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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 推理与证明章末检测(B)苏教版选修1-2


第 2 章 推理与证明(B)
(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ac a a·c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b·c b 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是________. 2.数列 1,1,2,3,x,8,13,21,?中的 x 值为________. 3.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,?,则 a8= ________. 4.p= ab+ cd,q= ma+nc·

b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大 m n

小关系为________. 5.凡自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.对以上三段论推理下列说法正确的是 __________(请填写相应的序号). ①正确; ②推理形式不正确; ③两个“自然数”概念不一致; ④“两个整数”概念不一致. 6.观察下列等式: 1 5 3 C5+C5=2 -2, 1 5 9 7 3 C9+C9+C9=2 +2 , 1 5 9 13 11 5 C13+C13+C13+C13=2 -2 , 1 5 9 13 17 15 7 C17+C17+C17+C17+C17=2 +2 , ? 由以上等式推测到一个一般的结论: * 1 5 9 4n+1 对于 n∈N ,C4n+1+C4n+1+C4n+1+?+C4n+1=______________. 7.对于等差数列{an}有如下命题:“若{an}是等差数列,a1=0,s、t 是互不相等的正整 数,则有 (s- 1)at = (t - 1)as”.类比此命题,给出等比数列 {bn} 相应的一个正确命题是: “__________________________________________”. 8.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f(x+2)=f(x+1)-f(x),如果 f(1)= 3 lg ,f(2)=lg 15,则 f(2 010)=__________. 2 9.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0~1 三角数表.从上往下 数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全 行的数都为 1 的是第________行;第 61 行中 1 的个数是________. 第1行 1 1 第2行1 0 1 第3行1 1 1 1 第4行1 0 0 0 1 第5行1 1 0 0 1 1 ????
-1-

10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题: 函数 f(x)在[0,1]上有意义, 且 f(0)=f(1), 1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .那么 2 它的反设应该是______________________________. 11.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? x1,x2,?,xn,有 ≤f? ?,已知函数 y=sin x

n

?

n

?

在 区 间 (0 , π ) 上 是 凸 函 数 , 则 在 △ ABC 中 , sin A + sin B + sin C 的 最 大 值 为 _________________________. n+1 ?-1? n 12.若不等式(-1) a<2+ 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是

n

________. 13 .由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 __________________________________________________. 14.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1 和在静水中的速度 v2 的大小 关系为_____________________________________________________________________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)已知 a、b、c 是互不相等的正数,且 abc=1, 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + .

a b c

16.(14 分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行.

17.(14 分)已知 a>0,求证:

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1

1

-2-

18.(16 分)在不等边△ABC 中,A 是最小角, 求证:A<60°.

19.(16 分)先解答(1),再通过类比解答(2). ? π ? 1+tan x; (1)求证:tan?x+ ?= 4 ? 1-tan x ? 1+f?x? (2)设 x∈R 且 f(x+1)= ,试问 f(x)是周期函数吗?证明你的结论. 1-f?x?

20.(16 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn=

Sn * (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

-3-

第2章

推理与证明(B) 答案

1.2 解析 只有①②对,其余错误. 2.5 解析 每相邻两数相加等于后面的数. 3.512 解析 由 a1,a2,a3,a4 的形式可归纳, 7×?1+7? ∵1+2+3+4+?+7= =28, 2 ∴a8 的首项应为第 29 个正奇数,即 2×29-1=57. ∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71 8×?57+71? = =512. 2 4.p≤q 解析 q=

mad nbc ab+ + +cd n m

≥ ab+2 abcd+cd= ab+ cd=p. 5.① 解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的. 4n-1 n 2n-1 6.2 +(-1) 2 s-1 t-1 7.若{bn}是等比数列,b1=1,s,t 是互不相等的正整数,则有 bt =bs 解析 由类比推理可得. 8.-1 3 解析 由 f(1)=lg =lg 15-1,f(2)=lg 15, 2 f(3)=f(2)-f(1)=1, f(4)=f(3)-f(2)=1-lg 15, f(5)=f(4)-f(3)=-lg 15, f(6)=f(5)-f(4)=-1, f(7)=f(6)-f(5)=lg 15-1, f(8)=f(7)-f(6)=lg 15,?, 可以猜想到,从 f(7)开始,又重复了上述数值, 即 f(x+6)=f(x), ∴f(2 010)=f(335×6)=f(6)=-1. n 9.2 -1 32 解析 (1)第一次全行的数都是 1 的是第 1 行,第二次全行的数都是 1 的是第 3 行,第三
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次全行的数都是 1 的是第 7 行,第 n 次全行的数都是 1 的是第 2 -1 行. (2)1 1 0 0 ? 0 0 1 1??第 61 行 1 0 1 0 ? 0 1 0 1 ??第 62 行 1 1 1 1 ? 1 1 1 1??第 63 行 由图可知第 61 行的数的特点是两个 1 两个 0 交替出现,最后两个数为 1,所以在第 61 行 的 62 个数中有 32 个 1. 10.“? x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|< 1 |x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 3 3 11. 2 解析 ∵f(x)=sin x 在区间(0,π )上是凸函数, 且 A、B、C∈(0,π ), f?A?+f?B?+f?C? ?A+B+C? ?π ? ∴ ≤f? ?=f? ?, 3 ? 3 ? ?3? 即 sin A+sin B+sin C≤3sin π 3 3 = , 3 2

n

3 3 所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为 . 2 3 12.-2≤a< 2 1 解析 当 n 为偶数时,a<2- ,

n

1 1 3 3 而 2- ≥2- = ,∴a< . n 2 2 2 1 当 n 为奇数时,a>-2- ,

n

1 而-2- <-2,∴a≥-2.

n

3 综上可得-2≤a< . 2 13.正棱锥各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比. 14.v1<v2 解析 设甲地到乙地的距离为 S,船在静水中的速度为 v2,水流速度为 v(v2>v>0),则船 2 2 S S 2v2S 2S v2-v 在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间 t= + = 2 2,平均速度 v1= = . v2+v v2-v v2-v t v2 2 v2 v2 2-v ∵v1-v2= -v2=- <0,

v2

v2

∴v1<v2. 15.证明 ∵a、b、c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1 ∴ a+ b+ c= + +

bc

ca

ab

1 1 1 1 1 1 + + + b c c a a b < + + 2 2 2 1 1 1 = + + .

a b c

-5-

1 1 1 故 a+ b+ c< + + .

a b c

16.解 (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交. 结论是正确的:证明如下: 设 α ∥β ,且 γ ∩α =a, 则必有 γ ∩β =b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ ∥β , 又 α ∥β ,∴α ∥γ ,与 γ ∩α =a 矛盾, ∴必有 γ ∩β =b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误 的,这两个平面也可能相交. 1 1 17.证明 要证 a2+ 2- 2≥a+ -2,

a

a

只要证 ∵a>0, 故只要证?

a2+ 2+2≥a+ + 2. a a

1

1

? ?

? ?2 2 a2+ 2+2? ≥?a+a+ 2? , a ? ? ?
1 1

?

1 2 即 a + 2+4

a

a2+ 2+4 a

1

1 ? 1? 2 ≥a +2+ 2+2 2?a+ ?+2,

a

?

a?

从而只要证 2

a2+ 2≥ 2?a+ ?, a ? a? a?

1

?

1?

1? ? 2 1? ? 2 只要证 4?a + 2?≥2?a +2+ 2?,

?

?

a?

1 2 即 a + 2≥2,

a

而上述不等式显然成立,故原不等式成立. 18.证明 假设 A≥60°,∵A 是不等边三角形 ABC 的最小角,∵B>A≥60°,C>A≥60°, ∴A+B+C>180°, 与三角形内角和等于 180°矛盾, ∴假设错误, 原结论成立, 即 A<60°. π tan x+tan 4 π ? ? 19.(1)证明 tan?x+ ?= 4? π ? 1-tan xtan 4 1+tan x = ; 1-tan x (2)解 f(x)是以 4 为一个周期的周期函数. 证明如下: 1+f?x+1? ∵f(x+2)=f((x+1)+1)= 1-f?x+1? 1+f?x? 1+ 1-f?x? 1 = =- , 1+f?x? f?x? 1- 1-f?x? 1 ∴f(x+4)=f((x+2)+2)=- =f(x), f?x+2? ∴f(x)是周期函数.

-6-

?a1= 2+1, 20.(1)解 由已知得? ?3a1+3d=9+3 2,
∴d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). (2)证明 由(1)得 bn= =n+ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br (p、q、r∈N 且互不相等)成等比数列,则 bq=bpbr, 2 即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2), 2 ∴(q -pr)+ 2(2q-p-r)=0. 2 ?q -pr=0, ? * ∵p、q、r∈N ,∴? ?2q-p-r=0, ? ?p+r?2=pr,(p-r)2=0, ∴? ? ? 2 ? ∴p=r,这与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
* 2

Sn n

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