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云南省2013年7月学业水平考试数学试卷及答案


【考试时间:2013 年 7 月 7 日上午 8:30——10:10,共 100 分钟】

云南省 2013 年 7 月普通高中学业水平考试 数 学 试 卷
选择题(共 51 分) 一、选择题:本大题共 17 个小题,每小题 3 分,共 51 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 已知全集 U = {1, 2,3},集合 M = {1},则全集 U 中 M 的补集为( A. {1} B.{1,2} C.{1,3} D.{2,3} ) )

2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体是一个( A. 棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.圆台
??? ? ??? ?
主视图 侧视图

俯视图

3.设向量 OA = (1, 0), OB = (1,1) ,则向量 OA, OB 的夹角为( A. 30° B. 45° C. 60°
???? ?

??? ? ??? ?

) D. 90° )
? ???? 1 ??? ( AB + AC ) 2

4. D ABC 中,M 是 BC 边的中点,则向量 AM 等于(
??? ? ??? ? ? ???? 1 ??? C. AB + AC ( AB - AC ) 2 1 5.在 D ABC 中,已知 cos A = ,则( ) 2

A. AB - AC

??? ?

??? ?

B.

D.

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

6.已知一个算法,其流程图如右图所示,若输入 a=3,b=4,则 输出的结果是( A.
7 2

) C.7 D.12 )
第 1 页 共 6 页

B.6

7.直线 x+y+1=0 的倾斜角是(

A.-1

B. -

p 4

C.

p 4

D.

3p 4

8.在如图以 O 为中心的正六边形上随机投一粒黄豆,则这粒黄豆落到阴影 部分的概率为( A.
1 6

) D. ) D.-1 )
2 3

1 1 C. 3 2 1 9.若 x<0,则 x + 的最大值为( x

B.

A.-4

B. -3

C.-2

10.在 D ABC 中, 则 ?B 所对的边为 ( ? A 45鞍 , ? B 30 , ?A 所对的边为 2 , A.1 B.
2

C.

3

D.2 )

11.先后抛掷一枚质地均匀的硬币,则两次均正面向上的概率为( A.
1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.1 ) D.2 x+y-3=0

12.斜率为-2,在 y 轴的截距为 3 的直线方程是( A.2 x+y+3=0 B.2 x-y+3=0 C.2 x-y-3=0 ) C.(0,0) ) C. {x | 0 #x 2}

13.函数 f ( x) = x - 1 的零点是( A.0 B.1

D. (1,0)

14.不等式 x 2 ? 2 x 的解集是( A. {x | 0 < x 2} B. {x | 0 ? x 2}

D. {x | x 30或x 2} )

15.已知函数 f ( x) = x ,则下列说法正确的是( A.f(x)是奇函数,且在 (0, + B. f(x)是奇函数,且在 (0, + C. f(x)是偶函数,且在 (0, + D. f(x)是偶函数,且在 (0, + 16.若 tan a = 2 ,则 cos 2a 等于( A. 3 5
) 上是增函数 ) 上是减函数 ) 上是增函数 ) 上是减函数

) C. 4 5

B.

3 5

D.

4 5

第 2 页 共 6 页

17.已知直线 l 过点 P(4,3),圆 C: x2 + y 2 = 25 ,则直线 l 与圆的位置关系 是( A.相交 ) B.相切 C.相交或相切 非选择题(共 49 分) 二、 填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分。请把答案写在答题 卡相应的位置上。 18.运行如图的程序,x 输出值是 19.化二进制数为十进制: 101(2) = .
1 2 3
x=6 x=x+10 PRINT x END

D.相离

.

20.如图是运动员在某个赛季得分的茎叶图, 则该运动员的平均分为 .

2 5 2 3 5 6 1

21.计算: sin 45鞍sin15 - cos 45鞍cos15 的值为

. .

22.函数 f ( x) = log a x (a>0,且 a ? 1 )在区间[2,8]上的最大值为 6,则 a =

三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 23.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) = 2sin x cos x - 1 . (1)求 f ( ) 的值及 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的最大值和最小值.
p 4

第 3 页 共 6 页

24.(本小题满分 8 分) 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2. (1)求证:A1C1//面 ABCD; (2)求 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值.

25.(本小题满分 8 分) 某城市有一条长 49km 的地铁新干线,市政府通过多次价格听证,规定 地铁运营公司按以下函数关系收费,
ì 2, (0 < x 4) ? ? ? ? 3, (4 < x 9) ? ? ? ? 4, (9 < x 16) ,其中 y 为票价(单位:元),x 为里程数(单位:km). y= ? í ? 5, (16 < x 25) ? ? ? 6, (25 < x 36) ? ? ? ? ? ? 7, (36 < x 49)

(1)某人若乘坐该地铁 5km,该付费多少元? (2)甲乙两人乘坐该线地铁分别为 25km、49km,谁在各自的行程内每 km 的平均价格较低?

26.(本小题满分 8 分) 已知数列 {an }满足: a1 = , an = 4an- 1 + 1(n 2) 。 (1)求 a1 + a2 + a3 ; (2)令 bn = an + ,求证数列 {bn }是等比数列; (3)求数列 {bn }的前 n 项和 Tn .
1 3 1 2

第 4 页 共 6 页

云南省 2013 年 7 月普通高中学业水平考试 数学 参考答案
一 . 选 择 题 ( 每 题 3 分 , 共 51 分 ) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 11 A 12 D 13 B 14 C 15 C 16 A 17 C

二 . 填 空 题 ( 每 题 3 分 , 共 15 分 ) 18. 16 三.解答题 19. 5 20. 22 21.

?

1 2

22.

2

? f (x ) ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2x ? 1,。。。。。。。分 2 ? f ( ) ? sin(2 ? ) ? 1 ? sin ? 1 ? 1 ? 1 ? 0.。。。。。 1分 4 4 2 2? 函数的最小正周期T ? ? ? ...............4分 2 ( 2) ? sin2x的最大值,最小值分别为1,-1.。。。。。。6分

?

?

?

23.(1)

? f(x)的最大值为0,最小值为-2.。。。。。。。。。。。。8分 24.(1)证明:连结 AC. 由题知 AA1∥C1C 且 A1A=C1C, ∴ 四边形 A1ACC1 为平行四边形. ∴ A1 C1∥AC.………………………………..。 。 。 。2 分 ∵ 又 A1 C1 ? 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴ A1 C1∥ 平面 ABCD.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2)解:∵ C1C⊥平面 ABCD, ∴ AC 是 AC1 在底面上的射影. ∴ ∠C1AC 是 AC1 与底面 ABCD 所成的角.。 。 。 。 。 。 。6 分
在直角三角形 ACC1 中,tan∠C1AC=
C1C 2 ? ? 2, AC 2

即 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 2 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 25.解: (1)∵x=5∈(4,9〕, ∴y=3(元) 即某人若乘坐该地铁 5km,应付费 3 元。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 (2)∵x=25∈(16,25〕, ∴y=5(元) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ∵x=49∈(36,49〕, ∴y=7(元) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 5 1 甲在行程内每千米的平均价格为: = (元),。 。 。 。 。 。 。6 分 25 5 7 1 乙在行程内每千米的平均价格为: = (元),。 。 。 。 。 。 。7 分 49 7 ∴ 乙在行程内每千米的平均价格较低。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 26.解:

第 5 页 共 6 页

( 1 )由a n =a n ?1 +1(n ? 2)得: 1 ? 1 ? 3,............. 。。。。。 1分 2 a 3 ? 4a2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 1 ? 13,.............. 。。。。。2分 a 2 ? 4a1 ? 1 ? 4 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? 1 33 ? 3 ? 23 ? .。。。。。。3分 2 2

(2) ? an ? 4an ?1 ? 1( n ? 2), ? an+1 ? 4an ? 1,。。。。。分 4 1 1 1 4an ? 1 ? 4(an ? ) b 3 ? 3 ? 3 =4.。。。分 那么 n ?1 ? 6 1 1 1 bn an ? an ? an ? 3 3 3 1 5 5 又b1 ? a1 ? ? , 所以数列是 为首项, 3 6 6 4为公比的等比数列.......7分 an ?1 ?

5 (1 ? 4n ) 5 (3)由(2)知Tn ? 6 ? (4n ? 1)..........10分 1? 4 18

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