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人教A版高中数学必修二课件:4-2直线、圆的位置关系 第4课时 圆与圆的位置关系及应用_图文

第 4 课时 圆与圆的位置关系及应用 序号 1 2 3 知识目标 掌握圆和圆的五种位置 关系及其判定方法 观察两圆位置关系的变 化过程,体会两圆的“位 置关系”与“数量关 系”之间的联系 掌握用两圆的圆心距与 半径来判断两圆的位置 关系 能力素养 理解并掌握圆和圆的位置 阅读教材,小组内讨论 关系及其判定方法 比较几何法与代数法两 通过观察图形,理解并掌握 种判断圆和圆的位置关 圆与圆的位置关系,培养数 系的方法的优缺点 形结合的思想 合作探究,小组交流学 理解两种相切,区分两种相 习 离.培养直观想象的素养 学法建议 重点:判断圆和圆的位置关系,求公共弦长问题. 难点:用坐标法判断圆和圆的位置关系. 古时候,人们不懂月食发生的科学道理,像害怕日食一样,对月食 也心怀恐惧.传说,16 世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当 地的土著人发生了冲突.哥伦布和他的水手们被困在一个墙角,断粮 断水,情况十分危急.懂点天文知识的哥伦布知道这天晚上要发生月 全食,就向土著人大喊: “再不拿食物来,就不给你们月光!” 到了晚上, 哥伦布的话应验了,果然没有了月光.土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥 伦布化干戈为玉帛.你能从月食过程归纳出圆与圆有哪几种位置关系 呢? 预学 1:判断圆与圆的位置关系的方法 (1)几何法.若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则两 圆的位置关系的判断方法如下: 位置 外离 外切 相交 内切 内含 关系 图示 d与 r1, r2 的关 系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d= |r1-r2| d< |r1-r2| (2)代数法.联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆 的位置关系如下表所示: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 1 0 1 0 外切或 相交 相离 内切 2 2 议一议:已知圆 C1:(x-1)2+(y-2)2=4,圆 C2:(x+2)2+(y+2)2=9,求两 圆的位置关系. 【解析】∵C1(1,2),r1=2,C2(-2,-2),r2=3,∴|C1C2|=5,r1+r2=5,故 两圆外切. 预学 2:判断两个圆公切线的条数 (1)当两个圆相离时,有四条公切线. (2)当两个圆外切时,有三条公切线. (3)当两个圆相交时,有两条公切线. (4)当两个圆内切时,有一条公切线. (5)当两个圆内含时,无公切线. 预学 3:两个圆相交时,求相交弦的方程 设圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得方程组 2 + 2 + 1 x + 1 y + 1 = 0, 2 + 2 + 2 x + 2 y + 2 = 0, 两个圆的方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0,即为两个圆相 交弦所在的直线方程. 议一议:求圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y25=0 的公共弦的直线方程. 【解析】由两圆方程相减得,公共弦所在的直线方程为 4x+3y-2=0. 预学 4:两个圆相交时,求经过两个圆交点的圆系方程 2 2 2 2 设圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0,C2:x +y +D2x+E2y+F2=0,则经过两个圆 2 2 交点的圆系方程可表示为 x +y +D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 对该方程要注意两点:一是该方程包含圆 C1,不包含圆 C2,具体应 用时要注意检验 C2 是不是问题的解;二是若已知两个圆相切,则在圆 系方程中的任何两个圆一定相切. 1.已知两个圆的圆心距是 6,两个圆的半径分别是方程 x2-6x+8=0 的 两个根,则这两个圆的位置关系是( ). A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【解析】 由题意可知两个圆半径的和为 6,与圆心距相等,故两个 圆外切. 【答案】B 2.以点(2,-2)为圆心且与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 相外切的圆的方程是 ( ). A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=16 D.(x-2)2+(y+2)2=16 【解析】将已知圆化成标准形式为(x+1)2+(y-2)2=4,得圆心 C(-1,2),半径 r=2.设所求圆的半径为 R,由两圆外切得 (2 + 1) + (-2-2) =2+R,解得 R=3.故所求圆的方程为 (x-2) +(y+2) =9. 【答案】B 2 2 2 2 3.已知圆 x2+y2=10 和圆(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程为 . 【解析】两圆方程相减得 2x+6y=0,即直线 AB 的方程为 x+3y=0. 【答案】x+3y=0 4.已知圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆有几条 公切线? 【解析】将圆 C1,C2 化成标准形式分别为圆 C1:(x+1)2+(y+3)2=1, 2 2 圆 C2:(x-3) +(y+1) =9, ∴两圆圆心分别为 C1(-1,-3),C2(3,-1),半径分别为 r1=1,r2=3. ∵|C1C2|= (-1-3) + (-3 + 1) =2 5>r1+r2=1+3,∴两圆相外离. 故两圆有四条公切线. 2 2 探究 1:圆和圆位置关系的判定 【例 1】当实数 k 为何值时,圆 C1:x2+y2+4x-6y+12=0 与圆 C2:x2+y2-2x-14y+k=0 相交、相切、相离? 【方法指导】求圆 C1 的半径 r1,求圆 C2 的半径 r2,求|C1C2|,利用 |C1C2|与|r2-r1|和 r2+r1 的关系求 k. 【解析】将两个圆的一

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