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高一数学函数的单调性和奇偶性


第十二课时 函数的单调性和 奇偶性
【学习导航】 学习要求: 1、熟练掌握函数单调性,并理解 复合函数的单调性问题。 2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。 3、学会对函数单调性,奇偶性的 综合应用。 【精典范例】 一、利用函数单调性求函数最值 例 1、已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈ R 均为 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 2 时,f(x)<0,f(1)= - . 3 (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调 性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大、小 值。 思维分析:抽象函数的性质要紧扣 定义,并同时注意特殊值的应用。 解:(1)令 x=y=0,f(0)=0,令 x=- y 可得: f(-x)= -f(x), R 上任取 x1<x2, 在 则 x2-x1>0, 所 以 f(x2) - f(x1)=f(x2)+f( - x1)=f(x2-x1). 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0。 又因为 x>0 时 f(x)<0, 所以 f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1). 由定义可知 f(x)在 R 上是减函数. (2)因为 f(x)在 R 上是减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上也是减函数. 所以 f(-3)最大,f(3)最小。 所以 f(-3)= -f(3)=2 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最 小值为-2。

二、复合函数单调性 例 2、求函数 y= x 2 ? 2 x ? 3 的单 调区间,并对其中一种情况证明。 思维分析:要求出 y= x 2 ? 2 x ? 3 的单调区间,首先求出定义域,然 后利用复合函数的判定方法判断. 解:设 u=x2-2x-3,则 y= u . 因为 u≥0,所以 x2-2x-3≥0.所 以 x≥3 或 x≤-1. 因为 y= u 在 u≥0 时是增函数, 又当 x≥3 时,u 是增函数, 所以当 x≥3 时,y 是 x 的增函数。 又当 x≤-1 时,u 是减函数, 所以当 x≤-1 时, 是 x 的减函数。 y 所以 y= x 2 ? 2 x ? 3 的单调递增区 间是[3,+ ∞),单调递减区间是(- ∞,-1]。 证明略 三、利用奇偶性,讨论方程根情况 例 3、已知 y=f(x)是偶函数,且图 象与 x 轴四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是( ) A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定 思维分析:因为 f(x)是偶函数且图 象与 x 轴有四个交点,这四个交点 每两个关于原点一定是对称的,故 x1+x2+x3+x4=0. 答案:C 四、利用奇偶性,单调性解不等式 例 4、设 f(x)是定义在[-2,2]上的 偶函数, x≥0 时, 当 f(x)单调递减, 若 f(1-m)<f(m)成立, m 的取值 求

范围。 思维分析: 要求 m 的取值范围,就 要列关于 m 的不等式,由 f(1- m)<f(m)且 f(x)是偶函数知 1-m 与 m 的符号不能确定,由偶函数的性 质可按 1-m 与 m 同号;1-m 与 m 异号两种情况,列四个不等式 组,计算非常繁琐,但考虑到偶函 数 f(x)=f(|x|), 可将问题转化为只考 虑 x>0 时的情况,从而使问题简单 化。 解:因为函数 f(x)在[-2,2]上是偶 函数,则由 f(1-m)<f(m)可得 f(|1 -m|)<f(|m|). 又 x≥0 时,f(x)是单调减函数,
?| 1 ? m |? 2, ? 所以 ?| m |? 2, 。 ?| 1 ? m |?| m | ?

1 解之得:-1≤m< . 2

追踪训练
1、函数 f(x)= 2 x ?1 ? x 的值域是 ( A.[ )
1 ,+∞) 2 1 ] 2

B.( - ∞ , D.[1,+ ∞)

3、设 f(x)在 R 上是偶函数,在区 间 ( - ∞ , 0) 上 递 增 , 且 有 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1), a 的取 求 值范围。 答案:0<a<3 4、已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函 数, 它们的定义域均为{x|x∈R 且 x 1 ≠ ± 1} , 若 f(x)+g(x)= ,则 x ?1 f(x)=________,g(x)=__________ 1 x 答案:f(x)= 2 ,g(x)= 2 x ?1 x ?1 . ax ? b 5、函数 f(x)= 是定义在(-1, 1? x2 1 2 1)上的奇函数,且 f( )= . 2 5 (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是 增函数; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<0; x 答案:(1)f(x)= 1? x2 (2)证明略 1 (3)0<t< 2

C.(0,+∞) 答案:A

2、下列函数中,在区间(-∞,0) 上为增函数的是( ) 1 A.y=1+ B.y= - x (x+1)2 C.y= x 答案:D D.y=x3


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