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深圳市布吉高级中学2014届高三第一次月考(文数)


深圳市布吉高级中学 2014 届高三第一次月考 数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,3,4},B={2,3},则图中阴影部分表示的集合为 ( )

A.{2}

B.{3}

C.{1,4}

D.{1,2,3,4}

答案:B 2.已知 i 是虚数单位,则复数 1﹣2i 的虚部为( ) A.2 B.1 C.﹣1 答案:D 3.已知曲线 y= x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A.4 答案:C 4.函数 A.(﹣1,+∞) 答案:C 5.已知 A. B. 的定义域是( ) B.3 C.2
2

D.﹣2 ) D.

B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) [﹣1,1)∪(1,+∞) D. ,那么 sinα=( ) C. D.

答案:B 6.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出 s 的值是(



1

A.10 答案:C

B.15

C.20

D.30

7. 将函数 y=sinx 图象上所有的点向左平移

个单位长度, 再将图象上所有的点的横坐标伸 ) D.

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得图象的函数解析式为( A. B. C. 答案:A

8.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx 在 x=1 处有极值,则 a+b 等于( A.2 B.3 C.6 D.9
3 2

3

2



解答: 解:a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx 在 x=1 处有极值,可知 f′(1)=0, 2 而 f′(x)=12x ﹣2ax﹣2b 故 12﹣2a﹣2b=0 故 a+b=6 故选 C 9.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 解答: 解:由函数 f(x)= ,则 f[f(﹣1)]=( C.1 , ) D.2

因为﹣1<0,所以 f(﹣1)= 所以 f[f(﹣1)]=f( )= 故选 B.

, .

10. (2013?广州一模) 设函数 f x) ( 的定义域为 D. 如果?x∈D, ?y∈D, 使 (C 为常数)成立,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C,给出下列四个函数
2

①y=x ; ② ;

3

③y=lnx; ④y=2sinx+1, 则满足在其定义域上均值为 1 的函数的个数是( A.1 B.2 C.3 解答:

) D.4

解:①对于函数 y=x ,定义域为 R,设 x∈R,由
3

3

,得 y =2﹣x ,所以

3

3

∈R,所以函数 y=x 是定义域上均值为 1 的函数;

②对于

,定义域为 R,设 x∈R,由 ,当 x=﹣2 时,

,得 ,不存在实数 y 的值,使

,所以该函数不是定义域上均值为 1 的函数; ③对于函数 y=lnx,定义域是(0,+∞) ,设 x∈(0,+∞) ,由 ﹣lnx,则 y=e
2﹣lnx

,得 lny=2

∈R,所以该函数是定义域上均值为 1 的函数; ,得 siny=﹣

④对于函数 y=2sinx+1,定义域是 R,设 x∈R,由

sinx,因为﹣sinx∈[﹣1,1], 所以存在实数 y, 使得 siny=﹣sinx, 所以函数 y=2sinx+1 是定义域上均值为 1 的函数. 所以满足在其定义域上均值为 1 的函数的个数是 3. 故选 C. 二、填空题: (本大题共 5 小题.考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.(一)必做 ) 题(11~13 题) 11. = . .

12. cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=

13.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=ex﹣e,则 f′(1)= e . 14. (坐标系与参数方程选做题)过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程为

. 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是⊙O 的切线,切点为 A,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两 点,AC=2,∠PAB=120°,则⊙O 的面积为 4π .

3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知 (1)tanα 的值; (2)sin2α 的值. 解答: 解: (1)∵ ∴cosα=﹣ , .试求:

, =﹣

∴tanα=

=

=﹣

(2)sin2α=2sinαcosα=2× ×

=﹣

17. (12 分) (2013?广东)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分 布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 5 10 20 15 频数(个) (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率. 解答: 解: (1)苹果的重量在[90,95)的频率为 (2)重量在[80,85)的有 个.



(3)设这 4 个苹果中,重量在[80,85)段的有 1 个,编号为 1. 重量在[95,100) 段的有 3 个,编号分别为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种. 设任取 2 个,重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含 有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,

4

所以



18. (14 分)已知函数 f(x)=﹣x +3x +9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解答: (I)f′(x)=﹣3x +6x+9. 解: 令 f′(x)<0,解得 x<﹣1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1)(3,+∞) , . (II)因为 f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(﹣2) . 因为在(﹣1,3)上 f′(x)>0,所以 f(x)在[﹣1,2]上单调递增, 又由于 f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减, 因此 (2) (﹣1) f 和f 分别是 (x) f 在区间[﹣2, 2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20, 解得 a=﹣2. 3 2 故 f(x)=﹣x +3x +9x﹣2,因此 f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7, 即函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7. 19. (14 分) (2013?广东)已知函数 (1)求 (2)若 的值; ,求 . .
2

3

2

解 解: (1) 答: (2)∵ ∴ , , .

20. (14 分) (2013?佛山一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2,数列{bn}是首项为 a1,公 差不为零的等差数列,且 b1,b3,b11 成等比数列. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}与{bn}的通项公式; (3)求证: <5.

解答: (本题满分 14 分) 解: (1)∵Sn=2an﹣2, ∴当=1 时,a1=2a1﹣2,解得 a1=2;
5

当 n=2 时,S2=2+a2=2a2﹣2,解得 a2=4; 当 n=3 时,s3=a1+a2+a3=2a3﹣2,解得 a3=8.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (3 分) (2)当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 得 an=2an﹣1 又,a1=2, ∴数列{an}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

b1=a1=2,设公差为 d,则由且 b1,b3,b11 成等比数列 2 得(2+2d) =2(2+10d) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 解得 d=0(舍去)或 d=3,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴bn=3n﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) (3)令 Tn=

=



∴2Tn=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

两式式相减得

=2+

=5﹣

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)

又 ﹣(14)

>0,故:

<5. .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21. (14 分) (2012?惠州模拟)已知函数

x +bx+a(a,b∈R) ,且其导

2

函数 f′(x)的图象过原点. (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在 x=3 处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x<0,使得 f′(x)=﹣9,求 a 的最大值; (Ⅲ)当 a>0 时,求函数 f(x)的零点个数. 解答: 2 解: ,f'(x)=x ﹣(a+1)x+b 由 f'(0)=0 得 b=0,f'(x)=x(x﹣a﹣1) . (Ⅰ)当 a=1 时, ,f'(x)=x(x﹣2) ,f(3)=1,f'(3)=3

6

所以函数 f(x)的图象在 x=3 处的切线方程为 y﹣1=3(x﹣3) ,即 3x﹣y﹣8=0; (Ⅱ)存在 x<0,使得 f'(x)=x(x﹣a﹣1)=﹣9, ,a≤﹣7, 当且仅当 x=﹣3 时,a=﹣7,所以 a 的最大值为﹣7; (Ⅲ)当 a>0 时,x,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表:

f(x)的极大值 f(0)=a>0, f(x)的极小值 又 . 所以函数 f(x)在区间 一个零点, 故函数 f(x)共有三个零点. 内各有 , ,

7


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