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高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式素材北师大版选修4_5

平均值不等式 一、引入: 2 2 1.定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 当a ? b时, ( a ? b) 2 ? 0 ? 2 2 ? ? a ? b ? 2ab 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0? 指出定理适用范围: a, b ? R 强调取“=”的条件 a ? b 。 2.定理 2:如果 a , b 是正数,那么 证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab 即: a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2 ∴ a ? b ? 2 ab a?b ? ab 2 当且仅当 a ? b 时 ? a?b ? ab 2 注意:(1)这个定理适用的范围: a ? R ; (2)语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3 3 3 ? 3. 定理 3: 如果 a, b, c ? R , 那么 a ? b ? c ? 3abc (当且仅当 a ? b ? c 时取 “=” ) 证明:∵ a ? b ? c ? 3abc ? (a ? b) ? c ? 3a b ? 3ab ? 3abc 3 3 3 3 3 2 2 ? (a ? b ? c)[(a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)[a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) ? 1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] 2 ? ∵ a, b, c ? R ∴上式≥0 ? 从而 a ? b ? c ? 3abc 3 3 3 指出:这里 a, b, c ? R ∵ a ? b ? c ? 0 就不能保证。 推论:如果 a, b, c ? R ,那么 ? a?b?c 3 ? abc 。(当且仅当 a ? b ? c 时取“=”) 3 证明: (3 a ) 3 ? (3 b ) 3 ? (3 c ) 3 ? 33 a ? 3 b ? 3 c 1 ? a ? b ? c ? 33 abc ? a?b?c 3 ? abc 3 4.算术—几何平均不等式: ①如果 a1 , a2 ,?, an ? R ? , n ? 1且n ? N ? 则: a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这 n 个正数的算 n 术平均数, n a1 a 2 ? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数; ②基本不等式: a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1 a 2 ? a n ( n ? N * , ai ? R ? ,1 ? i ? n ) n 这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③ a?b ? ab 的几何解释: 2 则 以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C 作弦 DD’?AB CD 2 ? CA ? CB ? ab , 从而 CD ? ab ,而半径 a?b ? CD ? ab 。 2 D A a O C b B 二、典型例题: 例 1 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。 2 2 2 证:∵ a ? b ? 2ab 2 2 b2 ? c2 ? 2bc 2 2 c 2 ? a 2 ? 2ca 以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca 2 ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 2 2 2 2 例 2 设 a, b, c 为正数,求证: (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c 2 ) ? 16abc 。 例 3 设 a1 ,a2 ,a3 , ?,an 为正数, 证明: a1 ? a 2 ? ? ? a n n 。 ? 1 1 1 n ? ??? a1 a 2 an 例 4 若 x, y ? R ? ,设 Q( x, y) ? x2 ? y2 2 A( x, y ) ? x? y 2 G( x, y) ? xy H ( x, y ) ? 2 1 ? ? x y 求证: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y) 加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证:∵ ( x ? y 2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 x 2 ? y ) ? ? ? 2 4 4 2 ∴ x2 ? y2 x ? y 即: Q( x, y) ? A( x, y) (俗称幂平均不等式) ? 2 2 由平均不等式 A( x, y) ? G( x, y) H ( x, y) ? 2 xy 2 xy ? ? xy ? G( x, y) 即: G( x, y) ? H ( x, y) x ? y 2 xy 综上所述: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y) 3

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