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D四边形的推理与计算(1)

四边形的推理与计算问题
考点一:平行四边形的性质 1、平行四边形的对边 。 2、平行四边形的对角 。 3、平行四边形的对角线 。 考点二:平行四边形的判定 1、两组对边分别 的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别 的四边形是平行四边形。 3、一组对边 的四边形是平行四边形。 4、两组对角分别 的四边形是平行四边形。 5、对角线 的四边形是平行四边形。 考点三:矩形、菱形、正方形的性质 1、矩形:矩形的两条对角线 ,矩形的四个角都是 。 2、菱形:菱形的对角线 ,并且每一条对角线平分一组对角; 菱形的四条边 。 3、正方形:具有矩形、菱形的所有的性质。 考点四:矩形、菱形、正方形的判定 1、矩形: (1)有一个角是直角的 是矩形。 (2)两条对角线 的平行四边形是矩形。 (3)三个角都是 的四边形是矩形。 2、菱形: (1)有一组邻边 的平行四边形是菱形。 (2)两条对角线 的平行四边形是菱形。 (3)四条边都相等的 是菱形。 3、正方形: (1)有一组邻边 ,并且有一个角是 平行四边形是正方形。 (2)有一组邻边 的矩形是正方形。 (3)有一个角是 的菱形是正方形。 考点五:三角形的中位线 第三边并且等于第三边的 。 边是 边的一半

考点六:直角三角形斜边上的中线等于

考点七:在直角三角形中如果有一个锐角是 300,那么它就对

1(2013 莱芜,21,9 分)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD, 点 E 为 AB 的中点,连结 DE. (1)证明 DE∥CB; (2)探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时,四边形 DCBE 是平行四边形.

2(2013 日照满分 10 分) 如图,已知四边形 ABDE 是平行四边形,C 为边 B D 延长线上一点,连结 AC、CE,使 AB=AC. ⑴求证:△BAD≌△AEC; ⑵若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10, 求平行四边形 ABDE 的面积.

3(2013 临沂满分 7 分) 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延 长线于点 F,连接 CF. (1)求证:AF=DC; (2)若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论.
C

F E

D

B A

4(2013 泰安)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于 F, 连接 DF. (1)证明:∠ BAC=∠ DAC,∠ AFD=∠ CFE. (2)若 AB∥ CD,试证明四边形 ABCD 是菱形; (3)在(2)的条件下,试确定 E 点的位置,使∠ EFD=∠ BCD,并说明理由.

5.(6 分)如图 1,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、DC 上的点,且 AF⊥BE. (1)求证:AF=BE; (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 MP⊥ NQ.MP 与 NQ 是否相等?并说明理由.

反思总结:转化思想,通过作平行线,相当于平移两条线段转化为第一种情况解决

6(2013 潍坊满分 11 分)
如图 1 所示, 将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、 宽为 1 的长方形 CEFD 拼 在一起,构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE ' F ' D ' , 旋转角为 ? . (1)当点 D 恰好落在 EF 边上时,求旋转角 ? 的值;
'

(2)如图 2, G 为 BC 中点,且 0°< ? <90°,求证: GD' ? E ' D ; (3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中, ?DCD' 与 ?CBD 能否全等?
'

若能,直接写出旋转角 ? 的值;若不能,说明理由.(答案:135°、315°)

7.(2010 济南 本小题满分 9 分)已知:△ ABC 是任意三角形. ⑴ 如图 1 所示,点 M、P、N 分别是边 AB、BC、CA 的中点.求证:∠ MPN=∠ A. ⑵ 如图 2 所示,点 M、N 分别在边 AB、AC 上,且

AN 1 AM 1 ? ,点 P1、P2 是边 ? , AC 3 AB 3

BC 的三等分点,你认为∠ MP1N+∠ MP2N=∠ A 是否正确?请说明你的理由. ⑶ 如图 3 所示, 点 M、 N 分别在边 AB、 AC 上, 且

AM 1 AN 1 , , 点 P1、 P2、 ……、 ? ? AB 2010 AC 2010

P2009 是边 BC 的 2010 等分点,则∠MP1N+∠MP2N+……+∠ MP2009N=____________. (请直接将该小问的答案写在横线上. ) A M M B N C B C B …… P1 P2 …… P2009 C
第 23 题图 3

A N M

A N

P
第 23 题图 1

P1

P2

第 23 题图 2

8. (2012 济南)如图 1,在菱形 ABCD 中,AC=2,BD=2 倍的根号 3,AC,BD 相交于点 O. (1)求边 AB 的长; (2)如图 2,将一个足够大的直角三角板 60°角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处,绕点 A 左右旋转,其中三角板 60°角的两边分别与边 BC,CD 相交于点 E,F,连接 EF 与 AC 相 交于点 G. ①判断△AEF 是哪一种特殊三角形,并说明理由; ②旋转过程中,当点 E 为边 BC 的四等分点时(BE>CE) ,求 CG 的长.

9.(10 分)(2013?济南)(1)如图 1,已知△ ABC,以 AB、AC 为边向△ ABC 外作等边△ ABD 和等边△ ACE,连接 BE,CD,请你完成图形,并证明:BE=CD; (尺规作图,不写做法,保留作图痕迹); (2) 如图 2, 已知△ ABC, 以 AB、 AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE, 连接 BE,CD,BE 与 CD 有什么数量关系?简单说明理由; (3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图 3, 要测量池塘两岸相对的两点 B, E 的距离, 已经测得∠ ABC=45°, ∠ CAE=90°, AB=BC=100 米,AC=AE,求 BE 的长.

总结:涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,等边三角形,等腰直角三角形,以及正方 形的性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键

10(2014济南满分 9 分)如图 1,有一组平行线 l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ,正方形 ABCD 的四个顶点分别在 l1 , l2 , l3 , l4 上,EG 过点D且垂直于 l1 于点E, 分别交 l 2 , l 4 于点F, G, EF ? DG ? 1, DF ? 2 . (1) AE ? ,正方形 ABCD 的边长= ;

E G (2) 如图 2, 将 ?A

绕点 A 顺时针旋转得到 ?AE?D? , 旋转角为 ? (0? ? ? ? 90? ) , 点 D?

在直线 l3 上, 以 AD? 为边在的 E?D? 左侧作菱形 AD?C ?B? , 使点 B ?, C ? 分别在直线 l 2 , l 4 上. ①写出 ?B?AD? 与 ? 的函数关系并给出证明; ②若 ? ? 30 ,求菱形 AD?C ?B? 的边长.
?

A B

E F

l1
l2

A B’ E’

l1

l2

l3

l3

D C G
l4

D’ C’ G’
l4

对应训练 1 (2011 济南,7 分) (1)如图 1,△ ABC 中,∠ A=60°,∠ B:∠ C=1:5,求∠ B 的度数. (2)如图 2,点 M 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,分别连接 AM、CM.求证:AM=CM.

2(2012 济南)(1)如图 1,在?ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,AE=CF.求证:DE=BF. (2)如图 2,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,BD 是∠ABC 的平分线,求∠BDC 的度数.

3. (2012?北京) 如图, 在四边形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 交于点 E, ∠ BAC=90°, ∠ CED=45°, ∠ DCE=30°,DE= ,BE=2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积.

4、正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点。 (1) 若∠EAF =45°,求证:BE+DF=EF. (2) 若△ECF 的周长等于正方形周长的一半,求∠EAF 的度数。

A

D F

B

E

C

5(2012?贵阳) 如图, 在正方形 ABCD 中, 等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上. (1)求证:CE=CF; (2)若等边三角形 AEF 的边长为 2,求正方形 ABCD 的周长.



6 (2013 年江苏扬州)如图 Z85,在△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC,点 D 在边 AB 上,连 接 CD,将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90° 至 CE 的位置,连接 AE. (1)求证:AB⊥AE; (2)若 BC2=AD· AB,求证:四边形 ADCE 是正方形.

图 Z85

提示:7⑴ 利用三角形中位线定理得平行证四边形 AMPN 是平行四边形 ⑵ 利用对应边成比例且夹角相等得相似三角形 证四边形 MBP1N、MP1P2N、MP2CN 都是平行四边形,⑶ ∠ A. 8 解: (1)AB= OA ? OB ? 1 ? ( 3) ? 2
2 2 2 2

. (2)①证,△ABE≌△ACF(ASA) ,得

AE=AF,又∵∠EAF=60°,∴△AEF 是等边三角形. ②由△CAE∽△CFG ,CG=

3 . 8

10(1)证 ?AED ? ?GDC ,知 AE ? GD ? 1 , 正方形 ABCD 的边长为 12 ? 32 ? 10 . (2)①证 RT? AE D? ? RT? AB?M ,故 ?B?AD? = 90 ? - ? .


②过 E 点作 ON 垂直于 l1 分别交 l1 ,l2 于点 O,N, 由勾股定理可知菱形边长为

25 84 ?1 ? . 3 3
米,

9(3)由(1)、(2)的解题经验可知,过 A 作等腰直角三角形 ABD,∠ BAD=90°, 则 AD=AB=100 米,∠ ABD=45°,∴ BD=100 在 Rt△ DBC 中,BC=100 米,BD=100 根据勾股定理得:CD= 米, =100 米,则 BE=CD=100 米 连接 CD,则由(2)可得 BE=CD,∵ ∠ ABC=45°,∴ ∠ DBC=90°,

对应训练 1(1) ,∠ B=20°; 2(2)∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°.
3:过点 D 作 DH⊥ AC, DC=2,AC=2+1+ =3+ , )+ ×1×(3+ )= .

∴ S 四边形 ABCD= ×2×(3+

5 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形.
2 2 思路: ( (2) 解: 连接 AC, 交 EF 于 G 点, 在 Rt△ABE 中, AB2+BE2=AE2, 即 (x+ 2 ) +x =4,

正方形 ABCD 的周长为 4AB= 2 2 ? 6


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