[-2,+∞)上恒成立,

故 F(x)在[-2,+∞)上单调递增, 因为 F(x)min=F(-2)=0,所以 f(x)≤kg(x)恒成立; ③若 k>e ,则 F(x)min=F(-2)=-2ke +2=-2e (k-e )<0, 从而当 x∈[-2,+∞)时,
2 -2 -2 2

f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
综上所述 k 的取值范围为[1,e ].
2

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