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(浙江专版)2018年高中数学第一章导数及其应用1.3导数的几何意义学案新人教A版选修2_2

1.1.3 导数的几何意义 预习课本 P6~8,思考并完成下列问题 (1)导数的几何意义是什么? (2)导函数的概念是什么?怎样求导函数? (3)怎么求过一点的曲线的切线方程? [新知初探] 1.导数的几何意义 (1)切线的概念:如图,对于割线 PPn,当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位 置,这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线. (2)导数的几何意义:函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即 k=Δ lim x→0 f x0+Δ x -f x0 =f′(x0). Δx 1 2.导函数的概念 (1)定义:当 x 变化时,f′(x)便是 x 的一个函数,我们称它为 f(x)的导函数(简称导 数). (2)记法:f′(x)或 y′,即 f′(x)=y′=Δ lim x→0 f x+Δ x -f x . Δx [点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与 曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.( (2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( (3)函数 f(x)=0 没有导函数.( 答案:(1)× (2)× (3)× 2.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 答案:B 3.已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x-y+2=0,则 f′(1)=( A.4 C.-2 答案:D 4.抛物线 y =x 与 x 轴、y 轴都只有一个公共点,在 x 轴和 y 轴这两条直线中,只有 ________是它的切线,而______不是它的切线. 答案:y 轴 x 轴 2 ) ) ) ) B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交 ) B.-4 D.2 求曲线的切线方程 1 3 4 [典例] 已知曲线 C:y= x + ,求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程. 3 3 [解] 将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4, ∴切点 P(2,4). 2 y′|x=2=Δ lim x→0 Δy =lim Δ x Δ x→0 1 3 +Δ x 4 1 4 3 + - ×2 - 3 3 3 Δx 3 1 2 =Δ lim [4+2·Δ x+ (Δ x) ]=4. x→0 3 ∴k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1.过曲线上一点求切线方程的三个步骤 2.求过曲线 y=f(x)外一点 P(x1,y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0,f(x0)). (2)利用所设切点求斜率 k=f′(x0)=Δ lim x→0 (3)用(x0,f(x0)),P(x1,y1)表示斜率. (4)根据斜率相等求得 x0,然后求得斜率 k. (5)根据点斜式写出切线方程. (6)将切线方程化为一般式. [活学活用] 过点(1,-1)且与曲线 y=x -2x 相切的直线方程为( A.x-y-2=0 或 5x+4y-1=0 B.x-y-2=0 C.x-y-2=0 或 4x+5y+1=0 D.x-y+2=0 解析:选 A 显然点(1,-1)在曲线 y=x -2x 上, 若切点为(1,-1),则由 f′(1)=Δ lim x→0 =Δ lim x→0 +Δ x 2 3 3 3 f x0+Δ x -f x0 . Δx ) f +Δ x -f Δx - +Δ x - - Δx =Δ lim [(Δ x) +3Δ x+1]=1, x→0 ∴切线方程为 y-(-1)=1×(x-1), 即 x-y-2=0. 3 若切点不是(1,-1),设切点为(x0,y0), 则 k= 2 y0+1 x3 x3 - x0- 0-2x0+1 0-x0 = = x0-1 x0-1 x0-1 =x0+x0-1, 又由导数的几何意义知 k=f′(x0)=Δ lim x→0 =Δ lim x→0 2 f x0+Δ x -f x0 Δx 3 x0+Δ x 2 - x0+Δ x - x3 0-2x0 2 =3x0-2, Δx ∴x0+x0-1=3x0-2, ∴2x0-x0-1=0, 1 ∵x0≠1,∴x0=- . 2 5 2 ∴k=x0+x0-1=- , 4 5 ∴切线方程为 y-(-1)=- (x-1), 4 即 5x+4y-1=0,故选 A. 2 求切点坐标 [典例] 已知抛物线 y=2x +1 分别满足下列条件,请求出切点的坐标. 2 (1)切线的倾斜角为 45°. (2)切线平行于直线 4x-y-2=0. (3)切线垂直于直线 x+8y-3=0. [解] 设切点坐标为(x0,y0),则 Δ y=2(x0+Δ x) +1-2x0-1=4x0·Δ x+2(Δ x) , ∴ Δy =4x0+2Δ x, Δx 2 2 2 Δy 当 Δ x→0 时, →4x0,即 f′(x0)=4x0. Δx (1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1. 1 即 f′(x0)=4x0=1,得 x0= , 4 ?1 9? ∴切点的坐标为? , ?. ?4 8? 4 (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴k=4,即 f′(x0)=4x0=4,得 x0=1, ∴切点坐标为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直, ? 1? 则 k·?- ?=-1,即 k=8, ? 8? 故 f′(x0)=4x0=8,得 x0=2,∴切点坐标为(2,9). 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标; (2)利用导数或斜率公式求出斜率; (3)利用斜率关

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