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湖北重点高中2013年自主招生考试数学试题


湖北重点高中 2013 年自主招生考试数学试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。。 )

?x ? 7 ? 4x ? 2 的解集是 x ? 3 ,则 m 的取值范围是( ) ?x ? m A、 m ? 3 B、 m ? 3 C、 m ? 3 D、 m ? 3 0 0 2、在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 15 , BC ? 1 ,则 AC ? ( ) A、 2 ? 3 B、 2 ? 3 C、 0.3 D、 3 ? 2 3、如图, AB 为⊙ O 的一固定直径,自上半圆上一点 C 作弦 CD ? AB , ?OCD 的平分 线交⊙ O 于点 P ,当点 C 在上半圆(不包括 A 、 B 两点)上移动时,点 P ( )
1、若不等式组 ? A、到 CD 的距离不变 4、 已知 y ? A、 2 2 ? 1 B、位置不变 C、等分 C、 3 ? 2 2 D、随 C 点的移动而移动 ) D、 2 2 ? 2

x ? 1 ? 5 ? x( x ,y 均为实数) 则 y 的最大值与最小值的差为( ,
B、 4 ? 2 2

5、已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面圆上一点,点 P 在 OM 上。一只蜗牛从 P 点出发, 绕圆锥侧面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿 OM 将圆锥侧面剪 开并展平,所得侧面展开图是( )

6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置 沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( ) A、 6 圈 B、 6.5 圈 C、 7 圈 D、 8 圈 7、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,现有以下结论:① abc ? 0 ;② b ? a ? c ;
2

③ 4a ? 2b ? c ? 0 ; ④ 2c ? 3b ; ⑤ a ? b ? m(am ? b) , (m ? 1) 其 中 正 确 的 结 论 有 ( ) A、 4 个 B、 3 个 C、 2 个 D、1 个 8、 如图, ?ABC 中, 为正三角形内任意一点, P 作 PD ? BC , ? AB , 正 过 PF ? AC P PE 连结 AP 、 BP 、 CP ,如果 S ?APF ? S ?BPE ? S ?PCD ? ( A、 1 ) B、 3 C、 2 D、

3 3 ,那么 ?ABC 的内切圆半径为 2

3 2

0

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)

1 1 1 与 3 ? a ? 是相反数,计算 a ? = a a a 1 1 ? ? ?? 10、 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, A ? 若 4 4
9、 3 ? a ?

1? 3

1? 3

1 ? ? ?1? 4 3 ?

, ?A? = 则



11、如图, M、N 分别为 ?ABC 两边 AC、BC 的中点,
1

AN 与 BM 交于点 O ,则

?BON的面积 = ?ABC的面积
A O M

. C D A O P B

C N 第 12 题 12、 如图, 已知圆 O 的面积为 3 ? ,AB 为直径, AC 的度数为 80? , BD 的度数为 20? , 弧 弧图 点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC ? PD 的最小值为 . 13、从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a ,是 3 的倍数的个数为 b ,则样本 6、a、b、 的中位数是 . 9 14、由直线 y ? kx ? 2k ? 1 和直线 y ? (k ? 1) x ? 2k ? 1 (k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围 成的图形面积为 S ,则 S 的最小值是 . 15、如图矩形纸片 ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有 一点 P,PD=3cm,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折 痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的长是____________cm. 16.将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的 面积最大时,圆柱的底面半径是___________cm.

B

第 15 题图
三、解答题(72)

第 16 题图

17、 (14 分)已知抛物线y ? ? x ? bx ? c(c ? 0) 过点 C (?1,0) 一个交点. ⑴ 求抛物线的解析式;
2

,且与直线 y ? 7 ? 2 x 只有

⑵ 若直线 y ? ? x ? 3 与抛物线相交于两点 A、B ,则在抛物线的对称轴上是否存在点

Q ,使 ?ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由.

18、有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度 iBC =

3 ,坝高为 5 m,坝顶 CD = 6 m,现 3

有一工程车需从距 B 点 50 m 的 A 处前方取土,然后经过 B—C—D 放土,为了安全起见,工 程车轮只能停在离 A、D 处 1 m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1 m,求车轮从取

N

C
M

2

D

A

B

F

土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的路径长。 (tan150=2- 3 )

19、(14 分)如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB、AD 延长线于 点 M、N , DM 与 BN 交于点 H , DM 与 BC 交于点 E , BN 与 DC 交于点 F . ⑴ 猜想: CE 与 DF 的大小关系? 并证明你的猜想.⑵ 猜想: H 是 ?AEF 的什么 心? 并证明你的猜想. N

D

F

C

H E

A

B

M

20、 (15 分)如图,已知菱形 ABCD 边长为 6 3 , ?ABC ? 120 ? ,点 P 在线段 BC 延长线上, 半径为 r1 的圆 O1 与 DC、CP、DP 分别相切于点 H、F、N ,半径为 r2 的圆 O2 与

PD 延长线、 CB 延长线和 BD 分别相切于点 M、E、G .
(1)求菱形的面积; (2)求证: EF ? MN ; (3)求 r1 ? r2 的值. M A O2 G H E B CF P O1 D N
3

21.(15 分)如图,已知抛物线的方程C1:y=- (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于 点B、C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值.(2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相 似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.

一、选择题(8×3’=24’) 1~4 CBBD 5~8 DCBA 二、填空题(8×3’=24’)

3 7 15. 16. 2 3? 4 4 三、解答题(本大题共 5 小题, 14'?14'?14? ? 15'?15' ? 72? ) 2 17、(14 分)解: (1) y ? ? x ? 2 x ? 3 (6 分)(2)Q (1,3 ? 17 )或(1,? 14 )或(1,1) (14 分)
9、 5 10、-2 11、

1 6

12、3

13、5.5

14、

18. 60+ 2 3 ?

?
6

19.1) CE ? DF .(2 分)

4

证:∵正方形 ABCD ∴AD∥BC,DC∥AB∴ 分)

CE MC BC DF ND ,(4 分) (6 ? ? ? ND MN NA AB NA

CE ND DF CE ∴ 又 AB ? BC ∴ CE ? DF (7 分) ? ? BC NA AB BC (2)垂心. (9 分) 易证 ?ADF ≌ ?DCE (11 分)∴ ?DAF ? ?FDE 又 ∴ ?DAF ? ?ADE ? 90? ∴ AF ? DE (13 分 ) 同 理 FB ? AE . ?AEF 的垂心. (14 分) 20.(1)∴菱形的面积=2S△DBC=54 3


H 为

(2)证明:∵PM 与 PE 都是⊙O1 的切线,∴PM=PN,又∵PN 与 PF 都是⊙O2 的切线, ∴PN=PE,∴PM-PN=PE-PB,即 EF=MN; (3)∴r1+r2=9. 21.

5

6


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