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高中数学人教A版必修二 课件:3.3.2 两点间的距离


追求卓越,崇尚一流。 主编:杨树军 【学习目标】 1.掌握在平面直角坐标系下两点间的距离公式. 2.初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题. 两点间的距离公式 已 知 平 面 上 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) , 则 |P1P2| = 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? 1 2 1 2 ______________________. 练习:已知点 A(2,a),B(1,3),且|AB|= 10,则 a=( D ) A.0 C.3 B.6 D.0 或 6 【问题探究】 1.若两点 A(x1,y1),B(x2,y2)都在 x 轴或都在 y 轴上,则两 点间的距离公式是怎样的? 答案:若两点都在 x 轴上,则|AB|=|x1-x2|;若两点都在 y 轴上,则|AB|=|y1-y2|. 2. 若两点 A(x1,y1),B(x2,y2)横坐标相同或纵坐标相同, 则两点间的距离公式是怎样的? 答案:若两点的横坐标相同,则|AB|=|y1-y2|;若两点的纵 坐标相同,则|AB|=|x1-x2|. 题型 1 两点间距离公式的正用 【例 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,-1), B(-1,3),C(3,0).求证:△ABC 是直角三角形. 证明:由已知,得 |AB|= ?-1-1?2+[3-?-1?]2=2 |AC|= ?3-1?2+[0-?-1?]2= 5, |BC|= [3-?-1?]2+?0-3?2=5. 因为|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形. 5, 【变式与拓展】 1.已知 A(1-t,1),B(2,t)(t∈R),则 A,B 两点间距离的最 小值是( A ) A. 2 B.2 2 C. 2 D.1 解析:|AB|= ?1-t-2?2+?1-t?2= 2t2+2, ∴当 t=0 时,|AB|有最小值 2. 题型 2 两点间距离公式的逆用 【例 2】 已知点 A(4,12),在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离 等于 13,求点 P 的坐标. 解:设点 P(x,0),则|PA|= ?x-4?2+?0-12?2=13,所以 (x-4)2+144=169,所以(x-4)2=25,解得x=9或x=-1,所 以点 P 的坐标为(9,0)或(-1,0). 【变式与拓展】 2.已知点 M(x,-4)与 N(2,3)间的距离为 7 解:由|MN|=7 2,求 x 的值. 2,整理, 2,得 ?x-2?2+?-4-3?2=7 得x2-4x-45=0,解得x1=9或x2=-5. 故所求 x 的值为 9 或-5. 题型 3 解析法的应用 【例 3】 已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线, 证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 证明:如图3-3-1,以O 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴, BC 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 图 3-3-1 设点 A(a,b),B(-c,0),C(c,0),由两点间距离公式,得 |AB|= ?a+c?2+b2, |AC|= ?a-c?2+b2, |AO|= a2+b2,|OC|=c. ∵|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2), |AO|2+|OC|2=a2+b2+c2, ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 【变式与拓展】 3. 在△ ABC 中,点 D 是 BC 边上任意

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