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商丘市2015年高三第二次模拟考试数学(文科)参考答案

商丘市 2015 年第二次模拟考试 高三数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

BACA

CDBC

DABD
5 2
10 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

(13)

3 2

(14) 6? ? 4

(15)

(16)

三、解答题(共 70 分)

(17)解: (I)? 等差数列 ?a n ?中 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,

? S n ? na1 ?

n?n ? 1? n2 ? n d? 2 2 .

……………………………………………5 分

? bn ?

2 n ?n.
2

………………………………………………………………6 分 …………………………………………………8 分

(II) bn ?

2 2 1 1 ? ? 2( ? ), n ? n n(n ? 1) n n ?1
2

? 1 1 1 1 ? ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3 3 4
? 2(1 ? 1 2n )? . n ?1 n ?1

………………………………………10 分

…………………………………………………………………12 分

(18)解: (Ⅰ)A 组学生的平均分为

94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 , ? 85 (分) 5

…………………………………1 分
91 ? 93 ? 83 ? x ? 75 ? 86 , 5

∴ B 组学生平均分为 86 分,设被污损的分数为 x,由

∴ x ? 88 , ……………………………………………………………………………………3 分 故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, …………………………………………4 分 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? (Ⅱ)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学,其分数组成的基本事件 ( m, n ) 有(94,88),(94,86),(94,80), (94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共 10 个,………………8 分 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足 | m ? n |? 8 的事件有 (94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77)共 6 个.……………………10 分 故学生得分 m, n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ?
高三数学(文科)参考答案

3 . ………………………………6 分 5

6 3 ? . ………………………………………12 分 10 5
第 1 页(共 5 页)

(19) (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O ,连接 PO, CO .

O ? A B ∵ AP ? BP , ∴P

,

……………………1 分

又四边形 ABCD 是菱形,且 ?BCD ? 120? , ∴ V ACB 是等边三角形,∴ CO ? AB .…………2 分 又 CO I PO ? O ,∴ AB ? 平面 PCO , 又 PC ? 平面PCO ,∴ AB ? PC . ……………4 分 (II)

PA ? PB ? 2, AB ? 2,??APB ? 90 , ? PO ? 1 .…………………………………6 分
?ABC 是边长为 2 的正三角形,?OC ? 3, 又 PC ? 2 ,

? PO 2 ? CO 2 ? PC 2 ,? PO ? OC ,又 PO ? AB , PO ? 平面 ABC , ………………8 分
四边形 ABCD 是菱形,? B, D 到平面 PAC 的距离相等,设为 h.

S?PAC ?

1 2

2

22 ? (
1 3

3 2 2 2 7 2 ? 3. , S?ABC ? ) ? 4 2 2
1 S ?ABC PO , 3
………………………………………10 分

由 VB? PAC ? VP? ABC ,? S ?PAC h ?

?

7 2 21 h ? 3 ?1 ? , h? . ……………………………………………………………12 分 2 7
1 x 1 2 ) ? , …………………1 分 2 x x
……………………2 分

(20)解: (I) a ? 2 时, f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x ,? f ?( x) ? 2(1 ?

? f ?(1) ? 2, 又 f (1) ? 0, ? 在点 (1, 0) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? 2,

? 切线方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .……………………………………………4 分
(II)

a 1 a g ( x) ? ? , f ( x) ? g ( x) ,? a ( x ? ) ? 2 ln x ? ? , x x x 2 ln x , ……………………………………………………6 分 ?ax ? 2ln x, x ??1, e? ,? a ? x 2 ln x ) min , x ? ?1, e ? , 依题意 a ? ( ……………………………………………………7 分 x 2 ln x 2(1 ? ln x) , h?( x) ? . 令 h( x ) ? ……………………………………………………8 分 x x2
由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时, h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, e? 上为增函数.……………9 分

? h( x)min ? h(1) ? 0.
? a ? 0.

…………………………………………………………………………10 分

…………………………………………………………………………………………12 分

(21)解: (Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
高三数学(文科)参考答案 第 2 页(共 5 页)

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a (*)…………1 分

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b ? c ,a ?

2b ? 2c ,
x2 ? y 2 ? 1. 2

代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ?

2b ? 2 ,

故所求椭圆方程为

…………………………………………………………4 分

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , ∴ ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ,∴ k 2 ? 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? 由 OS ? OT ? t OP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴, P 点在椭圆上适合题意; ……………7 分
2

?

?

?

??

?

1 . 2
……………………6 分

8k 8k 2 ? 2 . , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ,得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?


1 ?4 k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? .………………………………………………………8 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

将上式代入椭圆方程得:

32k 4 16k 2 ? ? 1, t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得: t ?
2

16k 2 1 2 ,由 k 2 ? 知, 0 ? t ? 4 ,……………………………………10 分 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0?

(0, 2) ,……………………………………………………………………11 分
……………………………………………………………………12 分

综上可得 t ? (?2,, 2) .

(22)解: (Ⅰ)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A , ∴ ?EAD ? ?DCA .……………………………………2 分 又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA , ∴ AD ? AB . ……………………………………………5 分

C
D E
?O

B P

A

高三数学(文科)参考答案

第 3 页(共 5 页)

(Ⅱ)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O , ∴ ?D ? ?PBA . …………………………………………6 分

又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA .…………………………………………8 分 ∴

DA DC DA DC ? ? ,即 , BP BA BP DA
2

∴ DA ? DC ? BP . ………………………………………10 分 (23) 解: (Ⅰ ) Q ? sin(? ?

?
6

)?

1 3 1 1 ,? ? ( sin ? ? cos ? ) ? ,………………………………3 分 2 2 2 2

?

3 1 1 y ? x ? ,即 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 .………………………………………………5 分 2 2 2

(Ⅱ)解法一:由已知可得,曲线上的点的坐标为 (2 ? 2cos ? , 2sin ? ) , 所以,曲线 C 上的点到直线 l 的距离

d?

2 ? 2 cos ? ? 2 3 sin a ? 1 2

4 cos(? ? ) ? 3 7 3 ? ? . ……………………………10 分 2 2

?

解法二:曲线 C 为以 (2, 0) 为圆心, 2 为半径的圆.圆心到直线的距离为 所以,最大距离为

3 , 2

3 7 ?2? . 2 2

……………………………………………………………10 分 ……………………………………1 分 ……………………………………2 分

(24) 解: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 ,

?3 ? m ? 0 , m ? 3 .………………………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

(方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,
2 2 2

2

2

2

2

2

2

∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .………………………………………………10 分 2 2

.

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? (a ?1 ? b ?1) ? (a ? b) ? 9 ,
2 2 2 2 2 2

∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .………………………………………………10 分 2 2
高三数学(文科)参考答案 第 4 页(共 5 页)

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a , ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 2 2 2 2

3 2

9 9 ? , 2 2

∴ a ? b 的最小值为
2 2

9 . 2

………………………………………………………………10 分

高三数学(文科)参考答案

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