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2012高考数学函数奇偶性经典练习题(含答案)1


函数奇偶性专练
一、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) ·
1? x 1? x

; (3)f(x)=

1? x

2

| x ? 2 | ?2



(4)f(x)= ?

? x (1 ? x ) ? x (1 ? x )
2

( x ? 0 ), ( x ? 0 ).

(5) f ( x ) ?

x ? 1 1 ? x (6) f ( x ) ?
2 2

x ?1 ?

1? x

(8) f ( x ) ?

1? x ? x ?1 1? x ? x ?1
2
?x

(9) y ? lo g a ( x ? 1 ? x )
2

(10) y ? a ? a
x

?x

(11) y ? a ? a
x

(12) y ?

a ?a
x

?x ?x

a ?a
x

(13) y ?

a ?1
x

a ?1
x

(17)f(x)=x(
2

1
x

?1



1 2



(14) y ? lo g a 二、选择题

1? x 1? x

2 (15) y ? lo g a ( x ? 1 ? x ) (16) f ( x ) ?

x?2 ?2 1? x
2

(1) .已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数
2

2

3

2



C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数 )

(2) .已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ?
1 3

,b=0

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0
2

D.a=3,b=0

(3) .已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上的表达 式是( ) D.y=x(|x|-2) )

A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2)
5 3

(4) .已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10
?

(5) .设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x ) ? ? x ? x ,则 f (?) ? ( A. ? ? B. ? ? C.1 D.3



( 6 ) 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 ? ? ? ,1 ? ? ?1, ?? ? , 且 f ( x ? 1) 为 奇 函 数 , 当 x ? 1 时 , .
f ( x ) ? 2 x ? 12 x ? 16 , 则直线 y ? 2 与函数 f ( x ) 图象的所有交点的横坐标之和是 (
2

) 1 A.

B.2

C.4

D.5

(7).下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对 称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 (8).若偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且α ≠β , 则下列不等式中正确的是 A.f(cosα )>f(cosβ ) B.f(sinα )>f(cosβ ) C.f(sinα )>f(sinβ ) D.f(cosα )>f(sinβ ) (9) 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) (10)已知二次函数 f(x)=x2-ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 ( )

a (11)若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是 x

A.?a∈R,f(x) 在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 (12).已知函数 f (x)= ax4+bcosx-x,且 f (-3)=7,则 f (3)的值为( A.1 B.-7 C.4 D.-10 ) A. )

(13) .已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)= f(x), x∈(0,2)时, 当 f(x)=2x2, f(7)=( 则 -2 B.2 C.-98 D.98 )

1 (14).设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= ( 2 A.0 B.1 5 C. 2 D.5

(15).若 ? ( x ) ,g(x)都是奇函数, f ( x ) ? a ? ? bg ( x ) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 ) C.最小值-1 D.最大值-3 )

B.最大值-5

(16)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)·(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( f A.13 B.2 13 C. 2 D. 2 13

(17)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2010,则 下列说法正确的是( ) B.f(x)+1 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数

(18)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函数
2

f(x)在(1,2)上(

) B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0

A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0

(19).已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ? 4 ) , 当 x ? 2 时,
f ( x ) 单调递增,若 x 1 ? x 2 ? 4 且 ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? 0 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 的值



)A.恒

大于 0

B.恒小于 0

C.可能等于 0

D.可正可负

(20)已知函数 y ? f ( x ) , x ? R ,有下列 4 个命题: ①若 f (1 ? 2 x ) ? f (1 ? 2 x ) ,则 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ② f ( x ? 2 ) 与 f ( 2 ? x ) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③若 f ( x ) 为偶函数,且 f ( 2 ? x ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ④若 f ( x ) 为奇函数,且 f ( x ) ? f ( ? x ? 2 ) ,则 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 其中正确命题的个数为 ( A. 1 个 B. 2 个 ). C. 3 个 D. 4 个

(21)设 f ( x ) 是 ( ?? , ?? ) 上的奇函数, f ( 2 ? x ) ? ? f ( x ), 当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x , f ( 7 . 5 ) 等 则 于( ) (A)0.5; (B)-0.5; 2-x (24)函数 y=log2 的图象( ) 2+x (C)1.5; (D)-1.5.

A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

三、填空题
(1).已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg 的表达式是__________. (3).若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________. (4). 已知 f x) ( 是偶函数,(x) g 是奇函数, f ( x ) ? g ( x ) ? 若
x 1
2

1 1? x

,那么当 x∈(-1,0)时,f(x)

?1

, f x) 则 ( 的解析式为_______.

(5)已知函数 f(x)定义域为 R,则下列命题:①y=f(x)为偶函数,则 y=f(x+2)的图像关于 y 轴对称; ②y=f(x+2)为偶函数,则 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称;③若函数 f(2x+1)是偶函数,则 f(2x)的图 像关于直线 x=1/2 对称; ④若 f(x-2)=f(2-x),则 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称; ⑤y=f(x-2)和 y=f(2-x)

的图像关于 x=2 对称。其中正确的命题序号为_______. (6).定义在 ? ? ? , ?? ? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1 ? ? ? f ? x ? ,且在 ?? 1, 0 ? 上是增函数,下面是 关于 f(x)的判断: ① f ? x ? 关于点 P(
1 2 ,0 )对称

② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ? 2 ? ? f ?0 ? .

③ f ? x ? 在[0,1]上是增函数;

其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上) (7).已知 f(x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图像对称轴是_______. (8)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+3/2)= -f(x),且函数 y=f(x-3/4)为奇函数,给出以 下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数;②函数 f(x)的图像关于点(-3/4,0)对称;③函数 f(x)为 R 上的偶函数;④ 函数 f(x)为 R 上的单调函数。 其中真命题的序号是_______. (9)关于 y=f(x),给出下列五个命题: ①若 f(-1+x)=f(1+x),则 y=f(x)是周期函数;②若 f(1-x)= -f(1+x),则 y=f(x)为奇函数; ③若函数 y=f(x-1)的图像关于 x=1 对称,则 y=f(x)为偶函数;④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x) 的图像关于直线 x=1 对称;⑤若 f(1-x)=f(1+x),则 y=f(x)的图像关于点(1,0)对称; 其中真命题的序号是_______. x -x (10)设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. (11).已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. (13) 设函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,已知 x ? [ ? 2 , 2 ] 时,函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 1 ,则 x ? [ ? 6 , ? 2 ] 时, f ( x ) ? .

?sinπx ?x<0? ? 11 11 (15) )已知 f(x)=? ,则 f?- 6 ?+f? 6 ?的值为________. ? ? ? ? ? ?f?x-1?-1 ?x>0?

四.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上的表达式. -2x+b 五..已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

答案
若 f ( x ? a ) ? ? f ( x ? b ) ,则 f ( x ) 具有周期性;若 f ( a ? x ) ? ? f ( b ? x ) ,则 f ( x ) 具有对称 性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。 1、解: (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞) ,对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ,

∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由
1? x 1? x

≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以 f(x)

既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断. 由?
?1 ? x 2 ? 0 , ?| x ? 2 | ? 2 ? 0 ,

得?

? ? 1 ? x ? 1, ? x ? 0且 x ? ? 4 .

故f 的定义域为 (x) [-1, ∪ 1]关于原点对称, 0)(0, , 且有x+2>0.从而有f = (x)

1? x

2

x ? 2? 2

=

1? x x

2



这时有 f(-x)=

1 ? (? x) ? x

2

=-

1? x x

2

=-f(x) ,故 f(x)为奇函数.

(4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数.(5) (6)既奇且偶 (17)偶 评述: (1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 2、选择题 (1) A(2) . .解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0. 又定义域为[a-1,2a] a-1=2a,∴ a ? ,∴
2 2

1 3

.故选 A.

(3) .解析:由 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x +2x)=-x -2x=x(-x-2) . ∴ f (x) ? ?
? x(x
2 2

?

2)

(x (x
3

? x(? x

?

2)
5

? ?

0 ), 0 ),

即 f(x)=x(|x|-2)答案:D

(4)解析:f(x)+8=x +ax +bx 为奇函数, f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2) =-26. 答案:A(5)A (6)D (7)A (8)B 解析:∵偶函数 f(x)在区间[-1,0]上

是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增函数.由α 、β 是锐角三角形的两个内角,∴α +β >90°, α >90°-β .1>sinα >cosβ >0.∴f(sinα )>f(cosβ ). (9)剖析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数,∴f(x)在[0,2]上单调递增.又 f(-1)=f(1) ,故应选 A. 4 (10)D (11)C (12)A 解析:设 g(x)=ax +bcosx,则 g(x)=g(-x).由 f (-3)=g(-3)+3,得 g(- 3)=f(-3)-3=4,所以 g(3)=g(-3)=4,所以 f (3)=g(3)-3=4-3=1.

(13)A 解析:由 f(x+4)=f(x),得 f(7)=f(3)=f(-1),又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-

f(1),f(1)=2×12=2,∴f(7)=-2.故选 A. (14) C 解析:由 f(1)= ,对 f(x+2)=f(x)+f(2),
令 x=-1, f(1)=f(-1)+f(2).又∵f(x) 为奇函数, f(-1)=-f(1).于是 f(2)=2f(1)=1; 得 ∴ 3 5 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)= ,于是 f(5)=f(3)+f(2)= . (15) C 6.解析: ? ( x ) 、g(x) 2 2 为奇函数,∴ f ( x ) ? 2 ? a ? ( x ) ? bg ( x ) 为奇函数.又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5, ∴f (x)-2 有最大值 3. ∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上 有最小值-1. 答案:C (16)C 解析:由 f(x)·(x+2)=13,知 f(x+2)·(x+4)=13,所以 f f 13

1 2

f(x+4)=f(x), f(x)是周期函数, 即 周期为 4.所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)=

f(1)



13 . (17) 2

D 解析:依题意,取 α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=-x,得 f(0)-f(x)-f(-x)=2010,

f(-x)+2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010],因此函数 f(x)+2010 是奇函数,选 D. (18)
解析:由题意得当 x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2-x)]
2

=log1(x-1)>0,则可知当 x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选 D. (19) B (20)C (21) B(22)C (23)
2

1 1 C[解析] 由条件知,f(2)=-3,f(3)=- ,f(4)= ,f(5)=f(1)=2,故 f(x+4)=f(x) (x∈N*).∴f(x) 2 3 1+f?x+1? 1 1 的周期为 4,故 f(2011)=f(3)=- .[点评] 严格推证如下:f(x+2)= =- ,∴f(x+4) 2 1-f?x+1? f?x? =f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. (24)A 3、填空题 (1)解析:当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(-x)=-lg
2

1 1? x

=lg(1-x).答

案:lg(1-x)(2) 3 (3) 0 解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数, ∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理,得 m = 0 . (4)解 析 : 由 f ( x ) 是 偶 函 数 , g ( x ) 是 奇 函 数 , 可 得 f ( x ) ? g ( x ) ?
f (x) 1

?
x
2

x 1

?1

,联立 (5) ②

?

g (x)

?
x

1

?1

,∴ f ( x ) ?

1

(

1

2 x

?1

?

1

?

x

?1

)

?
x

1
2

?1
-x

.答案: f ( x ) ?

?1

③⑤ (6) (1)(2)(4) (7)x=1/2 (8)①②③ (9)①③ (10) 设 g(x)=x,h(x)=e +ae ,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则 由题意知,函数 h(x)=e +ae 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1. (11)-2 (12) :①③ (13) f ( x ) ? ? ( x ? 4 ) ? 1 (14) ①②④
2
x
-x

x

f?x1?-f?x2? [解析] ∵x1≠x2 时,都有 >0,∴f(x)在[0,3]上递增.∵f(x+6)=f(x)+f(3),令 x=-3 x1-x2 得 f(3)=f(-3)+f(3),∴f(-3)=0,∵f(x)为偶函数,∴f(3)=0.①对. ∴f(x+6)=f(x).∴f(x)周期为 6,画出示意图如下:

由图象知:②④正确,③不正确,故填①②④. (15)-2 (16) 1.5
?f?x+1?+f?x?=3 ? [解析] 由条件知,f(-x+1)+f(-x)=3,∴f(x-1)+f(x)=3,∵? ,∴f(x-1) ? ?f?x-1?+f?x?=3

=f(x+1),即 f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)的周期为 2.又∵f(x)是偶函数, ∴f(-2005.5)=f(-2006+0.5)=f(0.5)=2-0.5=1.5. 4、f(x)=x +2x -1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0. 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1.
?x3 ? ?0 ? 3 ?x
3 2 3 2 3 2 3 2

? ?

2x

2

?1 ?1

(x (x

因此, f ( x ) ?

2x

2

(x

? ? ?

0 ), 0 ), 0 ).

点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力. 5 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 即 -1+b -2x+1 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a

1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1),知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a 故 a=2,b=1. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等 价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k,

即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 6(1)解:令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)×(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ (3x+1) (2x-6) ]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组
? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 0 , ? ? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 64 ? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 0 , ? ? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 64 ,

或?

1 ? ? x ? 3或 x ? ? , ? 3 或? ?? 7 ? x ? 5 ? 3 ?

? 1 ? ? ? x ? 3, 或? 3 ?x ? R . ?

∴3<x≤5 或-

7 3

≤x<-
7 3

1 3

或-

1 3 1 3

<x<3. 或-
1 3

∴x 的取值范围为{x|-

≤x<-

<x<3 或 3<x≤5}.

评述:解答本题易出现如下思维障碍: (1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性. (2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同, 偶函数的单调性相反. 7. [解析] (1)当 a=4 时,f(x)=x|x-4|+2x-3. 若 2≤x<4,则 f(x)=-x2+6x-3=-(x-3)2+6, ∴当 x=3 时,f(x)有最大值是 f(3)=6. 若 4≤x≤5,则 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴当 x=5 时,f(x)有最大值 f(5)=12. 故当 x∈[2,5)时,f(x)的最大值是 12.
? 2 ?x -?a-2?x-3 (2)由于 f(x)=? 2 ?-x +?a+2?x-3 ?

x≥a x<a

?a-2≤a 2 依题意,f(x)是 R 上的增函数?? a+2 ? 2 ≥a

?-2≤a≤2,∴实数 a 的取值范围是-2≤a≤2.


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