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幂级数

微分方程的幂级数解法
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观 事物的规律性进行研究,因此如何寻求函数关系,在实践中具有重要意义。在许 多问题中,不能直接找到所需的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可 以列出含有要找的函数及其导数的关系式,这样的关系式称为:微分方程。对其 进行研究,找寻未知函数,称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本 概念和几种常用解法 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时,我们就要寻求其它解 法。 常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级 数解法。

求一阶微分方程

(1)

满足初始条件

的特解,其中函数 f (x , y)是 的 多 项 式

、 :

.

这时我们可以设所特解可展开为

的幂级数

(2)

其中

是待定的系数,把(2)代入(1)中,便得一恒等式,

比较这恒等式两端

的同次幂的系数,就可定出常数

, 以这

些常数为系数的级数(2)在其收敛区间内就是方程(1)满足初始条件 的特解。

例 1 求方程

满足

的特解。

解 这时

,故设

, 把 及 的 幂 级 数 展 开 式 代 入 原 方 程 , 得

由此,比较恒等式两端 x 的同次幂的系数,得

于是所求解的幂级数展开式的开始几项为

。 关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题,我们先叙述一个定理: 定理 如果方程(3)中的系数 P(x)与 Q(x)可在 -R<x<R 内展开为 x 的幂级 数那么在-R<x<R 内方程(3)必有形如

的解。

例 2 求微分方程 的满足初始条件 , 的 特解。 解 这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成 x

的幂级数

(4)

由条件



。对级数(4)逐项求导,有

,

由条件 为



.于是我们所求方程的级数解 及

的形式已成

(5)

(6) 对级数(6)逐项求导,得

(7) 把(5)和(7)代入所给方程,并按 x 的升幂集项,得

因为幂级数(4)是方程的解,上式必然是恒等式,因此方程左端各项的系数必 全为零,于是有

一般地 从这递推公式可以推得

(n=3 , 4 ,…).

一般地

(m=1,2,…), 于是所求的特解为




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