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高三数学(文)双曲线综合复习(二)人教版知识精讲.doc


高三数学(文)双曲线综合复习(二)人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 双曲线综合复习(二)

【典型例题】
[例 1] 已知双曲线 C 的实半轴与虚半轴长的乘积为 3 ,C 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,直

21 , l 与线段 F1 F2 的垂直平分线的交点是 2 P,线段 PF2 与双曲线 C 的交点为 Q,且 PQ : QF2 ? 2 : 1,求双曲线 C 的方程。
线 l 过 F2 且与直线 F1 F2 的夹角为 ? , tan? ? 解:如图,以 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标 系,设双曲线 C 为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2 21 21 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,则 l 的方程为 y ? ( x ? c) ,P 的坐标为( 0,? c) 2 2 0 ? 2c ? ? xQ ? 1 ? 2 2 21 ? ? Q ( c, ? c) 由 PQ : QF2 ? 2 : 1 ? ? 2 3 6 ? c?0 ? 2 ? yQ ? 1? 2 ? 4c 2 21c 2 ? ?1 又点 Q 在双曲线上,将其代入双曲线方程得 9a 2 36b 2 b 4 b 2 b 2 b 2 7 2 2 2 又 c ? a ? b 整理得 16( ) ? 41( ) ? 21 ? 0 解得 ( ) ? 3 或 ( ) ? ? (舍 a a a a 16
b ? 3 ,又由已知 ab ? 3 ,可得 a ? 1, b ? 3 a y2 2 ?1 故所求双曲线方程为 x ? 3
于是

去)

[例 2] 如图,已知双曲线 C: (1 ? a ) x ? a y ? a ? 0(a ? 0) ,若 C 的上半支的顶点为
2 2 2 2 2

A,且与直线 y ? ? x 交于 P,以 A 为焦点,M( 0, m )为顶点的开口向下的抛物线通过点 P, 当 C 的一条渐近线的斜率在区间 [

3 2 2 , ] 上变化时,求直线 PM 斜率的最大值。 2 3

用心

爱心

专心

y2 x2 解:设直线 PM 的斜率是 k ,双曲线方程为 ? ?1 1 a2 a2 ?1 a2 ?1 3 a2 ?1 2 其渐近线方程是 y ? ? x ,故 ? ? 2 a 2 a 3 2 解之,得 4 ? a ? 9 ? 2 ? a ? 3 ?x ? 0 双曲线与直线 y ? ? x 交点 P 位于第二象限,则 ? ?y ? 0 ?(1 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ? 0 ? P ( ? a, a ) ? y ? ? x ? 由双曲线方程可得 A 坐标为(0,1),又由 M( 0, m ) 故抛物线方程为 x 2 ? ?4(m ? 1)( y ? m) 又由 P( ? a, a )
在抛物线上,则 a 2 ? ?4(m ? 1)(a ? m)

m?a 4k ? m ? ak ? a 代入上式得 a ? 2 a 4k ? 4k ? 1 2 ? ? 4k k22 ? ?k 2k ? 14 )( 42k ? ? 4? k1 ? )? ?1 )( k 4k )1 ? 00 4k ?((2 ? ?3?? 又 2 ? a ? 3 ,故 2 ? ? 2 22 22 4k ? 4k ? 1 ? ? 12 k ? ?8 8k k? ?3 3 )( 4k k ? ?4 4 k? ?1 1 ?0 0 12 k )( 4 k ))? ?(( ?
由k ? 又 k ? 0 ,可解得 最大值为

13 ? 2 5 ?1 ?k? 6 4

5 ?1 4

2 2 [例 3] 已知双曲线 C: ( y ? 1) ? 3( x ? 1) ? 3 及直线 l : y ? x ? 1 ,且双曲线 C1 与双曲线

C 关于直线 l 对称。 (1)求双曲线 C1 的方程; (2)若直线 l1 : y ? kx ? m(k , m ? 0) 与双曲线 C1 交于不同的两点 C、D,且 C、D 两 点都在以 A(0, ? 1 )为圆心的圆上,求 m 的取值范围。 解: (1)设 P( x, y )为双曲线 C1 上一点,点 P 关于 l 的对称点 Q( x0 , y0 )

? y0 ? y ? ?1 ? ? x0 ? y ? 1 x ? x0 ? x 2 ? y ? 1 ,在 C 上,依题意 ? C1: ?? 3 ? y 0 ? y ? x0 ? x ? 1 ? y 0 ? x ? 1 ? 2 2 ?
2

用心

爱心

专心

代入双曲线 C 中,并整理得 x 2 ? 3 y 2 ? 3 ,此即双曲线 C1 的方程 (2)设弦端点坐标分别为 C( x1 , y1 ),D( x2 , y2 ) 由?

? y ? kx ? m ?x ? 3 y ? 3
2 2

? (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6km x ? 3(1 ? m 2 ) ? 0

2 ? ?1 ? 3k 2 ? 0 ?1 ? 3k ? 0 ? 由 l1 与 C1 有两个不同交点,则 ? (*) ? 2 2 ? ?? ? 0 ?1 ? m ? 3k ? 0 6km 3(1 ? m 2 ) x ? x ? ? 由韦达定理 x1 ? x 2 ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 x ? x2 3km ? x0 ? 1 ? ? ? 2 1 ? 3k 2 设 CD 中点 M( x0 , y0 )则 ? ?y ? m 0 ? 1 ? 3k 2 ? y ? (?1) 1 由 k AM ? k ? ?1 ? 0 ? ? ? 3k 2 ? 4m ? 1 ? 0 代入(*)式得 x0 ? 0 k ?m ? 0 1 ? m ? 0 ,或 m ? 4 ,故 ? ? m ? 0 或 m ? 4 ? 4 ?m(m ? 4) ? 0

[例 4] 设 0 ? ? ? 点。

?
2

,曲线 x sin ? ? y cos? ? 1 和 x cos? ? y sin ? ? 1 有 4 个不同交
2 2 2 2

(1)求 ? 的取值范围; (2)证明这 4 个交点共圆,并求圆半径的取值范围。 解:
2 2 ? ? x sin ? ? y cos? ? 1 (1)两曲线交点坐标( x, y )满足方程组 ? 2 2 ? ? x cos? ? y sin ? ? 1 2 2 ? ? ?sin ? ? cos? ? 0 ? x ? sin ? ? cos? ?x ? 0 ?? 2 ?? 有 4 个交点 ? ? 2 ? ? ?cos? ? sin ? ? 0 ? y ? cos? ? sin ? ?y ? 0

又0 ?? ?

?

2

,故 ? ? (0,

?

4

)
2 2

(2)由(1)可知 4 个交点坐标满足方程 x ? y ? 2 cos ? (0 ? ? ?

?
4

)

用心

爱心

专心

即将 4 个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径 r ? 由 cos ? 在(0,

2 cos ? (0 ? ? ?

?
4

)

? )上单减,则 r ? (4 2, 2 ) 4

[例 5] 将双曲线 x 2 ? 3 y 2 ? 12 的中心沿直线 y ? ?2 x 向上方平移,同时保持对称轴平行于 坐标轴,平移后的曲线 C 在直线 y ?

1 5 x ? 上截得的弦长为 4 15 。 2 2

(1)求曲线 C 的方程; (2)在 l : x ? y ? 8 ? 0 上任取一点 M,以曲线 C 的焦点为焦点,过 M 作椭圆 C ? ,M 点的坐标为何值时, C ? 的长轴最短,并求此时椭圆 C ? 的方程。 解: (1)设 C 的中心为 C( m,?2m )( m ? 0 ),则曲线 C 的方程为

( x ? m) 2 ? 3( y ? 2m) 2 ? 12? 1 2 15 123 ? 2 ?0 ? ? x ? ( ? 8m) x ? 11m ? 30m ? 1 5 4 2 4 y ? x? ? 2 2 ? 15 123 x1 ? x 2 ? 4( ? 8m) , x1 ? x 2 ? 4(?11m 2 ? 30 m ? ) 2 4 1 2 15 123 2 2 2 )] ? 16 ? 15 由弦长为 4 15 ,则 (1 ? )[ 4 ( ? 8m) ? 4 (11m ? 30 m ? 4 2 4 整理得 (m ? 1) 2 ? 0 ? m ? ?1,则 C: ( x ? 1) 2 ? 3( y ? 2) 2 ? 12 另法,把问题等价转化为沿直线 y ? ?2 x 向下方平移直线 ? x? ? x ? m ? x ? x? ? m 1 5 ,则平移后直线 y ? 2m ? ( x ? m) ? ?? ? 2 2 ? y ? ? y ? 2m ? y ? y ? ? 2m 1 即 y ? ( x ? 5m ? 5) 代入双曲线 x 2 ? 3 y 2 ? 12 并整理得 2 2 x ? 30(1 ? m) x ? 75m 2 ? 150m ? 123 ? 0 2 利用韦达定理 x1 ? x2 ? 30(1 ? m) , x1 ? x2 ? ?75m ? 150m ? 123 5 2 2 2 由弦长为 4 15 ,有 [30 (1 ? m) ? 4(75m ? 150 m ? 123)] ? 16 ? 15 4 2 整理得 (m ? 1) ? 0 ? m ? 1,则双曲线 C 的中心为( ? 1,2 ) 2 2 故双曲线 C: ( x ? 1) ? 3( y ? 2) ? 12

(2)依题意, C ? 的中心仍为点 C, C ? 的焦距与双曲线 C 相同,设椭圆 C 的方程为
用心 爱心 专心

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 ,与 y ? 8 ? x 联立,消去 y ,得 b 2 ? 16 b2 2(b 2 ? 8) x 2 ? 2(5b 2 ? 96) x ? (b 4 ? 21b 2 ? 36?16) ? 0 由 ? ? 0 得, ? ? 4(5b 2 ? 96) 2 ? 8(b 2 ? 8)(b 4 ? 21 b 2 ? 36?16) ? 0
? 2b 6 ? b 4 ? 528b 2 ? 0 ? b 2 (2b 4 ? b 2 ? 528) ? 0 33 ? b 2 (2b 2 ? 33)( b 2 ? 16) ? 0 ? b 2 ? 2 2 2 ( x ? 1) ( y ? 2) ? ?1 故椭圆 C ? 的方程为 65 33 2 2 【模拟试题】(答题时间:40 分钟) 1. 焦点在( 4,?7 )和(4,3)的双曲线的一条准线方程为 5 y ? 1 ? 0 ,则该双曲线的一
条渐近线的方程为( ) A. 3x ? 4 y ? 20 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 4 ? 0 2. 关于 x 的方程 k ( x ? 1) ? B. 3x ? 4 y ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 10 ? 0

) x 2 ? 1 ? 3 有解,则 k 的取值范围是( 5 3 5 A. (?? , ] B. [ , ] 3 2 3 3 5 5 C. (?? ,?1] ? [ , ] D. ( ?? ,?1) ? (1, ] 2 3 3 2 2 2 2 x y x y 3. 曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与曲线 2 ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 有共同焦点 F1 , F2 , a b m n P 为两曲线的公共点,则 ?PF 。 1 F2 的面积为 2 y 2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦,AB 两端在 C 上运动,AB 中点为 4. 已知曲线 C: x ? 3 M,则距 y 轴最近的 M 点的坐标为 。 5. 是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出双曲线的方程,若不存在,说明 理由。 (1)以原点 O 为焦点,以 l : x ? 4 为相应的准线; (2)双曲线上存在两点 A、B 关于直线 l 0 : y ? ?

3 x 对称且 AB ? 10。 4

试题答案 5 15 5 15 ) 或 ( ,? ) 1. A 2. D 3. bn 4. ( , 2 2 2 2 5. 解:设双曲线离心率为 e ,设 P( x, y )在双曲线上,
x2 ? y2 ? e ? x 2 ? y 2 ? e 2 ( x ? 4) 2 则 x?4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,作 AA 1 ?l 于A 1 ? l 于 B1 1 , BB 由 O 在 AB 中垂线上,则 OA ? OB

用心

爱心

专心

由双曲线第二定义,有

OA

AA1 又由 m ? l0 ? M (4,?3)
又由 AB ? l0 ? AB 斜率为 又由 AM ?

?

OB BB1

? e ? AA1 ? BB1 ? AB 中点 M ? l

4 4 3 ,倾斜角满足 sin ? ? , cos ? ? 3 5 5

1 AB ? 5 2 ? x1 ? x M ? 5 cos? ? 4 ? 3 ? 7 故? ? A(7,1) ? y1 ? y M ? 5 sin ? ? ?3 ? 4 ? 1
由 A 在双曲线上,则 7 ? 1 ? e (7 ? 4) ? e ?
2 2 2 2

5 2 ?1 3

50 ( x ? 4) 2 9 200 2 7200 ) ? 9y2 ? 整理,即 41( x ? 41 41
故双曲线存在,其方程为 x ? y ?
2 2

用心

爱心

专心


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