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圆锥曲线中的最值和范围问题探究


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 圆锥曲线中的最值和范围问题探究 作者:刘洋 来源:《数理化学习· 高一二版》2013 年第 09 期 圆锥曲线中的最值与取值范围问题是教学的重点也是教学的难点,又是高考的重点,还是 学生的失分点.搞好其教学也是教师的教学难点.根据多年的高中教学经验,笔者认为:首先激 起学生的学习渴望,优化课堂结构,改进教学方法,师生互动探讨知识的演绎过程及解题的发 生发展过程,是提高学生解题能力的重要方法. 一、主要知识及主要方法 1.与圆锥曲线有关的最值问题,大都是综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三 角、几何等多方面的知识,现把这类问题的求解策略与方法介绍如下 (1)平面几何法 平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解. (2)目标函数法 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立 目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值. (3)判别式法 (4)圆锥曲线定义的应用 ① 运用圆锥曲线的定义解题常用于:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求 过焦点的弦长、焦半径. ② 要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验,以便提高灵活应用定义解题的 能力. a.在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲 线的定义,写出所求的轨迹方程;若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定的轨迹,则利用圆锥曲 线的定义列出等式,化简. b.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常用第一定义结合正弦定理或 余弦定理来解决问题;涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用第二定义解 决问题. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn c.研究有关点之间的距离的最值问题时,常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为 另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离,再从 几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题. 2.与圆锥曲线有关的范围问题的讨论常用以下方法解决 (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系. (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适 合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围. (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表 示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. (4)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构 思. (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共 同特点是均含有三角式.因此,它们的应用价值在于: ①通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; 二、典例分析 点睛(1)与圆有关的最值问题往往与圆心有关;(2)函数法是我们探求解析几何最值问 题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范 围的考察不能被忽视. 三、总结 在适应新教材、提倡自主探究式教学的大环境下,教师的教应起到引领作用,让学生清楚 怎样学习、怎样解题.从认真分析题意入手,分析命题的条件和结论以及相关概念、公式等, 分析结构特征、几何特征、知识的交汇特征;分析各种切入点的优劣;重视总结解题的一般方 法及针对本题的特殊方法、技巧(转换、放缩、三角代换等),学会迁移;分析命题的外延. 改变题设条件

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