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高考数学第一轮复习 11直线与圆单元试卷


第十一单元

直线与圆

一.选择题 (1) 平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点,D 点在直线 3x-y+1=0 上移 动 , 则 B 点 轨 迹 所 在 的 方 程 为 ( ) A 3x-y-20=0 B 3x-y-10=0 C 3x-y-9=0 D 3x-y-12=0 (2) 若 方 程 x+y-6 (

x ? y +3k=0 仅 表 示 一 条 射 线 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是

) A (-∞,3) B (-∞,0 ] 或 k=3 C k=3 D (- ∞,0)或 k=3 (3) 入 射 光 线 沿 直 线 x-2y+3=0 射 向 直 线 l: y=x 被 直 线 反 射 后 的 光 线 所 在 的 方 程 是 ( ) A x+2y-3=0 B x+2y+3=0 C 2x-y-3=0 D 2x-y+3=0 (4) “a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆(x ? a) ? ( y ? b) ? 2 相切”的
2 2

( A 充分不必要条件 C 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件

)

(5) 设集合 A ?( x, y) | x, y,1 ? x ? y是三角形的三边长? ,则 A 所表示的平面区域(不含边界的 = 阴影部分)是
1 y

(
1 y
1 y

)

1

y

1 2

1 2

1 2

1 2

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

A B C D 2 2 (6)由动点P向圆 x + y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点P的轨 迹 方 程 为 ( ) 2 2 2 2 2 2 A x +y =4 B x +y =3 C x +y =2 D 2 2 x +y =1 (7) 从 原 点 向 圆 x ? y ? 12y ? 27 ? 0 作 两 条 切 线 , 则 这 两 条 切 线 的 夹 角 的 大 小 为
2 2





? A 6
2 2

? B 3

? C 2

2? D 3

(8)已知圆 x +y +2x-6y+F=0 与 x+2y-5=0 交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 若 OA⊥OB, 则 F 的 值 为 ( ) A 0 B 1 C -1 D 2

用心

爱心

专心

-1-

(9) 若圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1, 则半径 R 的 取 ( 值 范 B R<3 围 是 C 1<R<3

) A R>1 D R≠2

( 0) (10) 已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范
围 ( ) A (? 2 2, 2) 2 二.填空题 (11) 已知圆 C1:x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10与圆C2: ? 6) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50 交于 A、B 两点,则 ( (x AB 所在的直线方程是__________。 (12)直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离是 (13)已知圆的方程是 x +y =1,则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为
2 2



B(? 2,2)C ( ?

1 1 2 2 , ) D( ? , ) 8 8 4 4

。 。

(14)过 P(-2,4)及 Q(3,-1)两点,且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是______ 三.解答题 (15) 半径为 5 的圆过点 A(-2, 6),且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 ,求此圆的方程。

(16) 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的 一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80(米) ,塔所在 的山高 OB=220(米) ,OA=200(米) ,图中所示的 山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上, l 与水平 地面的夹角为 ? , tan ? ?

1 试问此人距水平 2

地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此 人的身高)

用心

爱心

专心

-2-

(17) 已知定点 A(2,0) , P 点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,其中 O 为坐标原点,求 Q 点的轨迹方程.

(18) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的 弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由。

用心

爱心

专心

-3-

答案 一选择题: 1.A [解析]: 设点 B(x,y),∵平行四边形 ABCD 的两条对角线互相平分, AC 的中点 C 即 ( -2)也是 BD 的中点,∴点 D 为(5-x, - 4- y),而 D 点在直线 3x-y+1=0 上移动,则 3(5 – x) – ( - 4 – y)+1=0, 即 3x-y-20=0 2.C [解析]: 令 x ? y =t, 方程 x+y-6 x ? y +3k=0 为 t -6t+3k=0
2

5 , 2

∵方程 x+y-6 x ? y +3k=0 仅表示一条射线 ∴t -6t+3k=0 的 ? ? 0 ? k ? 3
2

3.C [解析]:∵ 入射光线与反射光线关于直线 l: y=x 对称 ∴反射光线的方程为 y -2 x +3=0,即 2x-y-3=0 4.A [解析]: 若 a=b,则直线与圆心的距离为 ∴

? 2 等于半径, 2 y ? x ? 2与圆(x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切 | a ?b?2| 2 ? 2

|a?a?2|

若 y ? x ? 2与圆(x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切,则 ∴ a ? b ? 0或a ? b ? ?4

故“a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆(x ? a) ? ( y ? b) ? 2 相切”的 充分不必要条件
2 2

5.A [解析]:∵x,y,1-x-y 是三角形的三边长 ∴x>0,y>0,1-x-y>0, 并且 x+y>1-x-y, x+(1-x-y)>y, y +(1-x-y)> x

1 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? 1 ? ∴ ?y ? ? 0 2 ? 1 ? ?x ? 2 ? 0 ?
6.A

故选 A

[解析]:由题设,在直角 ? OPA 中, OP 为圆半径 OA 的 2 倍,即 OP=4,∴点P的轨迹 2 2 方程为 x +y =4 7.B

用心

爱心

专心

-4-

[解析]:设原点为 O,圆心为 P,切点为 A、B,则 OP=6,PA=3,故 ?AOP ?

?
6

? 则这两条切线的夹角的大小为 3
8.A [解析]:设圆心 P 到直线的距离为 d,则 d=0,即 AB 是直径。 又 OA⊥OB,故 O 在圆上,即 F=0 9.C

[解析]:圆心到直线的距离为 2,又圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1,故半径 R 的取值范围是 1<R<3(画图) 10.C [解析]:直线 l 为 kx ? y ? 2k ? 0 ,又直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点 故

| k ? 2k | k ?1
2

?1

∴ ?

2 2 ?x? 4 4

( 0) 已知直线 l 过点 ? 2, ,当时,其斜率 k 的取值范围 二填空题: 11. 2x+y=0
[解析]:圆 C1:x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10与圆C2: ? 6) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50 相减就得公 ( (x 共弦 AB 所在的直线方程, 故 AB 所在的直线方程是 ? 16x ? 8 y ? 40 ? ?40,即2 x ? y ? 0 12. 2 2 ? 1 [解析]: 直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离就是圆 心到直线的距离减去半径,即

| ?2 ? 1 ? 1 | 2

?1 ? 2 2 ?1

13. y ? x ? 2或y ? ? x ? 2 [解析]:在 y 轴上截距为 2 且斜率不存在的直线显然不是切线, 故设切线方程为 y ? kx ? 2 ,则
2 2 2

| 2| k 2 ?1
2

? 1 ? k ? ?1

14.(x-1) +(y-2) =13 或(x-3) +(y-4) =25 [解析]:设圆方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则
2 2 2

用心

爱心

专心

-5-

?(?2 ? a) 2 ? (4 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 1 ?a ? 3 ? ? ? 2 2 2 ?(3 ? a) ? (?1 ? b) ? r ? ?b ? 2 或?b ? 4 ?r 2 ? 32 ? b 2 ?r 2 ? 13 ?r 2 ? 25 ? ? ?
三解答题 2 2 (15) 解:设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x-a) +(y-b) =25, ∵ (-2, 6)在圆上,∴ (a+2) +(b-6) =25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 , ∴ |PM| =r - 5 , 即(a-5) +(b-4) =20,
2 2 2 2 2 2 2

?(a ? 2) 2 ? (b ? 6) 2 ? 25 7a ? 3 联立方程组 ? , 两式相减得 7a-2b=3, 将 b= 代入 2 2 2 ?(a ? 5) ? (b ? 4) ? 20
141 414 , 相应的求得 b1=2, b2= , 53 53 141 2 414 2 2 2 ∴ 圆的方程是(x-1) +(y-2) =25 或(x- ) +(y- ) =25 53 53
得 53a -194a+141=0, 解得 a=1 或 a=
2

(16) 解:如图所示,建立平面直角坐标系, 则 A(200,0) ,B(0,220) ,C(0,300) , 直线 l 的方程为 y ? ( x ? 200) tan? , 即

x ? 200 . 设点 P 的坐标为(x,y) , 2 x ? 200 )( x ? 200 ). 则 P ( x, 2 y?
由 经 过 两 点 的 直 线 的 斜 率 公 式

x ? 200 ? 300 x ? 800 2 k PC ? ? , x 2x x ? 200 ? 220 x ? 640 2 k PB ? ? . x 2x
由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得

k ? k PC tan BPC ? PB ? 1 ? k PB ? k PC
?

160 64x 2x ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288x ? 160? 640 1? ? 2x 2x

64 ( x ? 200 ). 160 ? 640 x? ? 288 x
160 ? 640 ? 288 达到最小,由均值不等式 x
爱心 专心 -6-

要使 tanBPC 达到最大,只须 x ?

用心

160 ? 640 ? 288 ? 2 160 ? 640 ? 288, x 160 ? 640 当且仅当 x ? 时上式取得等号,故当 x=320 时 tanBPC 最大,这时,点 P 的 x 320 ? 200 ? 60. 纵坐标 y 为 y ? 2 x?
由此实际问题知,0 ? ?BPC ?

?

2

, 所以 tanBPC 最大时,∠BPC 最大,故当此人距水平

地面 60 米高时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. (17) 解:在△AOP 中,∵OQ 是?AOP 的平分线 ∴

AQ PQ

?

OA OP

?

2 ?2 1
y P Q
2

设 Q 点坐标为(x,y) 点坐标为(x0,y0) ;P

? ?x ? ∴? ?y ? ?

2 ? 2 x0 3x ? 2 ? ? x0 ? 2 1 ? 2    即? 0 ? 2 y0 3 ? y0 ? y   2 ? 1? 2
2 2 2

∵ P(x0,y0)在圆 x +y =1 上运动,∴x0 +y0 =1 即
2

? 3x ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? y? ? 1 ? 2 ? ?2 ?
2 2

O

A

x



2? 4 ? 2 ?x ? ? ? y ? 3? 9 ?
此即 Q 点的轨迹方程。 (18) 圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3
2 2 2

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥ l,∴kCM?kl= -1 即 a+b+1=0,得 b= -a-1 ∴kCM= ① CM=

b?2 ? ?1 , a ?1

直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y+b-a=0

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM

MB ? CB ? CM
2 2

2

?9?

(b ? a ? 3) 2 , OM 2


2

? a2 ? b2

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2

用心

爱心

专心

-7-

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ?

3 或a ? ?1 2

3 5 , 时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0

用心

爱心

专心

-8-


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