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1.3.2函数的极值与导数(完美版)


知识回顾:
1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有
导数,如果在 这个区间内f/(x) >0,那么函数y=f(x) 在 为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/(x)<0, 那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/ f (x)

;

③解不等式 f/(x)>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/(x)<0 得f(x)的单调 递减区间.

3.思考: 观察下图,当t=t0时距水面的高
关注用导数本质及其几何意义解决问题

度最大,那么函数 h(t)在此点的导数是多 少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地, 导数的符号有什么变化规律?

观察图象中,点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系?

y

y ? f ?x ?

a o b
x

新课讲解——函数的极值:
观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出下面的结论: 函数在X=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大,我 们说f(0)是函数的一个极大值; 函数在X=2的函数值比它附近 所有各点的函数值都小,我们 说f(2)是函数的一个极小值。
0

y

2

x

极值的定义
点a叫做函数y=f(x)的极小值点, 函数值f(a)称为函数y=f(x)的极小值, 点b叫做函数y=f(x)的极大值点, 函数值f(b)称为函数y=f(x)的极大值 。 极大值点极小值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值 注:极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值。

函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的,是局部性质。因此一个函数在其 整个定义区间上可能有多个极大值或极小 值,并对同一个函数来说,在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。

观察函数y=f(x)的图像
y

y ? f ?x ?

C

d

e

o
f

g

h

x

探究

1、图中有哪些极值点?极值点唯一吗? 2、极大值一定比极小值大么?

探究函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?

y

y ? f ?x ?

C

d

e

o
f

g

h

x

结论:极值点处导数值为0

探究极值点两侧导数符号有何规律?
y 极大值点两侧

y?f(x)
f ?(x)>0 f ?(x)<0

f ?(x)<0 O x1

f ?(x)>0

a

x2

b

x

极小值点两侧

结论 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的 极值点,f(x0)是极值, 如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大 值点,f(x0)是极大值; 如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小 值点,f(x0)是极小值. 极大值与极小值统称为极值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率 为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.

y
f ?( x0 ) ? 0

y

f ?( x ) ? 0
o a

f ?( x ) ? 0

f ?( x) ? 0
f ?( x0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0
x

X0

0

b

x

o

a

X0

b

如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f ?( x) ? 0 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
f ?( x ) ? 0.

同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的 左侧附近f(x)只能是减函数,即 f ?( x ) ? 0 ;在x0的右侧附近 只能是增函数,即f ?( x ) ? 0 .

练习:
下图是导函数 y

y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) y ? f ?( x)
x3 x x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x6

b

探究 1、导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

2、函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件分别是什么?
可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点. 例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值 点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零. 导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件, 其充分条件是在这点两侧的导数异号.

如何列表,列表中的基本元素有哪些? 区间分配依据是什么? 各区间对应导数的符号如何判定
2 ? y ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2). 解:

1 3 例1、求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3

令 y? ? 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0 极小值-4/3 (2,+∞) + ↗

因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.

求解函数极值的一般步骤 (1)确定函数的定义域,求导数 f ?(x) (2)求方程 f ?(x)=0 的根 (3)用方程 f ?(x)=0 的根,顺次将函数的定义域分 成若干小开区间,并列成表格. (4)检查 f ?(x) 在方程根左右的值的符号,如果 左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极 小值。

a2 例2、求函数 f ( x ) ? x ? x (a ? 0) 的极值.

解:函数的定义域为(? ?,0) ? (0,? ?),
a 2 ( x ? a )( x ? a ) f ?( x ) ? 1 ? 2 ? . 2 x x 令 f ?( x ) ? 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).

当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)

f’(x)
f(x)

+


0
极大值-2a



-

0

+


↘ 极小值2a

故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.

6x 练习:求函数 y ? 1 ? x 2 的极值.

6(1 ? x 2 ) . 解: y ? ? 2 2 (1 ? x ) 令 y? =0,解得x1=-1,x2=1.

当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极大值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极小值3 (2,+∞) ↘

因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.

2 例 3、 已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=- 时都 3
3 2

取得极值. (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2

练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值. 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①

又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②

? a?4 ?a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或? ?b ? ?11 ? b ? 3 2 当a=-3,b=3时, f ?( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ,此时f(x)在x=1处无

极值,不合题意. 2 ? f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ?( x ) ? 0 ;x>1时, f ?( x ) ? 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.

练习:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= ?1处有极值,且极大值 为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
4 2 2 2 ? f ( x ) ? 5 ax ? 3 bx ? x ( 5 ax ? 3b). 解:

由题意, f ?( x ) ? 0应有根 x ? ?1 ,故5a=3b,于是: f ?( x) ? 5ax2 ( x 2 ? 1). (1)设a>0,列表如下: x
f ?( x )

( ??,?1)

-1

(-1,1)

1

(1,? ?)

+


0
极大值




0
极小值

+


f(x)

?4 ? f (?1) ?? a ? b ? c ? 4 由表可得? ,即 ? . ? 0 ? f (1) ? a?b?c ? 0

又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.

(2)设a<0,列表如下:
x
f ?( x )

( ??,?1)

-1 0 极小值

(-1,1) ≥0 ↗

1 0 极大值

(1,? ?)





f(x)

? 4 ? f (1) ? a?b?c ? 4 由表可得? ,即 ? . ?0 ? f (?1) ?? a ? b ? c ? 0

又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.

ax ? b f ( x ) ? 2 (a ? 0). 例4、已知: x ?1 (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.
a( x 2 ? 1) ? 2 x(ax ? b) ? ax2 ? 2bx ? a ? . 解:(1) f ?( x ) ? 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

令 f ?( x ) ? 0 ,得-ax2-2bx+a=0,Δ =4b2+4a2>0, 故 f ?( x ) ? 0 有不相等的两实根α、β,设α<β.

又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a<0,g(x)的图象开口 向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负. 注意到 f ?( x ) 与g(x)的符号相同,可知α为极小值点, β为极大值点.

?a? ? b ? ?? 2 ? 1 . (2)由f(α)=-1和f(β)=1可得: ? 2 ? a? ? b ? ? ? 1

两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:
2b ? ? ? ? a ? ( ? ) ? 2b ? 0,? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0, a 2b ? ? 0,? b ? 0. a 从而方程 f ?( x ) ? 0 可化为x2=1,它的两根为+1和-1,
2 2

即α=-1,β=1. a? ? b ? a ? ? ?1 ? a ? 2. 由 f (? ) ? 2 ? ?1 2 故所求的值为a=2,b=0.

例5、已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ?( x ) ? 0 ; ②当x<2时, f ?( x ) ? 0 ;③ f ?(2) ? 0 . 求证:函数y=f(x2)在 x ? 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g?( x) ? f ?( x 2 ) ? 2 x.
2 故当 x ? 2 时,x2>2,由条件①可知 f ?( x ) ? 0 ,即 : g?( x) ? f ?( x 2 ) ? 2 x ? 0;

当 0? x? 2 g?( x) ? f ?( x 2 ) ? 2 x ? 0;

时,x2<2,由条件②可知

f ?( x 2 ) ? 0,即:
为什么要 加上这一 步?

又当 x ? 2 时, g?( 2 ) ? f ?(2) ? 2 2 ? 0.

所以当 x ? 2 时,函数y=f(x2)取得极小值.

例6、直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相 异的三个公共点,则a的取值范围是________. 解析:令f′(x)=3x2-3=0, 得x=±1, 可求得f(x)的极大值为f(-1)=2, 极小值为f(1)=-2, 如图所示,-2<a<2时,恰有三个不同公共点.

答案:(-2,2 )

归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 3、求极值的步骤。
思想方法总结: 观察、转化、数形结合。


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