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内蒙古包头一中2013届高三下学期第三次模拟-数学(文)

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内蒙古包头一中 2013 届高三下学期第三次模拟考试

数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案的涂在答题卡 上) 1. 已知集合 A={x|x2+3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=( A. ? B.{-1} C.[-2,-1] D.[-2,-1) ) )

2. 对于非零向量 a , b ,“ a ? 2b ? 0 ”是“ a // b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.若复数 A.3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1

开始

1 C. 3


1 D. ? 2
S=0

4.下列大小关系正确的是 ( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 3 C. 0.43 ? log 4 3 ? 30.4

B. log 4 3 ? 0.43 ? 30.4 D. log 4 3 ? 30.4 ? 0.43

T=0

5.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W=( A.18 C.14 B. 16 D.12

S=T-S


S≥6

T=T+2




W=S+T

? 6.将函数 f ?x ? ? 2 sin?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移 , 6
再向上平移 3 个单位,得到图象 F′,若 F′的一条对称轴方程 是x ? A. ?

输出 W

?
4

,则 ? 的一个可能取值是( B. ?

) C.

结束

?

?

3 2 x ? ?y?0 1 y ?x 7.已知正数 x,y 满足 ? ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
A.1 B.

6

? 2

D.

? 3

)

13 2 4

C.

1 16

D.

1 32

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8.在三棱锥 D ? ABC 中,已知 AC ? BC ? CD ? 2 ,

CD ? 平面 ABC ,

?ACB ? 90 . 若其直观图、正


视图、 俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为 ( A. C.

6 3

B. 2 D.

2

x2 ? y2 ? 1 2 2 x ? y ? 4 2 3 l l 9. 若直线 被圆 所截得的弦长为 , 则 与曲线 3 的公共点个数为
( ) A.1 个 10.已知 f ? x ? ? B.2 个 C.1 个或 2 个 D.1 个或 0 个 )

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( 4 ?2 ?

x2 y2 11.已知 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F a b
且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若 ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围为( A.(1,+∞) B.(1,2) ) C.(1,1+ 2 ) D.(2,1+ 2 )

12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球 的表面与 8 根铁丝都相切,则皮球的半径为 ( A.l0 3 cm B.10 cm C.10 2 cm ) D.30cm

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中横线上) 13.已知函数 f (x ) ? a ? log2 x 的图象经过点 A(1,1) ,则不等式 f ( x) ? 1 的解集为_______ 14.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB= ?

1 ,则 b= 4



15. 在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点,且满足

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BM BC

?

CN CD

则 AM ? AN 的取值范围是

.

16.已知数列{ an )满足 a1 ?

aa 1 , an?1 ? an ? n n?1 (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an = 2 n(n ? 1)

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到 三 个 工 作 点 的 距 离 相 等 . 已 知 这 三 个 工 作 点 之 间 的 距 离 分 别 为

AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面上.
(1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O , EC ⊥底面

ABCD , F 为 BE 的中点.
(1)求证: DE ∥平面 ACF ;

E F C O B A

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ⊥平面 EG 的值;若不存在,请说明理由. BDE?若存在,求出 EO
( 2 )若 AB = 19. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学(x 分) 物理(y 分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93

D

(Ⅰ) 要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动, 求选中的学生中至少有一人的物理成绩高 于 90 分的概率; ?= (Ⅱ)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 y bx+a. y(物理成绩)

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20. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 A(0,1) ,点 P 在圆 C: x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 上,点 M 在 AP 上,点 N 在 CP 上,且满足 AM=MP,NM⊥AP,设点 N 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)过原点且斜率为 k(k >0)的直线交曲线 E 于 G、F 两点,其中 G 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 Q,直线 FQ 交曲线 E 于另一点 H,证明:GH⊥GF.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

a ?1 (a ? R) , g ( x) ? ln x 。 x

(1)若对任意的实数 a,函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x = x0 处的切线斜率总想等,求 x0 的值; (2)若 a > 0,对任意 x > 0 不等式 f ( x) ? g ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲

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如图, ?ABC内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线,且

?PAC ? ?ABC.
(1)求证: PA是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 ,求直径 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C 的方程是 x ? y ? 4 x ? 0 ,圆心为 C.在以坐标原点为极点,
2 2

以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1: ? ? ?4 3sin ? 与圆 C 相交于

A, B 两点.
(1)求直线 AB 的极坐标方程;

? 3 x ? 2? t ? ? 2 ( t 是参数)交直线 AB 于点 D,交 y 轴于点 E, (2)若过点 C(2,0)的曲线 C2: ? ?y ? 1t ? ? 2
求|CD|:|CE|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 . (1)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (2)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f (a ) .

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参考答案
一、 选择题 1-5 CAACB 二填空题 13.(0,1) 三、解答题 17. 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得 14.4 6-10 BCDCA 11-12 BB

15.[1,4]

16.

n 3n ? 1

cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 802 ? 502 ? 702 1 ? ? 2 ? AB ? AC 2 ? 80 ? 50 2
?BAC ? ? 3

因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得 BC A

sin A
因为 BC ? 70 ,由(1)知

? 2R

,

? ,所以 3. A? sin A ? 3 2

O B C

D

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所以

,即

70 140 3 2R ? ? 3 3 2

R?

70 3 3

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 在△ OBD 中,

OB ? R ?

, , BC 70 70 3 BD ? ? ? 35 2 2 3
2

所以

? 70 3 ? 2 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? ? 35 ? ?
2 2

35 3 . 所以点 O 到直线 BC 的距离为 35 3 m ? 3 3
18.解:(1)连 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE . …………………2 分 又 OF ? 平面 ACF , DE ? 平面 ACF , 所以 DE ∥平面 ACF . …………4 分 (2) (方法一) 若 CG ? 平面 BDE ,则必有使 CG ? OE ,于是作 CG ? OE 于 G . 由 EC ? 底面 ABCD ,所以 BD ? EC ,又底面 ABCD 是正方形, 所以 BD ? AC ,又 EC

AC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE .

………………8 分

而 CG ? 平面 BDE ,所以 CG ? BD . 又 OE 又 AB ?

BD ? O ,所以 CG ? 平面 BDE .

……………………………………10 分

2CE ,所以 CO ?

2 AB ? CE , 2
………………………………………… 12 分

所以 G 为 EO 中点,所以

EG 1 = . EO 2

19.解: (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A 1 ) 、 ( A4 , A2 ) 、

( A4 , A3 ) 、 ( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 、 ( A1, A2 ) 、 ( A1, A3 ) 、 ( A2 , A3 ) 共种情 10
况.………3 分 其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A2 ) 、 ( A4 , A3 ) 、 ( A4 , A1 ) 、

( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 共 7 种情况, 故上述抽取的 5 人中选 2 人, 选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 90 分的概率 7 P? . ………………………5 分 10
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(2)散点图如右所示.
y/物理成绩

……………………6 分

94 92 90

· · ·

·

88

·
O

89

91

93

95

97

x/数学成绩

可求得:

x=
5

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 93 y = = 90 , ………………8 分 5 5
i i

? ( x ? x)( y ? y) ? 30 ?( x ? x )
i ?1 i
i ?1 5

2

= (?4)2 ? (?2)2 ? 02 ? 22 ? 42 =40,

30 =0.75, 40 ……………………………………………11 分 a ? y ? bx =20.25 , 故 y 关于 x 的线性回归方程是: ? ? 0.75 x ? 20.25 . y b?

(20)解: (Ⅰ)NM 为 AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|, 又∵|CN|+|NP|= 2 2 ,∴|CN|+|NA|= 2 2 >2. 1) 为焦点的椭圆,………………………3 分 ∴动点 N 的轨迹是以点 C (0 ,? 1) , A(0 , 且长轴长 2a ? 2 2 ,焦距 2c ? 2 ,∴ a ? ∴曲线 E 的方程为 x2 ?

2, c ? 1, b 2 ? 1,

y2 ? 1 .…………………………………………………………5 分 2 (Ⅱ)设 G(x1,kx1),H(x2,y2),则 F(-x1,-kx1),Q(0,kx1), 直线 FQ 的方程为 y=2kx+kx1, 将其代入椭圆 E 的方程并整理可得 (2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-2=0. 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得
-x1+x2= ?

2 x1 4k 2 x1 ,即 x2 ? . 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k
4kx1 .…………………………………………………………9 分 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 FQ 上, 所以 y2-kx1=2kx2=

于是 GF =(-2x1,-2kx1),
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GH =(x2-x1,y2-kx1)=( ?

4kx1 4k 2 x1 , ). 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k

4(2 ? 2)k 2 x12 ? 0 .…………………………………12 分 而 GH ? GF 等价于 GF ? GH ? 2 ? 4k 2
21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)
f ' ( x) ? a ? 1? a x
2

, g ' ( x) ?

1 x
1? a x0 2 1 , x0

由题设知 x ? 0 ,且 f ' ( x ) ? g ' ( x ) ,即 0 0 0

a?

?

……2 分

? ax0 2 ? x0 ? 1 ? a ? 0,? a ( x0 2 ? 1) ? (1 ? x0 ) ? 0

因为上式对任意实数恒成立,

2 ? ? x ? 1 ? 0, ?? 0 ? ? 1 ? x 0 ? 0.

……4 分

故,所求 x ? 1 0

……5 分
ax ?

(Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? 1 即 方法一:在 x ? (0, ??) 时

, a ?1 ? ln x ? 1 x

ax ?

恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 a ? a ?1 ? 0 ? 1 , a ?1 ? ln x ? 1 x ……7 分

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的必要条件. 另一方面,当 a ? 1 时,记
h( x) ? ax ?

则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 a ?1 ? ln x, x ……9 分

h' ( x ) ? a ?

1? a x
2

?

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? ? x x2 x2

? a ? 1, x ? 0,? ax ? a ? 1 ? 0

? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递减; x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递增
? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1

? a ? 1 , ?2a ?1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的充分条件. 综上,实数的取值范围是 ?1,?? ? 方法二:记
h( x) ? ax ?

……11 分

……12 分

则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 a ?1 ? ln x, x

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h' ( x ) ? a ?

1? a x2

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? ? ? x x2

1 a ( x ? 1 ? )( x ? 1) a ( x ? 0, a ? 0) x2

……7 分

① 若

0?a?

1 , 1 , x ? (0,1) 时,h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递增,h( x ) ? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 , ?1 ? ? 1 a 2
……8 分

这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;

② 若1 , , (1,??) 上 h' ( x ) ? 0, h( x ) 递增,而 h(1) ? 2a ? 1 ? 1 , 1 ? a ? 1 0 ? ?1 ? ? 1 a 2 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;……9 分 ③若 a ? 1 , , ? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递减;x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 1 ?1? ? 0 a 单调递增
? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

……11 分

综上,实数的取值范围是 ?1,?? ?

……12 分

22.(1)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

, ??CAB ? ?ABC ?

?
2



?PAC ? ?ABC ,??PAC ? ?CAB ?

?
2

, ……………………………4 分

? PA ? AB, AB 为直径,? PA为圆的切线.
(2) CE ? 6k , ED ? 5k , AE ? 2m, EB ? 3m ,

AE ? EB ? CE ? ED,?m ? 5k ,
BD 3m ? ,? BD ? 4 5 . ……………………6 分 8 6k BC CE ? 连 AD,由 ?CEB ∽ ?AED ,? .在 Rt ?ABC , Rt ?ADB 中, AD AE
连 DB,由 ?AEC ∽ ?DEB ,?

BC 2 ? 25m2 ? 64 , AD2 ? 25m 2 ? 80 ,于是有
m ? 2 ,? AB ? AE ? EB ? 5m ? 10 .

25m 2 ? 64 3k 2 9 =( ) ? , 5 25m 2 ? 80 m
……………………………10 分

23. 解: (1)在以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,
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?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 极坐标与直角坐标有关系: ? , ………………………1 分 y 或? ? y ? ? sin ? ? tan ? ? x ?
所以圆 C1 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 3 y ? 0 , …………………………………2 分 联立曲线 C: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,得

? x1 ? 0 ? ? x2 ? 3 或? , ? y ? 0 y ? ? 3 ? ? 1 ? 2
即不妨令 A(0,0), B(3, ? 3) ,从而直线 AB 的直角坐标方程为: y ? ?
2

3 x, 3

(此处如下解法也可:联立曲线 C1 与 C ,消去 x 与 y 项,得 3 y ? x ? 0 ),
2

所以 ? sin ? ? ? 即 tan ? ? ?

3 ? cos ? , 3
…………………………………………………………………4 分

3 , 3

所以直线 AB 的极坐标方程为 ? ? ?

?
6

, ( ? ? R) .

………………………………5 分

(2) (方法一)由(1)可知直线 AB 的直角坐标方程为 y ? ?

3 x, 3

…………………6 分

? 3 x1 ? 2 ? t1 ? ? 2 依题令交点 D ( x1 , y1 ) 则有 ? , ?y ? 1t 1 1 ? ? 2

1 3 3 2 3 t1 ? ? (2 ? t1 ) ,解得 t1 ? ? , 2 3 2 3 2 3 由直线参数方程的定义知|CD|=| t1 | ? , …………………………………8 分 3 ? 3 x2 ? 2 ? t2 ? ? 2 , 同理令交点 E ( x2 , y2 ) ,则有 ? ?y ? 1t 2 2 ? ? 2
又 D 在直线 AB 上,所以, 又 E 在直线 x ? 0 上,所以 2 ? 所以|CE|=| t 2 | ? 所以|CD|:|CE|=

3 4 3 t2 ? 0 ,解得 t2 ? ? , 2 3

4 3 , 3

…………………………………………………………9 分 …………………………………………………………10 分

1 . 2

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? 3 x ? 2? t ? ? 2 ( t 是参数)化为普通方程: y ? 3 ( x ? 2) , ………6 分 (方法二)将曲线 C2: ? 3 ?y ? 1t ? ? 2

? x ?1 3 3 ? x ,解得: ? ), 将其联立 AB 的直线方程: y ? ? ,从而 D (1, ? 3 3 3 ?y ? ? 3 ? ? x?0 2 3 ? 再将曲线 C2 与直线 x ? 0 联立,解得 ? 2 3 ,从而 E (0, ? 3 ) , ?y ? ? 3 ?
这样|CD|= (2 ? 1)2 ? (0 ?

3 2 2 3 , ) = 3 3

………………………………………8 分

|CE|= (2 ? 0)2 ? (0 ? 从而|CD|:|CE|=

2 3 2 4 3 , ) = 3 3

…………………………………………9 分

1 . 2

……………………………………………………10 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 2 . 当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 ……………………………………………2分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2
综上,原不等式的解集为 ? x |

? ?

1 5? ? x ? ? . …………………………………………5分 2 2?

(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 . 当 a>0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? ax ? a

? ax ?1 ? a ? ax ? ax ?1 ? a ? ax ? a ? 1 ? f (a) .

………………10 分

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