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【创新设计】2015届高考数学 4-1 平面向量的概念及其线性运算题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版


第1讲

平面向量的概念及其线性运算

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE → → → → → → C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE → → → 解析 由图可知EF=OF-OE. ( ).

答案 B → → → 2. (2014· 汕头二模)如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于( ).

A.0 → C.AD

→ B.BE → D.CF

→ → → → → → → → → 解析 因为 ABCDEF 是正六边 形,故BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF =CF. 答案 D 3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ).

解析 若 a+b=0,则 a= -b,所以 a∥b.若 a∥b,则 a=λb,a+b=0 不一定成立,故 前者是后者 的充分不必要条件. 答案 A 4.(2014· 开封模拟)下列命题中,正确的是 ( ).
1

A.若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b B.若 a· b= 0,则 a=0 或 b=0 C.若 ka=0,则 k=0 或 a=0 D.若 a,b 都是非零向量,则|a+b|>|a-b| 解析 对于 A,显然不能得知 a=b 或 a=-b,因此选项 A 不正确;对于 B,易知不正 确;对于 C,易知正确;对于 D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a· b,显然 a· b 与零的大小 关系不确定,因此选项 D 不正确.综上所述,选 C. 答案 C → → → 5.(2014· 兰州质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ ABC 的面积比为 1 A. 5 C. 3 5 2 B. 5 4 D. 5 ( ).

→ → → → → → → → 解析 设 AB 的中点为 D,由 5AM=AB+3AC,得 3AM-3AC=2AD-2AM,即 3CM= → → 3→ 2MD.如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD= CD,也就是△ABM 与△ABC 对于边 5 3 AB 的两高之比为 3∶5,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ,选 C. 5

答案 C 二、填空题 6.(2014· 湖州月考)给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → → ⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上. 其中不正确 命题的序号是________.

2

→ → 解析 ①中,∵向量AB与BA为相反向量, ∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量,则满足 a 与 b 平行,但 a 与 b 的方向不一定相同或相反,∴此 命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同,∴ 该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误. → → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是共线向量,则 A,B,C,D 四 点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 ②④⑤ → → → → → 7.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=________(用 a,b 表示). → → → → → → → → 3 1 解析 由AN=3NC,得 4AN=3 AC=3(a+b),AM=a+ b,所以MN=AN-AM= (a+ 2 4 1 ? 1 1 b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 1 1 答案 - a+ b 4 4 → → → 8.(2014· 泰安模拟)设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a -2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________. → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A,B,D 三点共线, → → ? ?2=2λ, ∴存在实数 λ,使AB=λBD.即? ∴p=-1. ?p=-λ, ? 答案 -1 三、解答题 → 9.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设AB → → → =a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.

3

→ 1 → → 1 1 解 AD= (AB+AC)= a+ b; 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC) 3 3 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 = AB+ (AC-AB)= AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3 3 3 1 10.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, (a 3 +b)三向量的终点在同一条直线上 ? 解 → → → 1 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b), 3

→ → → → → → 2 1 ∴AC=OC-OA=- a+ b,AB=OB-OA=tb-a. 3 3 → → 要使 A,B,C 三点共线,只需AC=λAB. 2 1 即- a+ b=λ(tb-a)=λtb-λa. 3 3 又∵a 与 b 为不共线的非零向量,

?-3=-λ, ∴有? 1 ?3=λt

2

?λ=3, ?? 1 ?t=2.

2

1 ∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 2

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2013· 济南一模)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满 → 1? → → 足OP= ?1OA+1OB+ 3?2 2 →? ,则点 P 一定为三角形 ABC 的( 2OC? ).

A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心)
4

C.重心 D.AB 边的中点 → 1 → → 1 → 2→ 1→ 1→ → 解析 设 AB 的中点为 M,则 OA+ OB=OM,∴OP= (OM+2OC)= OM+ OC,即 2 2 3 3 3 → → → → → 3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,∴P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C 点的 一个三等分点. 答案 B → → → 2.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若AO=x AB+(1-x)AC, 则实数 x 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(-1,0) 解析 ). B.(0,+∞) D.(0,1)

→ → → → → → → → → → 设BO=λ BC(λ>1),则AO=AB +BO=AB+λ BC=(1-λ)AB+λ AC,又AO=x

→ → → → → → AB+(1-x)AC,所以 x AB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λ AC.所以 λ=1-x> 1,得 x<0. 答案 A 二、填空题 → → → → → 3.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的 形状为________. → → → → → → → → → 解析 OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → → → → → OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 三、解答题 → → 4. 在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设 AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

5

→ → → → → 解 AG=AB+BG=AB+λBE → λ → → λ → λ → → 1- ?AB+ (AC-AB) =AB+ (BA+BC)=? ? 2? 2 2 → λ→ λ =(1-λ)AB+ AC=(1-λ)a+ b. 2 2 → → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+m CF=AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m)AC+ AB= a+(1-m)b, 2 2

?1-λ= 2 , ∴? λ ?1-m=2,

m

→ 1 1 2 解得 λ=m= ,∴AG= a+ b. 3 3 3

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