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2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 详解答案 第二节 函数、基本初等函数的图像与性质 广东、北京、天津


考点例题

第 一 阶 段

专 题 一

第 二 节

冲关集训 高考预测

课时检测(二)

第一阶段
二轮专题复习

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专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式

第二节

函数、基本初等函数的图像与性质

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考点例题
例 1: 思路点拨: 由函数 f(x)是周期函数可推出
?1? ? 1? f?2?=f?-2?及 ? ? ? ?

f(-

1)=f(1),从而得到关于 a,b 的方程,则可求解.

解析:因为 f(x)的周期为 2,所以

?3? ?3 ? ? 1? ?1? f?2?=f?2-2?=f?-2?,即 f?2?= ? ? ? ? ? ? ? ?

b ? 1? ? 1? ?1? 2+2 b+4 1 f?-2?.又因为 f?-2?=-2a+1,f?2?=1 = 3 , ? ? ? ? ? ? 2+1

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b+4 1 所以-2a+1= 3 . 2 整理,得 a=-3(b+1).① b+2 又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= 2 , 即 b=-2a.② 将②代入①,得 a=2,b=-4. 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10.

答案:-10
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例 2:思路点拨:在同一坐标系中作出两函数的图像,即可判定 交点个数.

1 解析:由题易知,当 a=1,b=1 时,y= = |x|-1 ? 1 ? ?x≥0且x≠1?, x-1 ? ? ?- 1 ?x<0且x≠-1?, ? x+1 ?

在同一坐标系中画出

“囧函数”与函数 y=lg |x|的图像如图所示,易知它们有 4 个交 点.

答案:4
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例 3:思路点拨:由已知可判断函数为周期函数,可利用周期性 求值.

解析:∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1, f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(- 1)=-1,f(6)=f(0)=0,

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∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× 6 =335. 而 f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 012)=335+3=338.
答案:B

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冲关集训 ?x+1>0, ? 由?ln?x+1?≠0, ?4-x2≥0, ?

1.选 B

得-1<x≤2,且 x≠0.

2.选 D

因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x),0≤2x≤2 且

x>0,x≠1,故 x∈(0,1). 3.选 B 由题意,令 f(x)=2-x2=1,得 x=± 1,因此当 x≤-1

或 x≥1 时, M(x)=2-x2; f 当-1<x<1 时, M(x)=1, f 所以 fM(0) =1,fM(fM(0))=fM(1)=2-12=1.

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4.解析:由题意知:a≠0.f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+

ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称,所以2a+ab=
0?b=-2.所以f(x)=-2x2+2a2,且值域为(-∞,2].所以 2a2=2. 所以f(x)=-2x2+2. 答案:-2x2+2

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5.选 D

1 法一:当 0<a<1 时,函数 y=a -a是减函数,且其图
x x

1 像可视为是由函数 y=a 的图像向下平移a个单位长度得到 的,结合各选项知选 D. 1 法二:因为函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)必过点(-1,0),所以
x

选 D.

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6.选 D 若点(m,n)在函数y=xln x的图像上,则n=mln m,
所以-n=-mln[-(-m)],可知点(-m,-n)在函数y= xln(-x)的图像上,而点(m,n)与点(-m,-n)关于原点对 称,所以函数y=xln x与y=xln(-x)的图像关于原点对称. 7.解析:依题意,画出y=f(x)与y=x的图像,如图所示,注意到
y=f(x)的图像与直线y=x的交点
? 2 2? 坐标是 和 ?-3,-3? ,结合图像可 ? ? ? 2? 知,不等式f(x)>x的解集是 ?-2,-3? ∪ ? ? ? 2? ?0, ?. 3? ? ? 2? ? 2? 答案:?-2,-3?∪?0,3? ? ? ? ? ?2 2? ? , ? ?3 3?

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8.选 B

由函数是偶函数可以排除 C 和 D ,又函数在区间(1,2)

内为增函数,而此时 y=log2|x|=log2x 为增函数. 9.选 B 3 依题意得 f(x1)=f(3-x1),当 x>2时,f′(x)>0,f(x)是

3 3 3 增函数.若 x1≥2,则 x2>x1≥2,f(x2)>f(x1);若 x1<2,则由 3 x1<x2 及 x1+x2>3 得 x2>3-x1>2,所以 f(x2)>f(3-x1)=f(x1).

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10.解析:依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x), 则
?3? ? 1? ?1? 1 3 ? ?=f?- ?=f? ?= +1= . f2 2 ? ? ? 2? ?2? 2

3 答案:2
11.解析:依题意得 f(0)=0.当 x>0 时,f(x)>e0+a=a+1.若函数 f(x)在 R 上是单调函数,则有 a+1≥0,a≥-1,因此实数 a 的最小值是-1.

答案:-1
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高考预测
1.选 C 由图像可知,函数f(x)为奇函数且关于直线x=1对称; 对于②,因为f(1+x)=f(1-x),所以f[1+(x+1)]=f[1-(x+ 1)],即f(x+2)=f(-x). 故①②正确,③④不正确.

2.解析:因为y=f(x)+x2是奇函数,且x=1时,y=2,
所以当x=-1时,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2, 得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案:-1

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课时检测(二) 1.选 B 2.选 C 可以根据图像对应寻求函数. 由“偶函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数”,可得 解得-2≤x<-1 或 x>2.

?x+2≥0, ? x+2<|x|,即? ?x+2<x2, ?

3.选 A

1 a=log23,b=log43=log2 3,c=2=log2 2,而 y=log2x

在(0,+∞)上是增函数, 所以 a>b>c.

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4.选 D 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x). 又函数 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), 所以当 x<0 时,f(x)=-lg(-x). 所以
? 1 ? 1 ? ?=lg f 100 100=-2, ? ?

? ? 1 ?? f?f?100??=f(-2)=-lg ? ? ??

2.

5.选 A 当c=-1时,易知f(x)在R上递增;反之,若f(x)在
R上递增,则需有1+c≤0,即c≤-1.所以“c=-1”是“函数 f(x)在R上递增”的充分不必要条件.
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6.选 B 由f(x)=0,x∈[0,2)可得x=0或x=1,即在一个周期

内,函数的图像与x轴有两个交点,在区间[0,6)上共有6个
交点,当x=6时,也是符合要求的交点,故共有7个不同的

交点.
7.解析:由题意知,函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则f(1)=

f(-1),故1-|1+a|=1-|-1+a|,所以a=0.
答案:0
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8.解析:由题意知满足条件的图像形状为: 故符合图像形状的函数为 y=log2x,y= x.

答案:②④

9.解析:根据已知条件画出f(x)图像如图所示.

因为对称轴方程为x=-1,所以(0,0)关于x=-1的对称点
为(-2,0). 因f(m)<0, 所以应有-2<m<0,m+2>0. 因f(x)在(-1,+∞)上递增, 所以f(m+2)>f(0)=1. 答案:>
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10.解:(1)设 f(x)图像上任意一点坐标为 B(x,y),其关于 A(0,1) 的对称点 B′(x′,y′), ?x′+x ? =0, ? 2 则? ?y+y′ ? 2 =1, ?
?x′=-x, ? ∴? ?y′=2-y. ?

1 ∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ +2. x′ 1 1 1 ∴2-y=-x-x+2,∴y=x+x,即 f(x)=x+x. (2)g(x)=x2+ax+1, a ∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴- ≥2,即 a≤-4. 2 ∴a 的取值范围为(-∞,-4].
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1?x 11.解:(1)因为 f(x)=e - e ? ,且 y=ex 是增函数, ? ? ? ? 1 y=-?e?x 是增函数,所以 f(x)是增函数. ? ? ? ? 由于 f(x)的定义域为 R, - 且 f(-x)=e x-ex=-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 所以 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t2+t≤x2+x 对一切 x∈R 恒成立 ? 1? 2 ? 1?2 ? ? ? ??t+2? ≤?x+2?min ? ? ? ? ? ? 1? 2 1 ? ??t+2? ≤0?t=- . ? 2 ? ? 1 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切实数 x 都 2 成立.
x

? ? ? ?

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12.解:(1)因为f(x-4)=-f(x),
所以f(x)=-f(x-4)=-{-f[(x-4)-4]}=f(x-8), 知函数f(x)的周期为T=8, 所以f(2 012)=f(251×8+4)=f(4)=-f(0). 又f(x)为定义在R上的奇函数

所以f(0)=0,故f(2 012)=0.
(2)因为f(x)=-f(x-4), 所以f(x+2)=-f[(x+2)-4]=-f(x-2)=f(2-x), 知函数f(x)的图像关于直线x=2对称.

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(3)由(1)知f(x)为以8为周期的周期函数, 所以f(-25)=f[(-3)×8-1]=f(-1), f(11)=f(8+3)=f(3)=-f(-1)=f(1), f(80)=f(10×8+0)=f(0).

又f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)在R上为奇函数,所以f(x)
在[-2,2]上为增函数,则有f(-1)<f(0)<f(1).

即f(-25)<f(80)<f(11).
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